基于擴(kuò)展觀測(cè)器的電液負(fù)載模擬器自適應(yīng)魯棒控制

鄒 璇， 劉鑫宇， 趙海鳴， 沈 偉

（1.中國(guó)船舶集團(tuán)公司第七〇三研究所，哈爾濱 150000；2.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

電液負(fù)載模擬器具有響應(yīng)快、跟蹤精度高和輸出能力大[1]的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)等領(lǐng)域[2-4]。然而，作為典型的非線性時(shí)變系統(tǒng)[5]，電液負(fù)載模擬器具有復(fù)雜的建模不確定性，包括參數(shù)時(shí)變性、無(wú)法建模的非線性因素，同時(shí)還會(huì)受到來(lái)自舵機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)干擾，這極大地增加了開(kāi)發(fā)高精度和高性能控制器的難度。為了解決上述問(wèn)題，眾多先進(jìn)的非線性控制策略相繼被提出，例如，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制策略克服無(wú)法建模的模型不確定性[6-7]、采用自適應(yīng)控制策略在線估計(jì)時(shí)變參數(shù)和外部擾動(dòng)[8]、利用觀測(cè)器對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)和補(bǔ)償[9-10]等。這些控制策略可以在一定程度上提高電液負(fù)載模擬器的跟蹤性能，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，由于采用基于無(wú)噪聲理論的全狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，對(duì)位移、速度及加速度等狀態(tài)信號(hào)的測(cè)量行為會(huì)不可避免地將測(cè)量噪聲引入控制器。這些測(cè)量噪聲會(huì)干擾控制器的自適應(yīng)性能和觀測(cè)器的在線估計(jì)效果，從而劣化系統(tǒng)的跟蹤性能表現(xiàn)，這成為了進(jìn)一步提高控制精度的障礙。

為了降低測(cè)量噪聲，Sadegh等[11]提出了一種基于期望軌跡補(bǔ)償?shù)目刂撇呗裕ㄟ^(guò)構(gòu)造不含測(cè)量噪聲的狀態(tài)變量的期望值來(lái)代替被污染的實(shí)際狀態(tài)，從而有效地降低測(cè)量噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[12-13]將該補(bǔ)償技術(shù)引入到自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)中，提出了基于期望軌跡補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)魯棒控制策略并應(yīng)用于電機(jī)系統(tǒng)，Yao等[14]也將這種技術(shù)運(yùn)用到電液執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)控制當(dāng)中，并取得了較好的效果。然而，在對(duì)外部干擾的處理上，該策略只是簡(jiǎn)單地將其作為時(shí)變參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，自適應(yīng)效果只依賴于狀態(tài)誤差，這對(duì)于系統(tǒng)跟蹤精度的提升是有限的。

基于以上問(wèn)題，本文提出了一種基于擴(kuò)展觀測(cè)器的自適應(yīng)魯棒控制器，將未知的外部干擾擴(kuò)展為系統(tǒng)的高階狀態(tài)，并對(duì)其進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，同時(shí)，將實(shí)際的狀態(tài)變量值替換為對(duì)應(yīng)的期望信號(hào)值，并將其集成到自適應(yīng)模型補(bǔ)償器和擴(kuò)展觀測(cè)器中以降低測(cè)量噪聲的影響，同時(shí)提升控制器的自適應(yīng)性能和觀測(cè)器的觀測(cè)性能，觀測(cè)器的系統(tǒng)參數(shù)由控制器的參數(shù)自適應(yīng)率獲得。此外，控制器中還引入了一個(gè)虛擬的誤差變量，以使控制器獲得額外的設(shè)計(jì)自由度，從而獲得更高的控制性能。最后，利用Lyapunov理論證明了該控制策略的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制器不僅具有出色的跟蹤性能，還具有較強(qiáng)的魯棒性。

1 電液負(fù)載模擬器系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型如圖1所示，左側(cè)為電液負(fù)載模擬器，右側(cè)為舵機(jī)系統(tǒng)。系統(tǒng)工作時(shí)，舵機(jī)系統(tǒng)會(huì)對(duì)負(fù)載模擬器施加額外的運(yùn)動(dòng)干擾。慣性負(fù)載的動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 電液負(fù)載模擬器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the structure of electro-hydraulic load simulator

式中：m與y分別為負(fù)載的質(zhì)量和位移；PL為負(fù)載壓力，PL=P1?P2；A為液壓缸的有效作用面積；Cf(y˙)為連續(xù)的摩擦模型函數(shù)；Am為摩擦振幅；B為黏性阻尼系數(shù)；d(t,y,y˙)表示總的模型不確定性，包括由舵機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的外部擾動(dòng)和無(wú)法測(cè)量的建模誤差。

