基于電感辨識的內置式永磁同步電機電流模型預測控制

賈成禹，王旭東，周凱

(哈爾濱理工大學 電氣與電子工程學院，哈爾濱 150080)

0 引 言

永磁同步電機廣泛采用的電流控制策略是基于轉子磁場定向(field-oriented control，FOC)的單輸入單輸出比例積分(PI)結合d、q軸電壓前饋補償的電流解耦控制[1-2]。近年來的研究表明，由于模型預測控制(model predictive control ，MPC)算法具有快速的動態性能、以及處理多變量約束的能力等優點，被提出作為永磁同步電機電流控制的一種可行的替代方案[3-5]。由Bemporad等人提出的顯式模型預測控制[6](explicit MPC，EMPC)，將多參數規劃理論引入狀態和輸入受二次約束的線性時不變系統的最優化求解中來，用離線求解方式解決多參數規劃問題，對約束狀態空間分區并設計各區間的顯式反饋控制規律，在線計算部分簡化為根據系統當前狀態，選擇實施相應的狀態反饋控制律，這種方法把大量計算轉移到離線進行，從而克服了傳統MPC在線計算量大的缺點，而且有堅實的理論基礎，因此受到廣泛的關注[7]。

文獻[8]提出一種內置式永磁同步電機的顯式模型預測電流控制策略，獲得了較高的電流環動態性能，設計了在線擾動觀測器克服了模型參數變化引起的穩態誤差，但是擾動觀測器算法較為復雜，在線計算量較大。電機在運行中其參數可能隨著溫度、磁飽和程度等條件變化，預先設定的固定參數難以實現預測控制算法的理想性能，參數在線辨識是提高控制系統魯棒性的有效方法，目前應用較廣泛的是基于最小二乘法的辨識算法，其結構簡單，對疊加白噪聲的信號可以實現無偏估計。文獻[9]應用RLS算法，實現了對永磁同步電機的定子電阻、永磁體磁鏈以及d、q軸電感參數的辨識，并用辨識的參數來優化PID參數，能夠在電機參數發生變化時快速實現電流的精確控制，但為了使辨識結果收斂，需要施加d軸電流擾動，會影響輸出轉矩。文獻[10]詳細討論了應用RLS辨識算法時“數據飽和”和“測量噪聲”對辨識精度和動態性能的影響，并采用改進的遞推最小二乘來提高辨識的精度和收斂速度，但是在RLS 中同時引入遺忘因子和加權因子兩個可調參數增加了系統調試的復雜度。

為解決傳統MPC在線計算量大的問題，本文結合文獻[9]和文獻[10]的RLS辨識算法并對其進行綜合及優化，提出了一種新穎的基于EMPC技術的電流預測控制策略，給出了預測模型和約束條件的線性化方法，以及控制器實現的詳細步驟，并設計基于RLS的辨識算法在線辨識d、q軸電感來提高模型預測算法對模型參數誤差的魯棒性，將參數辨識與模型預測控制相結合，獲得了高動態響應電流控制效果。

1 IPMSM模型預測控制方法

1.1 線性約束系統的模型預測控制

n個狀態變量、m個輸入、r個輸出的線性系統，其離散時間狀態空間模型為：

(1)

其中：x∈Rn為系統狀態，u∈Rm為系統輸入，y∈Rr為系統輸出，滿足如下約束：

(2)

其中：H，L和M分別為定義狀態和輸入約束的矩陣。MPC應用在帶有約束條件的線性系統，其控制原理是利用離散時間線性系統模型，在有限的預測時域Np內，以x(k)為系統初始狀態，根據系統當前的狀態、輸入預測系統后續的狀態，可以用以下狀態方程描述：

(3)

當MPC設計的控制目標為使系統的輸出y(k)能夠追蹤參考輸入r(k)時，通常設計為一個二次型的代價函數來評估其性能指標：

r(k))+(u(k+i-1)-

utar(k))TR(u(k+i-1)-utar(k))]。

(4)

其中Np為預測時域，Q>0，R>0是用于懲罰當前狀態和控制行為的加權矩陣。通過求解使得代價函數J的值最小，從而得到滿足約束條件的控制輸入u*(k)。由式(1)～式(4)描述的具有約束條件的有限時域線性系統的最優控制問題可以轉化為多參數規劃問題，對約束狀態空間分區并設計各區間的顯式反饋控制律，并可離線求解，這種方法被稱為顯式模型預測控制(explicit model predictive control,EMPC),可解決在線求解最優化問題計算量大、難以滿足實時性的問題。采用EMPC方法得到的最優控制規律是關于當前系統狀態參數的線性仿射函數，在每一個約束狀態空間分區中，都有如下控制規律：

u*(k)=Kix(k)+ki。

(5)

