基于Volterra模型的浮式風機運動響應預測研究

劉麗麗，高樹健，劉俊偉，劉福順，*

(1.中國海洋大學 山東省海洋工程重點實驗室，青島 266100； 2.青島理工大學 土木工程學院，青島 266525)

結構安全是工程建設的關鍵問題，結構動力響應是評價的重要依據。在海洋工程領域，浮式結構是一種具有顯著非線性行為的系統，其動力響應分析相對復雜。目前，數值模擬[1]已經成為了非線性動力響應分析的重要手段。李焱等[2]用有限元建立了浮式風機的動力學模型并考慮了系泊纜的幾何非線性，發現考慮幾何非線性的系泊纜響應幅值會被放大。BROWNING J R等[3]將FAST風機模型與同一條件下的水槽試驗結果進行對比，發現FAST模型與水槽試驗模型的阻尼特性存在顯著差異。為了克服模擬計算存在模型不確定性以及計算量大、耗時長等問題，有關研究人員嘗試從系統識別角度開發代替算法，DONG Yinfeng等[4]采用支持向量機(SVM)對框架結構的非線性動力學行為進行了建模，成功預測了結構響應，但算法需要大量的包含有效信息的數據支撐訓練。UDDIN A M等[5]采用人工神經網絡對Spar系泊纜的動力響應進行了預測和仿真驗證，證明神經網絡是一種有效的預測方法，但仍存在預測步數越多就越不準確、并且需要大量的訓練樣本才能達到可靠的精度等缺點。無論有限元、SVM還是神經網絡均是一個復雜且耗時的過程。

近年來，有關學者采用基于Volterra模型的響應預報算法優化了預報算法，只需要較少的訓練樣本就能快速收斂，同時能夠保證預報精度，支持實時在線處理數據，可以用于模擬時變線性系統和一般非線性系統并輸出預測，并且該模型考慮了線性項和非線性項，更接近系統實際情況。KIM N[6]采用頻域Volterra模型對張力腿平臺進行了建模，模型很好地模擬了TLP的波高與縱蕩運動之間的非線性關系，然而頻域Volterra模型采用譜估計算法，不可避免地會引入偏差。梁存峰[7]采用時域Volterra模型進行洪水預報，預報整體平均相對誤差為8.97%。他們的研究均證明Volterra模型能很好地適用于一般非線性系統，對其輸出數據具有追蹤預報的能力。因此，本文應用時域Volterra模型建立浮式風機波浪和響應數據的非線性模型，并結合Kalman濾波和平滑算法獲得模型參數最優估計，進而實現了浮式風機動力響應的預測，通過與實際結果對比，驗證了本文算法的有效性和實用性。

1 Volterra模型在狀態空間中的描述

Volterra模型[8-9]描述的系統輸入x(n)與輸出y(n)之間的關系，通常用x(n)的級數表示為

(1)

在實際工程應用中，往往利用前2階截斷的形式表征系統，即

(2)

式(2)利用系統輸入將系統輸出表達成常數項、線性項和非線性項的和的形式。當系統輸出僅由系統輸入引起時，在計算過程中可以舍棄常數項y0。非線性項的回歸量和核函數關于(M-1,M-1)具有對稱性，計算過程可以只取矩陣的上半三角形部分，從而將式(2)簡化為向量形式，即

(3)

式(3)中右邊第1項是包含系統歷史輸入的回歸量，第2項是回歸量所對應的核系數。其中，線性部分的核系數的個數等于M，非線性部分的核系數的個數等于M(1+M)/2，總的核系數個數等于M+M(1+M)/2。為了方便估計過程，將式(3)簡寫為

y(n)=φT(n)θ(n)

(4)

式中：φT(n)為系統回歸量，由系統歷史輸入組成；θ(n)為系統核系數，包含了系統的信息。

使用遞歸方式對核系數進行估計時，假定核系數隨機變化，狀態轉移方式可以采用隨機游走模型，模型誤差記為w(n)，則狀態方程見式(5)。測量噪聲記為υ(n)，該系統的測量方程見式(6)。

