發問·發現·發省·發展
——走向自然的“4F”解題教學透析

2021-12-29 11:46:00段志貴王光明張建偉

數學通報 2021年11期

段志貴王光明張建偉

(1.鹽城師范學院數學與統計學院 224002;2.天津師范大學教育學部 300387)

多年來國內外解題與解題教學的理論研究方興未艾，成果豐碩.如何把這些成果進一步應用到具體的解題與解題教學實踐之中反哺理論研究也成為大家共同關心的話題．本研究擬通過有著特級教師榮譽、正高級教師職稱的G老師的一節解題教學優秀課例，深入探討解題教學自然生發的“發問、發現、發省和發展”實施過程，凝練并具體分析“4F”解題教學的模式構建、運行方式及其應用價值．

專家型教師G老師任教于蘇南某市普通高中多年，教學經驗豐富.他的這節解題教學課例選用的是“圓錐曲線”單元教學結束后的一道檢測題[1]：

設雙曲線x2-y2=2021的左、右頂點分別為A1,A2，P為其右支上一點，且∠A1PA2=4∠PA1A2，則∠PA1A2=．

G老師發現這道測試題的檢測結果非常不理想.全班一共45名同學，40名同學或是答錯，或是空白；還有5名同學，雖然正確，但是答案卻是通過作圖猜測的.他在反思：這道題有那么多學生沒有思路，究竟難在何處？如何講解才能讓學生學得靈活，理解得深刻，并能由此及彼觸類旁通呢？

1 發問——查找解題癥結

波利亞解題理論告訴我們，解題的第一步是弄清題意．弄清題意的目的就是要深入剖析從條件到結論需要跨越的障礙，明了問題解決的癥結所在，為后續解題攻克堡壘打開通道．讓我們首先看看G老師是如何組織開篇第一環節教學的．

師：同學們，這道題看上去已知和未知非常明確，怎么求解？請說說你的想法．

生甲：老師，我在想可否利用雙曲線的定義去解題，|PA1|-|PA2|=2a,然后利用余弦定理，通過已知的邊角關系去求出角α．

G老師評述說，甲同學想到的是“回歸定義”，這是一種常用的解題策略．他請同學們想想看，甲同學的方法是否可行．同學們議論紛紛，有同學大聲指出甲同學的思路不對，“回歸定義”應該是動點P到雙曲線兩個定點(即雙曲線兩個焦點F1,F2)的距離之差，而不是動點到雙曲線的兩個頂點的距離之差．

師：同學們說的對．甲同學對定義的理解不是很透徹，犯了一個知識性錯誤，下次一定要注意．在本題中，A1、A2是雙曲線的左、右兩個頂點，而不是兩個焦點．由此可見，仔細審題非常關鍵，它是成功解題最基本的一個要求．

G老師要求同學們再仔細想一想，本題已知什么條件，已知的雙曲線和P點各有什么特征？未知(待求)什么？可否根據已知條件做出一張草圖，以幫助思考．在G老師的引導下，學生們重新梳理了題目中的“重要信息”，根據題意畫出了草圖(如圖1所示)，并且標注了兩個已知角之間的4倍關系．

圖1

G老師給同學們5分鐘的時間，讓大家獨立思考．他在教室里轉了一圈，發現學生們大多緊鎖眉頭，看上去都沒有找到一個可行的方向．個別同學在草稿紙上寫寫畫畫，有的同學標注出了相關點及已知條件的信息，但也只是止步于此，再無進展．于此，G老師適時開始了課堂發問：大家遇到了哪些困難?哪些困難的解決是容易的？哪些困難尚未獲得突破？有沒有思考可能的破解方法？好多學生反映不知道∠A1PA2=4∠PA1A2這個條件怎么使用．顯然這就是影響同學們發現解法的癥結所在，也是解決問題的關鍵所在．

迅速找到解題的發問點(關鍵點)是破解問題的關鍵一步．觀察發現，一些看似復雜的表達式，或是無法直接套用的變量關系，或是聯結各類條件(或結論)的核心概念等，都可能成為解題需要盤根問底的重點對象，都有可能成為解題的發問點．基于對G老師這一教學環節的賞析，我們還看到了解題教學的發問時機和發問角度的恰當選擇也非常重要．立足于學生立場，指向學生感知，不難發現：學生的憤悱之時就是發問的最佳時機，引領學生思維同步推進的問題視角就是最好的發問角度．