其中i為當前狀態參數向量x(k)所在的約束狀態空間區域劃分的編號，這樣在線計算部分簡化為根據當前系統狀態參數向量x(k)，確定其在狀態空間區域分區上所處的區間號i，由此可獲得相應的狀態反饋控制律。這種方法把最優化求解轉移到離線進行, 在線計算得到極大簡化。

1.2 IPMSM數學模型

轉子磁場定向的同步旋轉坐標系(d-q坐標系)中，星型連接三相永磁同步電機的定子電壓方程可以寫成如下形式：

(6)

式中：ud，uq為定子電壓d、q軸分量;id，iq定子電流d、q軸分量；Rs定子電阻；Ld，Lq分別為d,q軸電感；Ψf永磁體磁鏈；ωe為轉子電角速度。為滿足數字控制需要，綜合考慮動態模型精度，選取Ts=100μs為時間步長，采用前向歐拉法離散化得到離散時間的模型如下：

(7)

可以寫為向量形式的狀態空間表達式：

i(k+1)=Adi(k)+Bdu(k)+f(k)。

(8)

其中：

(9)

式中：f(k)代表反電勢和交叉耦合效應的影響，在每個采樣時刻可由測量的轉子轉速和交、直電流通過計算得到。選擇電流為系統狀態，電壓為系統輸入，在每一個很小的電流環控制周期中，做出如下近似：即在預測時域內認為f(k)是一個常數擾動，即：

f(k+i)=f(k)=fk，i∈{1…Np-1}。

(10)

根據式(8)和假設條件式(10)可以得到線性的系統模型：

(11)

iref(k+i)=iref(k)，i∈{1…Np}。

(12)

通過擴張擾動狀態向量f(k)到系統式(11)可以得到該控制系統的線性預測模型：

(13)

iref(k))+(u(k+i-1)-

utar(k))TR(u(k+i-1)-utar(k))]。

(14)

由于采用顯式模型預測控制方法，目標電壓向量需要通過選定的狀態參數來表達，以便能夠離線求解，由式(7)可知穩態時目標電壓為：

(15)

當轉速較高時，定子電阻的值很小其壓降相比于轉速相關項的電壓可以忽略，求得目標空間電壓矢量：

(16)

電流參考值和實時測量的電流反饋值的差值，目標參考電壓與當前輸入電壓的差值在代價函數(14)中都得到了懲罰，從而保證了穩態時系統的實際輸出能夠準確的跟蹤參考輸入。IPMSM驅動系統的兩個主要的約束條件是d-q平面上的電流和電壓的二次不等式約束，其約束條件描述如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

2 電感參數辨識算法

2.1 遞推最小二乘法原理

遞推最小二乘算法是在前一次估計結果的基礎上，利用獲取的新的測量數據對前一次估計的結果進行修正，從而遞推地得出新的估計值。這樣迭代的進行參數估計直到參數的估計值收斂到真實值為止，這種方式在線計算量小且收斂快，可實時在線地辨識出系統的參數。本文基于遞推最小二乘方法設計的電感在線辨識算法可以概括為：

θ(k)=θ(k-1)+K(k)ε(k)，

(21)

ε(k)=y(k)-φT(k)θ(k-1),

(22)

K(k)=P(k-1)φ(k)[λI+

φT(k)P(k-1)φ(k)]-1,

(23)

P(k)=[I-K(k)φT(k)]P(k-1)/λ。

(24)

其中，y(k)為輸出矩陣；φT(k)為反饋矩陣；θ(k)為系統待辨識的參數矩陣；ε(k)為估計誤差，I為單位矩陣，K(k)為增益矩陣，P(k)為協方差矩陣。在測量值都有相同的權重的條件下，隨著觀測數據的增多遞推最小二乘法會出現數據飽和現象，為了防止新數據的作用被舊數據淹沒，故引入遺忘因子λ，其作用就是將舊數據按照指數衰減規律逐漸給“遺忘”，從而突出新數據的作用。

2.2 電感辨識模型設計

電感參數值對鐵心的飽和程度很敏感，其飽和程度隨著d、q軸電流幅值的變化而快速變化。該辨識算法用于快速的辨識出d、q軸電感參數，執行周期與電流環控制周期一致，辨識算法運行過程中保持永磁體磁鏈Ψf和定子電阻Rs的值不變。又根據d、q軸電流方程(7)選定待辨識參數矩陣為：

(25)

輸出矩陣為：

(26)

反饋矩陣為：

(27)

2 仿真與實驗

1.5 仿真結果分析

表1 仿真模型的參數Table 1 Parameters of simulation model

圖1 系統整體框圖Fig.1 Overall system block diagram

圖2 電感辨識仿真結果Fig.2 Simulation results of inductance identification

辨識結果的誤差率用辨識值與實際值之差的絕對值除以實際值來表達，其結果如圖3所示，其穩態誤差均小于0.15%，精度較高。在Ld和Lq分別突變的兩次動態過程中，d、q軸電感的辨識結果的最大誤差分別為6.38%和15.35%，動態過程誤差在能接受的范圍之內。