液壓缸的壓力動(dòng)態(tài)方程為

式中：V為液壓缸兩腔的總?cè)莘e； βe表示液壓油的有效體積模量；Ct是液壓缸的內(nèi)部泄漏系數(shù)；Q(t)為未建模的流量誤差；kt是控制輸入電壓u的總流量增益；Ps是 供油壓力；Pr為回油壓力；sgn(u)為不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)。

系統(tǒng)末端的輸出力

式中，k為力傳感器的彈簧勁度系數(shù)。

定義狀態(tài)變量為x=[x1,x2,x3]T=[y,y˙,APL/m]T，則整個(gè)系統(tǒng)可以由以下?tīng)顟B(tài)空間方程表述：

其中，

2 自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

2.1 參數(shù)自適應(yīng)算法設(shè)計(jì)

由于實(shí)際應(yīng)用中，液壓系統(tǒng)參數(shù)會(huì)因?yàn)楣ぷ鳝h(huán)境變化而出現(xiàn)波動(dòng)，為了減少系統(tǒng)的參數(shù)不確定性以及提高跟蹤性能，在控制器設(shè)計(jì)中引入了參數(shù)自適應(yīng)算法。定義一組未知參數(shù)集：θ=[θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6]T，其中，θ1=b，θ2=Am/m，θ3=4Aβekt/(mV)， θ4=4A2βe/(mV)， θ5=4βeCt/V， θ6=qn(t)。由此，描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程 (5 )可寫(xiě)為

在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)之前，需要作假設(shè)。

假設(shè)1期望運(yùn)動(dòng)軌跡及其導(dǎo)數(shù)均有界。Fd(t)為期望跟蹤的力。此外，系統(tǒng)中外部擾動(dòng)及其導(dǎo)數(shù)、建模誤差均有界，即：

其中， δ1， δ2， δ3均為正數(shù)。

假設(shè)2系統(tǒng)參數(shù)的波動(dòng)范圍為：

式中：?θ為有界開(kāi)集；θmin=[θ1min,···,θ6min]T，θmax=[θ1max,···,θ6max]T，且全部已知。

定義映射函數(shù)

自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

式中， Γ為正定的自適應(yīng)對(duì)角矩陣。

對(duì)于任何函數(shù) τ，該自適應(yīng)率都將滿足以下關(guān)系[15]：

2.2 擴(kuò)展觀測(cè)器設(shè)計(jì)

來(lái)自舵機(jī)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)干擾d(t)是影響電液負(fù)載模擬器跟蹤性能的主要干擾源，通過(guò)構(gòu)造擴(kuò)展觀測(cè)器[10]，將系統(tǒng)內(nèi)的模型不確定性作為系統(tǒng)的高階狀態(tài)來(lái)估計(jì)。

結(jié)合系統(tǒng)模型 (6 )，觀測(cè)器誤差的動(dòng)態(tài)誤差可以表述為

由于A是一個(gè)Hurwitz矩陣，因此，必定存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，滿足以下Lyapunov方程：

其中，E為單位矩陣。求解上述等式，可得

2.3 控制器設(shè)計(jì)

現(xiàn)介紹控制器設(shè)計(jì)步驟。

步驟1定義一組誤差變量，

式中：z1為輸出的位移誤差，z1=x1?yd；c1，c2為正反饋增益系數(shù)；s為輔助誤差變量，用于獲得額外的控制器設(shè)計(jì)自由度。

在設(shè)計(jì)時(shí)，可以將x3視為虛擬輸入量，從而為其合成虛擬控制率 α。將式 (1 9)和式 (2 0)代入式(21)，并對(duì)其求導(dǎo)，可得

基于式（22），虛擬控制率 α可以設(shè)計(jì)為

式中： αa為基于模型的在線參數(shù)自適應(yīng)前饋補(bǔ)償控制律； αs為待合成的魯棒控制律； ︿xe為觀測(cè)得到的外部擾動(dòng)量。

由于模型存在不確定性，并且自適應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值與其真實(shí)值之間存在誤差，因此，需要設(shè)計(jì)魯棒控制律來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng)。

式中： αs1用于穩(wěn)定系統(tǒng)的標(biāo)稱模型；k2s是一個(gè)正常數(shù)反饋增益； αs2用于鎮(zhèn)定未知的模型不確定性以及平衡系統(tǒng)的參數(shù)不確定性。

αs3可以是滿足：

條件的任意函數(shù)。

ε1為一個(gè)任意小的常數(shù)。因此， αs3可以被設(shè)計(jì)為如下形式：

式中，k2a為正的常數(shù)反饋增益。

將式(14)，(23)，(31)代入式(22)，可得

步驟2合成系統(tǒng)的實(shí)際控制律u。將式 (6 )的第3式和式 (2 0)代入式 (2 8)，可得

在上述的控制器設(shè)計(jì)中，x2被y˙d代替參與了控制器的補(bǔ)償設(shè)計(jì)。為了降低測(cè)量噪聲的干擾，構(gòu)造實(shí)際控制律u還 需要知道x3的期望值信息，從式(6)的第2式可知，x3可被表達(dá)為

