盤活數學思想，讓面積“生長”更有力量
——以《平行四邊形面積》教學為例

文|張荷潔

數學思想是解決數學問題的重要法寶，小學數學教材文本中蘊含著豐富的數學思想。而小學階段的教學，教師往往只注意知識的學習和積累，并未重視對這些知識起到聯系作用的思想方法的掌握，這對學生數學后繼學習能力的發展勢必會造成不利的影響。教師要用心體察教材的編寫意圖，用好課本中的材料，凸顯思想方法的作用。

《平行四邊形面積》是多邊形面積教學的起始課，用轉化的思想方法推導面積計算公式對學生來說不僅是第一次，它還對學生進一步探究三角形、梯形面積具有較強的價值引領作用?？v觀《平行四邊形面積》一課的教學，一般都設計剪拼的環節，使學生感悟轉化的思想，也為下一步面積的教學積累一定的活動經驗。但轉化思想的習得總感覺不是那么自然。怎樣才能更好領悟教材編寫的意圖，使轉化思想自然而然地發生？基于這樣的思考，筆者從教材切入，對《平行四邊形面積》教學進行了進一步的研究，以期將教材中豐富的數學思想化隱為顯。本文結合《平行四邊形面積》教學，聚焦于學生數學學習的生長點, 從叩問和教學反思與改進兩個維度出發，就如何嘗試探討盤活數學思想，讓面積“生長”更有力量做一些闡述。

一、以面積度量喚起經驗，自主尋找面積“生長”根源

建構主義教學理論認為：教學要激活學生原有的知識經驗，并讓其作為基點，生長出新的經驗。《平行四邊形面積》的學習也不例外，教學要找準學生的思維原點，從而尋找學生思維的最近發展區。

1.叩問：如何自主尋找面積“生長”根源？

《數學課程標準（2011年版）》指出：面積是圖形與幾何領域測量部分的重要內容?！皵灯鹪从跀?，量起源于量?！边@是大家熟知的一句名言。對于第二學段五年級的學生而言，線段屬于一維圖形的量已經比較熟悉，要知道線段的長短大都會用一維的長度單位去度量，而面積也是一種量，屬于二維圖形的量，相比之下，學生對面積這個量的認識要陌生得多。所以在教學《平行四邊形面積》的引入中，如何讓學生自主想到用二維的面積單位小方格去度量面積，這是《平行四邊形面積》學習的數學本質，也是面積“生長”的根源所在。

2.教學反思與改進：用數學的眼光觀察面積，喚起面積度量的經驗。

《平行四邊形面積》教學的引入，通常有如下兩種，第一種教學引入：一部分教師采用類比法引入，長方形面積的計算方法是長乘寬，繼而引發猜想：平行四邊形的面積怎么求？于是有的學生用底和高相乘計算出平行四邊形的面積，也有的學生用平行四邊形的長和寬（兩條鄰邊）相乘，進而提出問題，求平行四邊形的面積計算到底能不能用鄰邊相乘的方法？第二種教學引入：一部分教師直接以數方格引入教學。如給出一個透明的方格紙，要求學生以方格紙為工具進行比對，從而數出平行四邊形的面積。

分析第一種教學引入，平行四邊形的面積學生還沒有研究過，就直接要求學生計算它的面積，這樣的引入勢必會讓部分學生感到為難，會引起學生錯誤的猜測。學生用平行四邊形的長和寬（兩條鄰邊）相乘計算面積，是因為受長方形面積公式表達形式負遷移的影響，而忽視了長方形面積公式是一個度量結果的實際意義。

分析第二種教學引入，以學生的已有經驗為基礎，能讓學生開展方格紙的比對度量活動，繼而計算平行四邊形面積單位的數量，對理解平行四邊形面積提供了意義支撐。但第二種教學引入，教師要“我”量的意圖明顯。

上面教學分析，引發了我的教學思考：能否變要我“量”為我要“量”，喚起學生自覺度量的意識呢？教學實踐中我們對第二種教學引入做了如下的改進：在度量活動之前，喚起學生對平行四邊形面積的意義感性認識。平行四邊形面積是二維空間的量，其意義的理解對學生而言是認識上的一次飛躍，雖然學生在之前有學習“認識面積”和“長方形與正方形的面積”作為基礎，但對于學生來說，經驗積累還不厚實。引入新課時，要引導學生用數學的眼光觀察圖形，從熟悉的長方形面積入手，回憶長方形面積公式表達形式的實際意義，再通過類比與正向遷移，讓學生先說說對平行四邊形面積的認識，進一步理解平行四邊形的面積同樣是一個量，要計算平行四邊形的面積，同樣可以通過測量進行研究。

二、以化零為整解決困惑，讓面積轉化意識悄然萌芽

材料引起活動，材料引發思考。小方格是學生學習數學的重要材料，可以促進學生空間觀念的形成和發展，在本課的學習中，數方格活動同樣要賦予它豐富的教育價值。

1.叩問：如何讓面積轉化意識悄然萌芽？

不同版本小學數學教材的編排，都安排有數方格計算圖形計算面積的活動，毫無疑問，數方格是一種直觀度量面積的方法，是“度量思想”的重要載體，在《平行四邊形面積》的教學中，應該如何挖掘數方格活動的教育價值？數方格活動如何才能更好地發揮作用？除了求得圖形面積的結果外，數方格活動的過程能否引發學生思考，進而讓面積轉化意識悄然萌芽？這是筆者在本課教學研究中的另一個思考點。