圖3 辨識誤差仿真結果Fig.3 Simulation results of inductance error

驗證了電感參數辨識的正確性之后，接下來利用辨識結果來計算擾動項和目標電壓，電流環采用EMPC算法對整個系統進行仿真。仿真過程0.6 s，按照表1設定電機參數，給定目標轉速5 000 r/min(523.59 rad/s)，在0.25 s時刻d、q軸電流從0 A階躍到id=-200 A，iq=252 A，保持電流參考值不變直到0.4 s時刻，電流指令以階躍的方式變化為id=-87 A，iq=146 A。圖4展示了d、q軸電流的階躍響應波形，可見EMPC電流控制器能夠提供快速的動態響應，幾乎沒有超調，穩態后能夠準確追蹤電流參考值。

圖4 d、q軸電流階躍響應仿真結果Fig.4 Simulation results of d- and q-axis current step response

圖5為代價函數值的變化情況，以及狀態參數向量xtar(k)在各個采樣時刻所對應的狀態空間分區號。可知在0.25 s和0.4 s參考電流發生階躍變化的時刻，代價函數值迅速增大，隨著反饋電流快速的跟蹤上參考值后而減少到0，驗證了模型預測控制是通過懲罰狀態的偏差而使得代價函數值最小繼而獲得最優控制輸入；在0.25 s時刻的電流動態過程由于狀態向量的多個參數變化范圍較大，因此激活了多個狀態空間分區，說明EMPC控制器這次較大的電流階躍過程中采用了不同的狀態反饋控制規律，以便能更快地跟蹤參考值的變化。

圖5 EMPC控制器的代價函數和激活區域的仿真結果Fig.5 Simulation results of the cost function value and the activated region number

圖6為控制輸出即d、q軸電壓波形，可見穩態時波動很小，在0.25 s電流階躍時，電壓矢量幅值Us達到最大值191 V，電壓約束條件觸發，EMPC電流控制器在動態調節過程中能充分利用SVPWM線性調制的最大輸出能力以實現最快的電流動態響應，控制電壓波形變化規律簡單，說明是以代價函數所定義的最優方式實現控制目標。

圖6 d、q軸電壓波形仿真結果Fig.6 Simulation results of d-and q-axis voltages

1.6 實驗結果分析

實驗所用的電機參數與表1一致，搭建了以英飛凌的高性能處理器Tricore TC1782為核心的逆變器平臺進行了實驗驗證，采用SVPWM調制，逆變器開關頻率10 kHz。實驗過程如下：測功機作為負載，拖動被測電機到額定轉速4 500 r/min(ωe=471 rad/s)，0.42 s時刻給定電流id=-284 A,iq=289 A。0.65 s時刻階躍到id=-87 A,iq=146 A。圖7展示了以表1中的電感值為辨識算法初始值的d、q軸電感參數在線辨識結果，可見0.42 s這次電流階躍，導致辨識到的q軸電感值從初始值0.282 mH減少到0.271 mH，d軸0.067 mH減少到0.061 mH，這是因為d軸電感在永磁體強磁場下通常已經處于磁飽和狀態，所以交叉飽和效應對其影響不大，但對q軸電感有顯著影響。

圖7 d、q軸電感辨識結果Fig.7 Identification results of d- and q-axis inductance

圖8 d、q軸電流階躍響應實驗結果Fig.8 Experimental results of d-and q-axis currents step response

圖9 d、q軸電壓波形Fig.9 Experimental results of d-and q-axis voltages

圖10 EMPC控制器激活區域和代價函數實驗結果Fig.10 Experimental results of the activated region number and cost function value

4 結 論

本文提出一種基于帶遺忘因子的RLS的電感參數在線辨識，結合模型預測控制的電流控制器的設計方法，通過將辨識結果應用于IPMSM動態模型中的轉速相關項的計算，從而得到被控對象的線性狀態空間方程，依據此線性模型設計了模型預測電流控制算法。同時應用顯示模型預測控制技術，離線求得最優狀態反饋，解決了在線計算量大的問題。本文所提出的電感參數辨識算法能夠準確的辨識出電感參數，具有計算量小、收斂快的特點，與顯示模型預測控制算法構成的閉環系統可以實現高性能電流動態響應；采用在線辨識參數的方式提高了模型預測控制策略對參數變化的魯棒性，獲得了高動態電流響應，仿真和實驗均證明了所提方法有效性和實用性，可以成功地應用于內置式永磁同步電機的電流控制中。