考慮到式 (2 3)，x3可表達(dá)為

式(29)可寫(xiě)為

其中，

而ua是將要合成的實(shí)際控制律u中的基于模型的自適應(yīng)補(bǔ)償控制律。

類似于先前的虛擬控制律 α的設(shè)計(jì)，最終的實(shí)際控制律u設(shè)計(jì)為

式中：ua為基于模型的自適應(yīng)補(bǔ)償控制律；us1用于穩(wěn)定系統(tǒng)標(biāo)稱模型；us2用于控制系統(tǒng)的模型不確定性和平衡系統(tǒng)的參數(shù)不確定性。

式中，k3s是一個(gè)正常數(shù)增益反饋。

us2可以是滿足

條件的任意函數(shù)。

其中， ε2為一個(gè)任意小的常數(shù)。因此，us2可以被設(shè)計(jì)為

其中，k3a為正的常數(shù)反饋增益。

將式(34)和式(35)代入式(33)，可得

2.4 穩(wěn)定性分析

式中， ω1， ω2， ω3， ω4， ω5均為正常數(shù)。

系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)值通過(guò)自適應(yīng)律式(10)進(jìn)行更新，其中， τ被設(shè)計(jì)為

當(dāng)反饋增益c1，c2，k2s，k3s和 μ足夠大時(shí)，以下的矩陣將正定：

其中，

由上可知，提出的控制律就能夠保證控制器的收斂性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

證明當(dāng)h(t)=0且q? (t)=0時(shí)，定義Lyapunov函數(shù)VA。

結(jié)合式 (15)，(19)，(21)，(39)，(40)，并對(duì)式(46)求導(dǎo) 后 同時(shí)引入式 (12)，(26)，(37)， (41)～(43)，整理可得

由Young’s不等式，可得：

將式(44)，(45)和(49)代入式(48)，可得

其中，e=[z1,z2,z3,s,ξ1,ξ2]T。則所有信號(hào)均閉環(huán)有界，控制器是漸近穩(wěn)定的，即t→∞時(shí)，z1→0。

當(dāng)h(t)≠0且q? (t)≠0時(shí)，定義函數(shù)VB。

對(duì)VB求導(dǎo)后考慮式(25)和式(36)，可得

其中， θM= θmax?θmin，由Young’s不等式可得

根據(jù)式(45)，式(53)可轉(zhuǎn)換為

從而得到

其中， λ =2λmin(Λ)， λmin(Λ)表示正定矩陣 Λ的最小特征值。由上可知，所提出的控制器不僅可以確保所有信號(hào)均為閉環(huán)有界，且呈指數(shù)級(jí)收斂，其收斂速度和最終跟蹤誤差取決于 λ。

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink中搭建系統(tǒng)仿真模型并對(duì)提出的控制策略進(jìn)行仿真分析[16]，仿真步長(zhǎng)設(shè)置為0.001 s，電液負(fù)載模擬器的仿真參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 Parameters of system simulation

此外，非線性摩擦函數(shù)選擇為

為了驗(yàn)證所提出的控制器的控制效果，選擇3種性能指標(biāo)，即最大跟蹤誤差Me、平均跟蹤誤差μe， 跟蹤誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差 σe來(lái)量化各種控制策略的控制性能[17]。同時(shí)，選擇本文提出的控制器與PI控制器和DCAC控制器進(jìn)行對(duì)比。

a.ARC-ESO。這是本文提出的具有擴(kuò)展觀測(cè)器的自適應(yīng)魯棒控制器，控制參數(shù)為：c1=400，c2=200，k2s=400，k3s=200，k2a=1，k3a=0.5，μ=1000。105,0,?1000]T，θmax=[250,25,540,4.1×107,1000,1000]T。參數(shù)自適應(yīng)率矩陣Γ =diag{20,1×10?6,5×10?3,50,0.75,10}。

b.PI。PI控制器。通過(guò)試錯(cuò)法調(diào)整的控制器增益為KP=5800，KI=2000。

c.DCAC。具有期望軌跡補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)控制器[14]，其結(jié)構(gòu)為