θ(n)=Aθ(n-1)+w(n)

(5)

y(n)=φT(n)θ(n)+υ(n)

(6)

式中：θ(n)為n時刻的狀態向量；A為狀態向量θ(n)從時間步n-1到時間步n的狀態轉移矩陣；w(n)為零均值高斯隨機過程噪聲，且方差為q，相關矩陣可表示為Q=qI；υ(n)為零均值高斯隨機過程的測量噪聲，其中方差記為R。過程噪聲與測量噪聲相互獨立。

2 基于Volterra模型的運動響應預測

2.1 濾波過程

θ(n|n-1)=Aθ(n-1|n-1)

(7)

C(n|n-1)=AC(n-1|n-1)AT+Q

(8)

式中：θ(n|n-1)為由時間步n-1到時間步n得到的狀態參數的預測量；C(n|n-1)為誤差相關矩陣。

實現測量更新階段的一個重要因子是Kalman增益G，其為L×1向量，表示為

G(n)=C(n|n-1)φT(n)[φ(n)C(n|n-1)φT(n)+R]-1

(9)

測量更新階段將用于糾正θ(n|n-1)在時間更新階段的誤差，可以表示為

θ(n|n)=θ(n|n-1)+G(n)[y(n)-φT(n)θ(n|n-1)]

(10)

C(n|n)=[1-G(n)φ(n)]C(n|n-1)

(11)

式中：y(n)-φT(n)θ(n|n-1)為新息過程，為狀態更新提供了新的信息。

通過建立系統輸入和輸出的非線性多項式模型，并結合系統狀態方程和測量方程，從而實現了系統的最優輸出估計。

2.2 平滑過程

濾波過程是從時間步n=1到時間步n=N向前估計的，會不可避免地出現遲滯誤差?？梢赃x擇從時間步n=N-1到時間步n=1向后的方式平滑補償，降低估計過程的誤差。平滑矩陣T(n)表示為

T(n)=C(n|n)ATC(n+1|n)-1

(12)

將平滑矩陣應用到狀態矩陣和協方差矩陣中進行平滑，平滑方程為

θ(n|N)=θ(n|n)+T(n)[θ(n+1|N)-θ(n+1|n)]

(13)

C(n|N)=C(n|n)+T(n)[θ(n+1|N)-θ(n+1|n)]TT(n)

(14)

2.3 預測過程

(15)

3 數值算例

根據非線性模型理論，可以將一個已知參數的非線性多項式模型可以表示為

y(n)=ax(n)+bx(n-1)+cx(n-2)+dx(n-3)+ex(n-4)+fx(n)2+

gx(n)x(n-1)+hx(n)x(n-2)

(16)

令a=0.32，b=1.43，c=-0.25，d=1.8，e=0.45，f=0.7，g=0.62，h=-1.2。

由該多項式的形式可知，該多項式是非線性模型的截斷形式，輸出包括1個線性項和1個非線性項。輸入頻率為0～0.5 Hz的隨機序列，輸出按式(16)計算，輸入輸出如圖1(a)(b)所示。

圖1 系統輸入輸出信號及預測值與真實值對比

使用前2500 s數據建立輸入輸出的Volterra模型，設置非線性度為2，記憶深度為5。利用Kalman濾波估計出模型系數，并用模型系數預測2500～3000 s的模型線性項與非線性項輸出，并與真實值對比，如圖1(c)—(e)所示。由圖可知，該方法可以準確地預測出非線性模型輸出的線性項和非線性項，并重構出非線性模型的整體輸出信號。