有些人眼高手低，感覺發問沒有意義，找到解題癥結又如何呢？事實上，沒有找尋發問點的解題只是一種嘗試性的試驗，沒有方向感，帶有盲目性．這樣做也可能把問題解決，但解題能力并不會因此獲得多少長進．而G老師引領學生找到了解題癥結，就可以集中精力全力以赴地攻克它．一方面，通過發問為問題的解構奠定基礎，深化了對問題本質的理解，為問題的逐步解決找準了方向；另一方面，通過發問去查找癥結，培養了學生的思維習慣和意志品質，為學生樹立了標桿，建立了解題信心，積累了解題經驗．

2 發現——探索解題路徑

問題的癥結雖然找到了，可是如何更進一步化解這一癥結，從而尋找到有效的解題路徑呢？可以看到，G老師自始至終都在用啟發性的語言，調動學生的積極性、主動性和創造性，引領學生將各種數學知識聯系起來，將已有的學習經驗與數學知識聯系起來進行分析和探索．

師：一般情況下，題目所給的條件都有用處．當你們面對一個一時用不起來的條件，想過怎么辦嗎？可否把已知條件與之前學過的一些知識聯系起來考慮？可否把這個條件進行轉化？前后桌4人一個小組討論5分鐘，之后進行班級交流．

5分鐘過后，G老師請各小組代表匯報本組的討論進展．

小組1組長：老師，我們組想從雙曲線定義入手解決問題，但是行不通．

小組2組長：老師，我們組想通過解三角形△PA1A2來求尋求突破，嘗試發現不通．

小組3組長：老師，我們小組利用雙曲線方程，從觀察方程的角度入手，引入點P、點A1和點A2的坐標，想求解∠PA1A2的正切，也行不通．

……

G老師在充分了解各小組討論進展的基礎上，發現小組1和小組2的學生想法離正確的思路還很遠，小組3的學生雖然看似找對了解題方向，卻又無法進一步轉化問題，突破解題瓶頸．G老師決定先不直接給出轉化的要點．他讓小組3組長把他們的進展寫在了黑板上，并讓大家沿著該組學生的思路繼續解決問題．

小組3組長走上講臺在黑板上書寫了如下內容：

不妨設∠PA1A2=α，則∠A1PA2=4α．

由雙曲線x2-y2=2021，得頂點坐標為

師：請各小組繼續討論，這兩個斜率可以如何使用？

2分鐘后，小組4的同學們舉手，躍躍欲試．G老師請他們分享討論結果．

小組4組長：老師，我們發現直線PA1，PA2的斜率乘積是二元二次方程，與雙曲線方程有關，化簡后是定值．

師：很好．請說出你的推導過程．

師：很漂亮的解法．

這時第1小組一位女生舉手要求發言．

圖2

師：很好！乙同學的方法比剛才第4組所給出的方法簡潔得多，利用了初中有關兩個三角形相似的知識，替代了繁瑣的三角函數角與角之間的運算，很直觀．

至此，在小組3和小組4的共同努力下問題終于得到了解決，乙同學在此基礎上，還進一步優化得到了更簡潔的解法，同學們都露出了滿意的笑容．

每一次探索發現的教學，都是一次解題思路生成的過程．這里雖然只是簡要記述了在G老師引領下的同學們精彩發現的幾個片段，但是，透過這些師生共同參與的活動，我們看到G老師放手而非“牽手”，啟發而非束縛，把解題發現融合在“弄清題意——聯系舊知——小組討論——全班交流——辨析思考——嘗試猜想——轉化(化歸)問題——點燃(思維)火花——一題多解”的教學過程之中，這與波利亞在《數學的發現——對解題的理解、研究和講授》中構畫的解題思維導圖有著異曲同工之妙．他讓波利亞提出的“動員”“組織”“分離”“組合”以及“辨認”“回憶”“充實”“重組”等[2]解題策略落地開花，不僅展現出更具體的解題操作細節，而且也在解題教學過程中更進一步地突顯了學生的主體地位，討論、交流、辨析、探索、聯想渾然一體，解題思維得到了充分的展開和訓練，解題發現自然、真實，取得了顯著的教學效果．