2.教學反思與改進：數方格活動引發猜想，在化零為整中解決困惑。

教學中，用方格測量平行四邊形的面積，會遭遇這樣的尷尬：不滿一格，該怎么算？為解決此問題，執教教師大都在數方格前就規定“不滿一格的都按半格計算”，然后根據平行四邊形和長方形數得的結果，引導學生進行比較，發現兩個圖形之間的等量關系，為后面的面積轉化奠定基礎。

分析以上教學，這樣的規定能讓數格子活動順利地進行下去，但也束縛了學生的思維。為什么“不滿一格都按半格計算”，對于這樣的規定學生知其然而不知其所以然。何況這樣的規定具有局限性，當平行四邊形發生變形，底邊和鄰邊的夾角越來越小時，這樣的規定就會失去合理性，會導致計量結果的錯誤。

小學生的思維主要是形象思維，平面圖形的轉化需建立在熟知圖形的特征基礎上，如何讓圖形特征具體形象化，方格圖是重要中介。為發揮小方格的作用，使數方格活動更有教學價值，教學實踐中我們做了如下改進：在學生使用方格這個重要的數學工具時，不做“不滿一格的都按半格計算”的規定，而是先放手讓學生自己去探索、去研究。數方格的過程中學生自己會發現有的滿格，有的不滿格。不滿格的面積怎么計量？從而引導學生從細微處入手，仔細觀察在方格圖中不滿格的面積，利用方格圖凸顯圖形特征的優勢讓學生進行空間想象，自覺產生不滿格的圖形面積可以拼補成完整格子面積的意識，然后再進行剪拼、平移、補整，通過出入相補活動，不滿格的面積都湊成了滿格的面積，最后再進行計數。解決問題的過程中化零為整的思想油然而生，不僅解決了不滿格方格計量的困惑，也促進了面積轉化的悄然萌芽。

三、以等積變形實現聯結，讓“面積生長”更通暢

布魯納的學習理論告訴我們：學習實質就是建立同類事物的聯系。數學學習也是如此，教學中教師應引導學生把握知識內在整體關聯，在探尋聯系中主動建構知識，形成結構。在本課教學中，平行四邊形面積學習同樣要與它有關的內容發生關聯,從而實現“教”與“學”的增值。

1.叩問：如何轉化讓面積“生長”更通暢？

轉化是數學學習中一種最常用的基本思想方法，《多邊形面積》這一單元中面積公式的推導都運用了轉化的思想方法。根據教材編排的特點，多邊形面積教學應根據圖形間的內在聯系安排教學順序，促進教與學的遷移。將平行四邊形轉化成長方形，通常有兩種方法：一種是通過變形將平行四邊形“拉成”長方形；另一種是通過剪拼轉化。究竟哪一種轉化能讓面積“生長”更通暢？相比較，第一種轉化采用變形的方法，轉化前后圖形的形狀發生了變化，面積也隨著發生了變化，是屬于不等量轉化，不利于學生尋找面積之間的關聯。而另一種轉化采用剪拼的方法，轉化前后圖形的形狀雖然發生了變化，但面積大小依然不變，屬于等量轉化。顯然，要計算轉化前圖形的面積，學生有等量代換的活動經驗，變化中抓住面積不變可以幫助學生找到圖形之間的關系，從而順利地解決問題。

2.教學反思與改進：于變中抓不變量，以等積變形實現聯結。

縱觀平行四邊形面積的教學，不管是哪一種方法導學，教師都會引導學生經歷將平行四邊形轉化成面積相同的長方形———等積變形的過程，再通過觀察、比較，尋找圖形之間的關聯：觀察轉化前后的兩個圖形，你有什么發現？然后進行比較、溝通，得出平行四邊形面積的計算公式。

數學是一門講“理”的學科，數學知識的習得要由“理”來支撐，平行四邊形面積公式的得出需要引導學生有理有據地推導，要發展學生的合情推理能力。但由于小學生注意力發展還不完善，教學中“變與不變”的同時出現，會分散學生的注意力，干擾學生的理解。如何在“變與不變”中更好地實現圖形之間的聯結，以達成對平行四邊形面積計算的深刻理解？

人們認識事物總是從整體到部分，然后再由表及里，逐步深入，學生對平行四邊形面積公式推導過程也應如此。教材提供的運算定律或其他的性質的教學思路，給了我們很大的啟發。結合這樣的思考，實踐中我們對本環節教學做了如下的改進：基于上述的數方格度量帶來轉化的啟示，通過進一步的觀察、思考和操作讓平行四邊形面積等積變形后，先讓學生從整體認識入手，發現面積總量不變的原理，然后探尋圖形各部分之間的關聯，借用數學語言描述轉化前后圖形各部分的關聯，得出平行四邊形的面積等于底乘高，接著再通過有“據”驗證,舉例說明：是不是所有的平行四邊形都可以這樣轉化，讓不完全歸納推理力求“完全”，以促成對平行四邊形面積公式推理過程的真正理解。

總之，《平行四邊形面積》的學習就如一棵大樹的生長，如果把學生經歷了學習過程后習得的數學思想稱為“生長點”，我們要找準“生長點”，盤活數學思想，喚起經驗，讓其厚實根基、自然萌芽、根本通暢，并對其施肥、灌溉，讓數學思想再“衍生”，再生長出新“生長點”，如此循環往復，面積的“生長”也就會更有力量，就能生長出更多的知識，從而達成學以致用、用以致學的目標。