4 浮式風機仿真算例

為了進一步驗證算法，使用該算法對如圖2(a)所示的5MW OC3 Hywind Spar浮式風機平臺響應時間序列進行多步預測。將水動力軟件AQWA計算的水動力數據導入動力學分析軟件Orcaflex中進行計算，有義波高4.6 m、跨零周期6.6 s的計算工況下，得到了1階、2階波浪力下的浮式風機平臺的動力響應數據。浮式風機平臺的波浪數據、縱蕩和橫蕩響應如圖2(b)—(d)所示。

圖2 風機模型及波浪與運動響應時程

首先，構建波浪和響應之間的Volterra模型，設置非線性度為2，記憶深度為30。然后選擇合適的誤差協方差矩陣驅動Kalman濾波估計過程，最后對后續波浪進行相空間重構，進而實現了浮式風機運動響應時間序列的多步預測。數據的前段(0～3400 s)作為訓練樣本，數據的后段(3400～3600 s)作為預測樣本用于驗證預測效果的參考值。預測值與實際值對比結果如圖3所示，圖中顯示，無論是縱蕩還是橫蕩，響應預測結果與響應實際結果都較為吻合，無明顯遲滯和偏差現象。

為了進一步量化誤差情況，引入單步誤差E、偏離度D及均方誤差值ERSM對預測結果誤差進行量化。單步誤差反應了單步預測值與真實值之間的差值，偏離度反應了單步預測值與真實值之間的偏離程度，均方根誤差反應了到目前步所有預測值與真實值之間的平均誤差。單步誤差E、偏離度D和均方誤差值ERSM可由式(17)—式(19)計算得出，結果詳見表1。

表1 預測誤差統計

(17)

D=E/y(n)

(18)

(19)

由表1可得出，橫蕩響應預測值的單步誤差和均方根誤差都小于縱蕩響應的誤差，說明橫蕩響應預測值的絕對誤差較小，但橫蕩響應預測值與真實值的偏離度整體大于縱蕩響應的偏離度，說明了橫蕩響應的預測值的相對誤差較大。因此，縱蕩響應的預測精度比橫蕩響應的預測值精度更高，這與圖3中可得出的結論相一致。以上分析表明，時域Volterra模型能夠對浮式風機動力響應建模。該算法能有效地進行響應多步預報，預報誤差沒有隨著步數增大而逐漸增大，很好地預測了浮式風機的非線性動力響應。

在浮式風機整體運動響應中，包含了線性項和非線性項，運用該算法提取了運動響應的線性項和非線性項，以縱蕩響應為例進行提取研究，提取成分與總響應對比如圖4和圖5所示。圖4是訓練數據的成分提取對比，圖5是預測數據的成分提取對比。由圖4和圖5可知，在該風機仿真試驗中，線性項是縱蕩響應的主要成分，非線性項占據次要地位。線性項主導了浮式風機的縱蕩動力響應行為，非線性項追蹤了縱蕩響應的峰值，說明線性項與非線性項都是不可忽略的，它們通過互相制約調節形成了整體的運動響應，具有線性和非線性動力學的綜合表現。

圖4 響應成分與總響應對比

圖5 預測響應成分與總響應對比

5 結論

本研究以海洋工程領域的浮式風機為研究對象，應用Volterra模型對該類非線性系統建模，并成功利用Kalman濾波估計出了模型系數，然后使用模型系數預測了浮式風機平臺動力響應，重構出了響應的線性成分和非線性成分。通過研究得出了以下結論：

1) 浮式結構通過二階Volterra模型已充分建模，對超過二階的非線性系統的建模可以采取較高的階次，建模過程相對簡單，但估計狀態參數數量增多而增加了計算量。

2) 縱蕩響應和橫蕩響應預測值與真實值吻合較好，預測誤差沒有隨著步數增大而逐漸增大，Volterra模型有效地預測了浮式風機的非線性動力響應。

3) 成功實現了浮式風機運動響應線性項和非線性項的分離，通過分析發現它們互相調節，形成了整體的運動響應，線性項主導了響應行為，非線性項追蹤了浮式運動響應的峰值，在響應中起到了不可忽略的作用。