3 發省——反思解題過程

在獲得問題所求答案后，許多老師容易忽視解題之后的總結與反思，大多數學生更是如此．正如波利亞所說，解題回顧是“領會方法的最佳時機”，“沒有任何一個題目是徹底完成了的”，“無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解”．讓我們一起來看看G老師在本例教學中是如何引導學生推進解題反省的．

一方面，G老師總結了常見錯誤，特別提到了甲同學的“回歸定義”的解題思路，肯定了他的想法，同時指出這一錯誤一開始就讓解題走錯了方向，把“好的工具”用錯了地方，教訓深刻．經過G老師這一點評，相信同學們都會盡量避免再犯同類錯誤．另一方面，G老師組織大家回顧解題方法．他請第4小組組長介紹本組同學是怎樣萌生解題思路的．

小組4組長：我們小組在您提到α是傾斜角，分別求出直線PA1、PA2的斜率后，猜想這兩個斜率會不會有什么關系或聯系，于是結合已知條件，當把它們乘起來后得出乘積正好為1，進而通過三角變換相關運算可以求出待求的角度．

師：很好！一個“好的念頭”產生了好的結果．其實解題方法并不唯一．我們再請乙同學說一下是如何想到她的思路的．

生乙：我的想法建立在第4小組的基礎上，我感覺他們計算的過程有點繁瑣了，可否有更簡單的方法，于是依據對應線段成比例，就想到了用相似三角形去做．

師：非常好！剛剛兩位同學回顧了他們解題念頭產生的背景和萌發的原由，大家應該受到了啟發．哪位同學說說看，通過解這道題，你還有什么收獲？

生丙：我感覺轉化思想非常重要．本題中對角進行轉化，轉化為斜率，轉化為邊之比，轉化為相似三角形，不斷轉化是解題成功的關鍵．

G老師非常認可丙同學的體會，并跟進和解釋了丙同學的收獲——轉化是數學區別于其他學科的一個重要是想，也是數學解題的一個重要法寶，有的專家稱之為化歸，并說他更喜歡把這種能力稱之為數學解題的變通能力．他強調第4小組、乙同學之所以能成功解題，得益于他們腦海里涌現的“好的念頭”，大家一定要善于把控解題過程中出現的每一個念頭，努力讓“好的念頭”開花結果．更進一步地，G老師還提出“好的念頭”往往來源于你對問題的分析和理解，來源于你是否具有厚實的基礎知識和基本的解題經驗，來源于你能否具有靈機一動計上心來的變通能力．

美國心理學家波斯納提出的“經驗+反思=成長”的成長公式同樣適切于解題能力的獲得與進步．解題后經常性地總結與反思，有利于養成“回頭看”的思考和解決問題的習慣，有利于厘清數學問題及其解答的來龍去脈，有利于透視解題過程中的種種“遭遇”并明晰被征服的困難的實質，有利于梳理數學問題、方法和理論之間的廣泛聯系，有利于高屋建瓴地審視許多相關結果中的交匯點[3]．

在解題發省這一教學階段，G老師回顧了解題過程,檢查了相關解題細節．一方面,強調了對錯誤解法的反思,查找到錯解發生的原因,提醒學生避免錯誤再次發生;另一方面,啟發學生進行解題方法發現的回顧與總結,引領學生充分地認識解題規律,理解解題關鍵, 把握解題本質,積累解題經驗. 他不僅讓學生“知其然”，而且更要“知其所以然”，有意識地引導學生對數學解題過程再回顧、再檢查,以期加深學生們對數學的認知，促進學生們解題思維的生長．

貫穿在解題發省過程中的G老師的教學思想也值得點贊．他非常重視學生數學思想的形成和數學方法的運用，注意保護學生學習的主動性和積極性,對學生在解題中萌發的解題“念頭”加以充分肯定，鼓勵他們大膽思考、積極嘗試，引導他們不斷探索和發現問題，鼓勵他們在尋求問題解決更簡潔的思路和更多條通道中豐富解題經驗,提高解題能力．

