從“簡易方程”到“一元一次方程”

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在七年級數(shù)學(xué)前三章中，我們分別學(xué)習(xí)了“第1章：數(shù)學(xué)與我們同行”“第2章：有理數(shù)”和“第3章：代數(shù)式”，現(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)“第4章：一元一次方程”。說到方程，大家并不陌生，因?yàn)樵谛W(xué)五年級我們就學(xué)習(xí)了“簡易方程”，知道了方程、方程的解與解方程等概念，并會利用方程解決簡單的實(shí)際問題。到了初中，“一元一次方程”與小學(xué)的“簡易方程”又有什么異同呢？

一、全面認(rèn)識研究方程的基本思路

首先，小學(xué)階段學(xué)習(xí)的方程、方程的解、解方程等概念以及用方程解決簡單的實(shí)際問題的思路同樣適用于一元一次方程;其次，一元一次方程是方程中最特殊、最簡單的方程。在初中階段，除了有特殊的一元一次方程之外，還有很多其他特殊的方程，它們都可以按照相同的思路和方法去研究。同學(xué)們可以從圖1來體會。

從圖1中我們可以看出，小學(xué)階段講的方程知識，正好是方程需要被研究的幾個(gè)方面，而研究一元一次方程，是規(guī)范、系統(tǒng)研究方程的開始。可見，本章內(nèi)容學(xué)得好與壞，直接影響后續(xù)方程的學(xué)習(xí)。因此，同學(xué)們一定要在初中方程的開始就學(xué)好、學(xué)深、學(xué)透，取得“良好的開端”，才可能達(dá)到“成功的一半”。

二、局部認(rèn)識研究方程的關(guān)鍵點(diǎn)

從數(shù)學(xué)知識的角度看，前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)、式兩章內(nèi)容，因此，一元一次方程可以看成數(shù)與式的運(yùn)用;從生活實(shí)際的角度看，方程可以看成實(shí)際問題中含有未知量的相等關(guān)系抽象的結(jié)果。圖1告訴我們，從知識的角度看，要研究一元一次方程的定義、解、解法三個(gè)方面。下面，我們分別對這三個(gè)方面做一個(gè)研究。

方程的定義是“含有未知數(shù)的等式”;一元一次方程的定義是“只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1（次）”，由于涉及次數(shù)，所以隱含了“方程中含有未知數(shù)的代數(shù)式是整式”。一元一次方程的解的定義跟方程的解的定義完全一樣，即“能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值”。

我們再來看看等式與方程之間的聯(lián)系。

如“3+2=5”就是等式，而“3+x=5”就是方程。顯然，“x=2”就是這個(gè)方程的解。通過比較，我們可以看出，方程中的未知數(shù)看著不確定（未知），實(shí)際上是確定（已知）的，所以，方程的解也可以理解為“未知中的已知”。

求方程的解的過程叫作解方程。對于一元一次方程來說，分成“去分母→去括號→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1”五步，對于其中的每一步，我們都要明白變形的依據(jù)。

“去分母”是根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程的兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)，這是一個(gè)整體變形，要求每一項(xiàng)都乘到，這樣同學(xué)們就可以避免在解方程時(shí)犯“漏乘”的錯(cuò)誤;“去括號”是利用乘法分配律把括號去掉，這是一個(gè)局部變形，只涉及括號內(nèi)的每一項(xiàng);“移項(xiàng)”是根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程的兩邊同時(shí)加上（減去）某個(gè)項(xiàng)，這是一個(gè)整體變形，要求方程的兩邊同時(shí)變形，從結(jié)果來看，只要把一些項(xiàng)“改變符號”后從方程的一邊移到另一邊即可;“合并同類項(xiàng)”是針對方程兩邊的同類項(xiàng)而言，這是一個(gè)局部變形，只要根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行即可;“系數(shù)化為1”是根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)乘（除以）一個(gè)非0的數(shù)，這是一個(gè)整體變形，要求方程兩邊同時(shí)進(jìn)行，結(jié)果把未知數(shù)的系數(shù)放到右邊已知數(shù)的分母上即可。

明確了一元一次方程的定義，我們就可以判斷一個(gè)方程是不是一元一次方程。反之，如果一個(gè)方程是一元一次方程，這說明它只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，進(jìn)而可以列出等式求出待定字母。明確了一元一次方程，我們可以通過解方程把它的解求出來，反之，知道一個(gè)方程的解，我們可以把它代入方程，求出待定系數(shù)。

三、整體認(rèn)識方程知識的模型價(jià)值

上面提到，方程可以看成解決實(shí)際問題中相等關(guān)系的一個(gè)模型，這就是本章最后一項(xiàng)內(nèi)容“用一元一次方程解決問題”。這個(gè)內(nèi)容可以說明兩點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)與生活是緊密相連的，數(shù)學(xué)來自生活實(shí)際;二是生活中的許多問題都可以用數(shù)學(xué)知識（方程）來解決，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活實(shí)際。這充分體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的價(jià)值。

列方程解決實(shí)際問題的基本步驟可以概括為“設(shè)元→列出方程→解方程→檢驗(yàn)→作答”這五步。其中，設(shè)元后找到等量關(guān)系，把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，進(jìn)而列出方程，是最關(guān)鍵的一步。從方程模型的整體角度看，就是“實(shí)際問題→抽象出數(shù)學(xué)問題（方程）→解決數(shù)學(xué)問題（解方程）→檢驗(yàn)并解決實(shí)際問題”（如圖2）。顯然，這個(gè)建立數(shù)學(xué)方程模型的過程，適合任何一個(gè)用一元一次方程解決的實(shí)際問題。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）