其中，y3d為x3的期望值。參數(shù)估計(jì)初始值和其界限以及自適應(yīng)率矩陣為

其余控制參數(shù)與ARC-ESO相同。

仿真實(shí)驗(yàn)分為以下兩種工況：a.舵機(jī)系統(tǒng)未加載時(shí)各控制策略的控制效果對(duì)比；b.舵機(jī)系統(tǒng)加載時(shí)各控制策略的控制效果對(duì)比。仿真測(cè)試中，參考力軌跡設(shè)定為Fd(t)=4000arctan(sin πt)[1?exp(?t)]N。同時(shí)，系統(tǒng)位置、速度、壓力信號(hào)均添加了幅值為 1× 10?5的隨機(jī)噪聲信號(hào)[18]，以模擬測(cè)量噪聲。

工況1舵機(jī)系統(tǒng)未加載時(shí)，外部擾動(dòng)設(shè)定為d(t,y,y˙)=0，3種控制器各自的跟蹤誤差如圖2所示，除根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際跟蹤軌跡和期望目標(biāo)軌跡之間的實(shí)時(shí)偏差值評(píng)估控制算法性能外，本文還采用了其他3個(gè)性能指標(biāo)量化估計(jì)每種控制算法的性能，即誤差最大值Me， 誤差平均值 μe，誤差標(biāo)準(zhǔn)偏差 σe。

圖2 3種控制器的跟蹤誤差（工況1）Fig.2 Tracking error of three controllers (condition 1)

a.誤差最大值定義為

其中，i=1,2,···,n，n為所記錄的誤差數(shù)據(jù)的數(shù)量。

b.誤差平均值定義為

c.誤差標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為

跟蹤性能指標(biāo)如表2所示。

表2 跟蹤性能指標(biāo)（工況1）Tab.2 Tracking performance metrics (condition 1)

仿真結(jié)果表明，在此工況下，PI控制器作用下系統(tǒng)的跟蹤效果最差，其最大誤差達(dá)到了35 N。相比之下，由于具有基于期望模型補(bǔ)償?shù)那梆伩刂坡桑贒CAC控制器作用下，系統(tǒng)最大穩(wěn)態(tài)誤差為5 N左右。由于引入的輔助誤差變量和自適應(yīng)干擾觀測(cè)器，本文所提出的ARC-ESO控制器具有最佳的跟蹤性能，其最大跟蹤誤差不超過(guò)3 N，而最大穩(wěn)態(tài)誤差不超過(guò)1 N，與其他2種控制器相比，各項(xiàng)性能指標(biāo)都有較大幅度的提升。

表3 跟蹤性能指標(biāo)（工況2）Tab.3 Tracking performance metrics (condition 2)

圖3 3種控制器的跟蹤誤差（工況2）Fig.3 Tracking error of three controllers (condition 2)

仿真結(jié)果表明，當(dāng)系統(tǒng)中加入外負(fù)載擾動(dòng)后，與工況1相比，PI控制器受外負(fù)載擾動(dòng)的影響較小，但PI控制器的跟蹤精度仍然是最低的。而DCAC控制器的控制性能劣化得較為嚴(yán)重，系統(tǒng)最大穩(wěn)態(tài)誤差達(dá)到了16 N，各項(xiàng)性能指標(biāo)都具有大幅度的衰減，盡管DCAC將外負(fù)載干擾作為了系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)，但自適應(yīng)效果十分有限。而ARC-ESO依然獲得了最佳的控制性能，與工況1相比，在其作用下的系統(tǒng)跟蹤精度衰減非常微小，表明本文所提出的控制策略具有良好的抗干擾能力。

4 結(jié) 論

針對(duì)電液負(fù)載模擬器中傳感器測(cè)量噪聲和未知的外界干擾引起的跟蹤精度不高的問(wèn)題，提出了一種高精度的自適應(yīng)魯棒控制策略。在考慮存在非線性特性和各種建模不確定性的情況下建立了電液負(fù)載模擬器的數(shù)學(xué)模型；通過(guò)構(gòu)造擴(kuò)展觀測(cè)器在線估計(jì)外部干擾并進(jìn)行補(bǔ)償，利用系統(tǒng)各狀態(tài)變量的期望信號(hào)代替實(shí)際狀態(tài)信號(hào)，并集成到參數(shù)自適應(yīng)模型補(bǔ)償器中，以減少測(cè)量噪聲對(duì)控制器和觀測(cè)器的影響。同時(shí)通過(guò)引入一個(gè)虛擬的誤差變量來(lái)改進(jìn)控制器結(jié)構(gòu)，以提高跟蹤精度。該控制器已通過(guò)Lyapunov方法證明了其閉環(huán)穩(wěn)定性，并利用MATLAB/Simulink進(jìn)行了仿真分析。結(jié)果表明，與PI和DCAC控制器相比，在不存在外部擾動(dòng)的情況下，所提出的控制器能夠達(dá)到更高的跟蹤精度，而在存在外部擾動(dòng)的情況下，所提出的控制器不僅保持了良好的跟蹤性能，同時(shí)具有較強(qiáng)的魯棒性。