4 發展——拓展解題思維

對原題進行必要的拓展與延伸，是解題教學的目標要求．這一階段，重在變換條件結論，歸納和提煉出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，引導學生探索、發現其中的解題規律，激發學生創造性思維潛能，拓展深化學生對知識理解的深度與廣度．在這一解題教學階段，教師既是問題情境的創設者，學生解題的合作者、指導者，又是解題活動的組織者、促進者，以及解題過程的引領者、調控者．

師：大家不要忙著收起草稿本，請在解題完成后再次回顧解題過程，也許你們會產生一些新的想法，收獲一些意想不到的發現．

受到G老師啟發，同學們一個個都睜大了雙眼，更仔細地閱讀原題，回顧解題過程，分析解法，探索可衍生的結論．

生丁：(舉手)好像“2021”這個數字并不重要，可以換成其它任何正數都行．

師：能說說為什么不影響結論嗎？

生丁：因為后面的計算結果沒有直接用到“2021”，直覺告訴我，“2021”可以換成任何正數．

師：好的，倘若按你所設“2021”替換成a2，你能把這個新編的題目說一說嗎？

生丁：設雙曲線x2-y2=a2(a>0)的兩個頂點分別為B1，B2，P為其右支上一點，且∠B1PB2=4∠PB1B2，求∠PB2B1.

絕大部分學生也都脫口而出，并且說出答案還是15°．G老師看到他們興奮的樣子，又開始追問．

師：有沒有同學對雙曲線的方程有一種更為大膽地“變式”？

師：待求什么？請具體說一說.

G老師面帶笑容，追問戊的同桌己同學．

師：己同學，你說∠PB2B1可求嗎？

生己：如果是一般形式的雙曲線，好像∠PB2B1不確定，不一定可求，但是這時直線PA1，PA2的斜率乘積應該是定值．

緊接著，G老師請己同學解釋他的想法．己同學說是依據兩個斜率的表達式直覺想到的．G老師進一步請己同學到黑板(板演)推證：

G老師表揚了己同學，其他學生也流露出敬佩的眼神．從學生的表情中G老師讀懂他們有迫切希望解決新問題的強烈愿望，感覺促進學生思維生長的興奮點已經來臨．于是，G老師引領同學們將問題繼續深化下去，創造了又一個發展學生思維、提升學生解題素養的絕佳時機．

師：非常棒！那么本題還可以進一步延伸和推廣嗎？

短暫的沉默之后，又有同學舉手了．

生庚：可以把雙曲線改編為橢圓，命題可能一樣成立．這個命題是：

G老師追問他這里的定值是什么，庚同學說自己還不知道．有的學生猜想和雙曲線一樣是“e2-1”．那么，這里的定值究竟是什么呢？是“e2-1”嗎？帶著疑惑，G老師和學生一起進行了驗證，從而得到結論：直線PA1、PA2的斜率乘積是定值，定值為e2-1．

師：如果把題中的左、右頂點換成上、下頂點呢？

話音未落，有學生就計算出了答案：當橢圓的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于頂點的一動點，直線PA1，PA2的斜率乘積是定值，同樣也是e2-1．

師：好像很有趣，是不是？從中你有什么發現？

師：很好．大家有沒有想過，本題還能作進一步延伸和推廣嗎？誰有想法？

大家沉默思考了片刻，坐在后面的一位男生打破了教室里的寧靜．

生壬：我在想，如果A1、A2不是長軸(或實軸)的兩個頂點，而是過中心O的任一條直線與圓錐曲線的兩個交點呢，此時PA1、PA2所在直線的斜率乘積還是定值嗎？

師：怎么會產生這個想法的呢？說說看．

生壬：過去常用旋轉法做題，我把這一方法聯想到本題中來了．我先對橢圓問題作出猜想，然后對雙曲線問題進行猜想，如圖3、圖4所示．具體地猜想是：

圖3

圖4

師：太棒了，大家把掌聲送給他．(教室里響起熱烈的掌聲)

