數學問題解答

2021年10月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2626如圖D、E、F分別是三角形ABC三邊(或延長線)上的點，滿足∠ADC=∠BEA=∠CFB，直線AD、BE、CF兩兩交于點L、M、K，點H是△ABC的垂心.求證：點H是△LMK的外心.

(浙江省慈溪實驗中學 華漫天 315300)

證明作△ABC的三條高線AG、BQ、CP，

由已知不妨令∠DAG=∠EBQ=∠FCP=α，

同時令△ABC的外接圓半徑為R，

顯然∠BHC=180°-∠BAC，

故△BHC的外接圓直徑為

易知A、E、M、F四點共圓，所以

∠BMC=∠EMF=180°-∠BAC，

得B、H、M、C四點共圓，

且外接圓半徑就是R，所以

HM=2Rsin∠HBM=2Rsinα;

同理HK=HL=2Rsinα,

即點H是△LMK的外心.

(河南質量工程職業學院 李永利 467001)

證明設△ABC的面積、半周長、內切圓半徑分別為△,p,r，旁切圓半徑分別為ra,rb,rc.

由察柏爾定理可知OI2=R2-2Rr.

而由數學問題2524題的解答過程可知

于是

=4R2+2R(ra+rb+rc-r), (2)

又因

△=pr=(p-a)ra=(p-b)rb=(p-c)rc，

a+b+c=2p，

ab+bc+ca=p2+4Rr+r2，

(p-a)(p-b)(p-c)=pr2，

所以

ra+rb+rc

即ra+rb+rc-r=4R, (3)

由(2)，(3)兩式可知(1)式成立.

(浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗 314300；北京航空航天大學圖書館 宋慶 100191)

≥1等價于

由柯西不等式

即4(a2+b2+c2)+6

由柯西不等式

以上三式相加，

≥a2+b2+2(bc+ca)，

從而a2+b2+c2+3≥a2+b2+2(bc+ca)，

2629設雙曲線C的兩焦點為F1、F2，兩準線為l1、l2，過雙曲線上一點P，作平行于F1F2的直線，分別交準線l1、l2于M1、M2，直線M1F1與M2F2交于點Q，則：P、Q、F2、F1四點共圓.

(江西省都昌縣第一中學 劉南山 332600)

根據對稱性知,點Q在y軸上，

所以∠F1QF2=∠F1PF2，

故P、Q、F2、F1四點共圓.

所以∠F1QF2=∠F1PF2，

故P、Q、F2、F1四點共圓.

綜上所述，P、Q、F2、F1四點共圓.

2630在ABCD中，M為對角線AC的中點，E、F分別在邊AB、BC上，滿足∠EMA=∠FMC=∠ADC,O1、O2、O3、O4分別為△EMA、△EBF、△FMC、△ADC的外心.求證：四邊形O1O2O3O4是平行四邊形.

(陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)

證明設AF與CE交于點K，連結BM，

因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以∠ADC=∠ABC.

又 ∠EMA=∠FMC=∠ADC=∠EBF，

則M、B、C及M、A、B、F四點分別共圓.

所以∠MCE=∠MBA=∠MFA,

∠MEC=∠MBC=∠MAF.

則M、K、F、C及M、A、E、K四點分別共圓.

所以∠EKA=∠EMA=∠EBF=∠ADC.

則K、E、B、F及K、C、D、A四點分別共圓.

于是 △EMA、△EBF、△FMC、△AADC的外接圓交于一點K.

所以EK、FK、CK、AK分別為⊙O1和⊙O2、⊙O2和⊙O2、⊙O3和⊙O4、⊙O2和⊙O1的公共弦.

則O1O2⊥CE，O1O4⊥CE，

O2O3⊥AF，O1O4⊥AF;

所以O1O2∥O3O4，O2O3∥O1O4;

故四邊形O1O2O3O4是平行四邊形.

2021年11月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(河南省周口師范學院計算機科學與技術學院 李居之 孫文雪 4660011)

2632如圖，過圓O外一點Q作圓的切線，切點為點P,N，過點Q作圓的割線交圓于點A,C，過點A作直徑ND的垂線交直線CN于點B，直線PN交線段AB于點M，求證：AM=MB.

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

2633如圖，兩同心圓上任作兩割線AXYB和MPQN，求證：AB2+PQ2=MN2+XY2.

(華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心 彭翕成 430079；常州九章教育科技有限公司 曹洪洋 213002)

2634求證：關于x，y的方程2x2+y2=2020沒有正整數解.

(山東省臨清市北門里街頤清園小區19號樓7單元2樓西戶 劉繼征 252600)

2635如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，AE、AF的延長線分別與DC、BC的延長線交于G、H，GR⊥EF于R,HS⊥EF于S,連接AR、AS.∠RAS=90°,△ARS的面積等于正方形ABCD的面積.則∠EAF=45°.

(江蘇省無錫市碩放中學 鄒黎明 214142)