借助GeoGebra軟件破解初中物理光學難題

光學動態問題是初中物理教學難點。在日常習題教學中，教師主要通過PPT結合板書講解，無法即時進行動態探究，難以有效幫助學生培養動態思維能力。當今信息技術快速發展，越來越多的教學工作者將適合的教育軟件引入初中物理課堂進行教學探索。下面，筆者以凸透鏡成像動態問題為例，借助教育技術軟件GeoGebra從動態演示、數學驗證、問題拓展三方面，展現教育技術軟件在初中物理動態問題中的應用^[1]，引導學生思考，突破難點。

一、例題展示

題目：如圖1所示，凸透鏡豎直放置，凸透鏡焦距為，現有一點光源在凸透鏡左側，以凸透鏡兩倍焦距處為圓心，在經過主光軸的豎直平面內做順時針圓周運動，半徑為，且<，則在下列關于點光源所成的像的運動軌跡的各圖中，正確的是（ ）^[2]。

在日常初中物理教學中，對于該種問題教師往往較難處理。學生腦海中也很難想象相關動態情景。問題難在動態，教師需要用一個有力的工具進行動態展示。GeoGebra是一款學科教學軟件，具有開源免費、簡單易學、交互性好、動態展示、化抽象為形象、數形結合等優點，是初中物理動態教學實施的有力工具^[3]。如光學部分的反射定律、折射定律、凸透鏡成像規律等，教師借助GeoGebra可以進行很好的動態演示。如圖2所示，在GeoGebra界面中，教師點擊按鈕“GO”或拖動左側的箭頭（代表蠟燭），可讓學生清晰地觀察凸透鏡成像變化情況。

二、動態演示

不妨設凸透鏡焦距=2，在GeoGebra中繪制好題目所需要的凸透鏡、焦點和半徑為的圓（<），在圓上取一動點代表移動的光源。教師根據凸透鏡成像規律確定像的位置，移動點即可觀察到像的運動軌跡，從而破解該題。具體操作如下。

第一步，繪制凸透鏡：在菜單欄中選擇工具“描點”，在（0，0）處描出點;選擇工具“向量”，從點出發繪制、兩個向量來代替凸透鏡。點即為凸透鏡的光心。

第二步，繪制焦點和二倍焦距點：選擇工具“描點”分別在（-2，0）（-4，0）（2，0）（4，0）描出焦點和二倍焦距點。

第三步，繪制點光源所在軌跡圓：選擇工具“圓（圓心與半徑）”，以（-4，0）為圓心，為半徑，做出圓1。界面中會出現滑動條，操作者通過調節滑動條可以改變圓的半徑。選擇工具“對象上的點”，在圓1上點出光源。該點為動點。

第四步，繪制像：選擇工具“垂線”，過點作凸透鏡的垂線，交點為。選擇工具“直線”連接（2，0）與點，連接點與點，兩條直線的交點即為。

第五步，繪制軌跡：右擊點，選擇“顯示蹤跡”。則當光源運動時，像隨之也會顯示出對應的軌跡（如圖3）。

重復上述操作，可以得到當取不同值時像的對應軌跡圖（如圖4）。軌跡圖呈橢圓，凸透鏡左側的圓的半徑越小，橢圓的離心率越小，像越接近圓形。

三、數學驗證

如前述的圖4所示，以光心為原點建立平面直角坐標系，主光軸為軸，透鏡豎直方向為軸。設光源的坐標為（，），所在圓的圓心坐標為（，0），經透鏡所成的像的坐標為（，），則光源所在圓的方程為

（-）²+=² （1）

根據凸透鏡成像規律

可得： （2）

根據相似三角形得到

（3）

由（2）（3）兩式可得

將這兩式帶入（1）式，得

化簡得

（（+）²-²）²-2（²+-²）+²²=²²-²²

令=（+）²-²，=（²+-²），=²²-²²

則上式可變為

²-2+²²=（4）

配方整理得

（5）

當<時，像的軌跡為一中心在（ ，0），兩軸分別為 ， 的橢圓。

四、問題拓展

上述分析是基于<的條件來探究的。借助GeoGebra可以較方便地對問題進行拓展分析，有利于學生深刻理解變化規律。

拓展一：光源軌跡是圓，=。

拖動滑動條，使=，得到的像是一條拋物線而非橢圓（如圖5）。

當=時

=0，= ³，=-3 ⁴

代入（4）式可得

-2 +²+3 ²=0

=±2 -3 ²

因此，該軌跡確實為開口向右的拋物線。當光源運動到一倍焦距時，不成像，所以右側開口，沒有對應的像。

拓展二：光源軌跡是圓，<< 2 。

當<< 2 時，在GeoGebra中滑動條，使半徑=2.8，像是兩支雙曲線（如圖6）。

根據（5）式，當<< 2 時， >0， <0，所以該軌跡確是兩條雙曲線。

當光源運動到一倍焦距內，成虛像，在凸透鏡左側（如圖7）。當光源運動到一倍焦距外，在凸透鏡右側成實像。

拓展三：光源的運動軌跡是其他圖形。

用GeoGebra 軟件還可以較方便地得出結論：當光源的運動軌跡為其他圖形時像的形狀。下面以正方形為例，借助GeoGebra軟件繪制出對應的像（如圖8）。

從圖8中看出，像為一個等腰梯形。

筆者結合案例展現了GeoGebra在凸透鏡成像動態問題中的應用，并通過數學方法驗證該動態分析的正確性。對于此類教學難點，教師可以借助教學軟件將抽象、復雜的問題變得直觀、形象，使學生更好地建構相關的物理概念和規律，突破學習難點，在GeoGebra的演示過程中提高動態想象能力。

參考文獻

[1] 殷正徐，吳偉.GeoGebra軟件在高中物理課堂教學中的案例應用分析——以簡諧振動和機械波為例[J].物理教師，2017，38（10）：70-73.

[2] 王玨，張瑩，桑芝芳.對一道凸透鏡成像習題的討論[J].物理教學，2019，41（8）：60-61.

[3] 陳林，桑芝芳.基于GeoGebra的電勢可視化研究——由一道電勢圖像題引發的思考[J].物理通報，2020（11）：104-107.

（作者陳林系蘇州大學物理科學與技術學院研究生;桑芝芳系蘇州大學物理科學與技術學院教授）

責任編輯：祝元志