同學們意猶未盡，限于時間，G老師要求大家課后嘗試著去證明這兩個結論，并介紹說它們是圓錐曲線知識技能中的一個重要內容．他告誡同學們，解題的探索過程本就是一個經驗積累的過程．學習一道題，不能只收獲一道題的解答過程，不能只收獲一種解法．同樣，任何時候的學習，都不應只滿足于簡單的記憶，正如這道題的學習，要學會發問，學會在發問中發現、發省和發展，并不止步于此，把已掌握的方法、結論應用到更充滿挑戰的問題解決中去．

解題發展有別于解題發省，它是建立在解題發省基礎之上的解題思維生長．在這一環節，G老師從“2021”這個數字的可替代性出發，啟發學生對原題進行拓展延伸，從而發現規律．他讓學生嘗試著改造或創造一些新題目，此舉極大地調動了學生們學習的積極性．在師生、生生互動過程中，將題目中的等軸雙曲線改編成標準形式下的雙曲線并證明了標準形式下的雙曲線中PA1，PA2的斜率乘積仍然是定值．接著利用類比法將題設條件又由雙曲線改造成橢圓，并進一步探討了問題的結論，把證明留待課后思考．

正如波利亞所說，“數學不是堆砌起來的符號和公式，而是生動活潑的智力活動”，“數學活動是猜想和論證循序交替、不斷發展的過程，是演繹和歸納的辯證統一”[4]．這一發展性解題教學環節，激發了學生的學習熱情，提升了他們的解題素養，為他們后續解決更多、更深、更廣泛的同類數學問題積累了寶貴經驗，奠定了堅實基礎．

5 “4F”解題教學透析

回顧本節課的解題教學，我們看到G老師基于解題教學目標，采用了從發問切入，然后到發現解法，再到發省，最后又通過師生、生生合作交流，引領學生不但解決了問題，而且使建立在解題能力提高基礎上的解題素養獲得更大發展．G老師的這一解題教學法，可以簡潔地凝練成以下“4F”解題教學示意圖，如圖5所示．

圖5 “4F”解題教學示意圖

圖5所示的“4F”解題教學中，“解題發問”居于解題教學的中心，圍繞著“解題發問”有3條從“解題發問”出發的折線，分別指向“解題發現”、“解題發省”和“解題發展”．“4F”解題教學也是引領學生從謀求解法發現到超越問題解決，解題能力不斷提升、數學思維不斷生長的一個螺旋式遞進過程．

首先，解題發問是探索解題路徑的起點．真正有效的解題教學，一定要抓住問題的要害，揭示問題解決的關鍵．解題發問居于解題教學的中心，它不但影響著解題發現，也影響著解題的發省和解題的發展．通過發問，可以引導學生從發現到發省，反思解題的成功經驗與失敗教訓；通過發問，可以引導學生從發省到發展，在解題延伸與拓展中深度學習，拓寬解題視野，提高解題素養；通過發問，還可以引領學生帶著發展了的解題本領接受新的問題挑戰，解決層出不窮的新問題，去發現、發省、再發展，循環往復，不斷向前．

其次，解題發現是捕獲解題方法的關鍵．一道數學問題的解法發現，沒有發問就可能找不著方向.然而只有發問，也未必會直接帶來發現．解題的發現還依賴于厚實的數學基本功以及豐富的解題經驗積累．解法的獲得可能是一個漫長而又曲折的發現過程.這一過程融合了解題者的智慧，在待解決問題與一些熟悉的、已解決了的問題之間架設了溝通的橋梁；這一過程化解了解題癥結并連結了條件和結論、已知和未知，打開了求解的通道．

再次，解題發省是提升解題能力的基石．從解題發現到解題發省，要求教師的解題教學在基本完成問題解答后，要趁著學生頭腦中還有著清晰的體驗，讓他們去回顧解題過程，反思推理過程中的錯誤并分析其中的原因；反省是否還存在其它解法，比較各種解法的優缺點．

最后，解題發展是培養解題素養的階梯．解題能力的提升，不能僅僅滿足于就題論題的反省，還要對問題作進一步宏觀上的認識和理解，透過現象看本質，改變問題的提問方式、覆蓋領域、形式結構以及應用范圍等，以實現對問題的拓展與延伸，促進學生深刻理解相關解題方法與策略，幫助學生內化為具身性的解題知識和能力、數學思維與素養．