Rn上的測度雙K-框架

尚蒙娟, 朱玉燦

(福州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院， 福建 福州 350108)

0 引言

Hilbert空間中的框架作為標準正交基的一種推廣, 兩者不同的關(guān)鍵在于空間中的元素用框架展開的表達式是不唯一的. 目前, 框架理論已廣泛應用于各領(lǐng)域, 參見文獻[1-3].

雖然框架重構(gòu)表達式的形式看起來不復雜, 但計算量稍大.而緊框架比框架的重構(gòu)表達式的形式更簡潔, 計算更簡單, 因此緊框架比框架應用領(lǐng)域更廣泛.每個框架都可以延拓為緊框架.是否每個K-框架也可以延拓為緊K-框架? 答案是不行, 具體參見命題1.但是雙K-框架卻可以延拓為緊K-框架, 所以研究雙K-框架很重要.類似地討論雙K-框架的推廣, 即測度雙K-框架.

在以上文獻的基礎(chǔ)上, 引入測度雙K-框架的概念.由于雙K-框架是近幾年剛提出的, 因此對雙K-框架性質(zhì)的研究文獻較少.本研究主要討論雙K-框架的一些性質(zhì), 研究任一個測度雙K-框架可以膨脹為緊測度K-框架; 分析不同空間的測度雙K-框架在算子擾動下的穩(wěn)定性.

采用如下記號：H是一個可分的復Hilbert空間,I是H的恒等算子.設(shè)H1,H2是兩個復Hilbert空間,B(H1,H2)表示從H1到H2的所有有界線性算子的集合.特別地,B(H)表示從H到H的所有有界線性算子的集合.若T∈(H1,H2), 則用R(T)和NT分別表示算子T的值域和核,Ω表示Rn的非空子集, B表示Ω上的Borelσ-代數(shù), 其元素稱為Borel集,M(Ω, B)為定義在B上的有限正測度集合.

1 預備知識

定義1[7]設(shè)μ∈M(Ω, B), 若存在正數(shù)α,β, 使得對于?x∈Rn, 有：

(1)

則稱μ為Rn上的測度框架, 其中α,β分別為測度框架μ的下界、 上界.特別地,α的上確界和β的下確界分別成為測度K-框架的最佳下界和最佳上界.若只有式(1)右邊不等式成立, 則稱μ為Rn的Bessel測度.若α=β, 則稱μ為Rn的緊測度框架.若α=β=1, 則稱μ為Rn的Parseval測度框架.

對于Rn的Bessel測度μ∈M(Ω, B), 稱有界線性算子θμ滿足：

θμ:Rn→L2(Ω,μ),θμx=〈x, ·〉Rn

(2)

(3)

(4)

稱Sμ為μ的框架算子.

定義2[14]設(shè)K∈B(Rn),μ∈M(Ω, B)稱為Rn上的測度K-框架, 若存在正數(shù)α,β, 對于?x∈Rn, 有：

(5)

其中:α,β分別為測度K-框架μ的下界、 上界.特別地,α的上確界和β的下確界分別成為測度K-框架的最佳下界和最佳上界.

(6)

定義4[15]設(shè)K1∈B(H1),K2∈B(H2)， 若存在可逆的有界線性算子T:H2→H1滿足：TK2T*=K1, 則稱K1,K2關(guān)于算子T相似等價的.

定義5設(shè)K∈B(Rn), 稱μ∈M(Ω, B)為Rn上的測度雙K-框架, 若存在正數(shù)α,β, 使得

(7)

稱α,β分別為測度雙K-框架μ的下界、 上界.特別地,α的上確界和β的下確界分別稱為測度雙K-框架的最佳下界和最佳上界.若α=β, 則稱μ為Rn的緊測度K-框架.

注1若K=I時, 則μ為Rn上的測度框架, 從而測度雙K-框架可視為測度框架的一種推廣.

2 一些引理

引理1[16]若T∈B(H)且T有閉值域, 則1)～3)成立.

1) 存在唯一的算子T+∈B(H)滿足：

稱T+為T的偽逆算子, 特別地, 如果T為可逆的有界線性算子, 則T+=T-1.

2)T+T=πR(T+),TT+=πR(T)， 其中πR(T+)和πR(T)分別是從H到R(T+)和R(T)上的正交投影.

3)R(T*)是H的一個閉子空間, (T*)+=(T+)*.

引理2[17]若T∈B(H), 則Ⅰ)～Ⅲ)成立.

Ⅲ) 如果H的四個子空間R(T),R(T*),R(TT*),R(T*T)中有一個是閉子空間, 則其他三個也是閉子空間.

3 測度雙K-框架

下面討論利用測度K-框架來構(gòu)造R(K)上的測度雙K-框架.

定理1設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的測度K-框架,K∈B(Rn), 則μ∈M(Ω, B)是R(K)的測度雙K-框架.

證明 因為μ∈M(Ω, B)是Rn的測度K-框架, 所以

命題1設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的界為0<α≤β<∞的測度K-框架, 如果存在Rn的Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架, 則μ∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K-框架.

證明 如果存在Rn的Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架, 即:

則:

又因為μ∈M(Ω, B)是Rn的測度K-框架, 所以下式成立.

故μ∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K-框架.

由測度框架的若干性質(zhì)知, 在一定條件下, 任給一個測度框架添加測度框架后使之成為緊測度框架[8].由命題1知, 測度K-框架膨脹為緊測度K-框架, 只能是測度雙K-框架, 類似于測度框架提升的證明, 可以得到測度雙K-框架可以向緊測度K-框架的膨脹.

定理2設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的界為0<α≤β<∞的測度雙K-框架, 則存在Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架, 其中λ>β.

證明 設(shè)μ∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K-框架, 其框架算子為Sμ， 則存在正數(shù)α,β, 使得：

從而對任意x∈Rn， 有：

故存在Bessel測度ν∈M(Ω, B), 使得μ+ν∈M(Ω, B)是Rn的界為λ的緊測度K-框架.

先考慮兩個相似等價算子K1,K2所刻畫的測度雙K1-框架和測度雙K2-框架之間的關(guān)系.

定理3設(shè)K1∈B(Rn),K2∈B(Rn)是關(guān)于可逆的有界線性算子T:Rn→Rn相似等價的,μ∈M(TΩ,TB)是Rn的測度雙K1-框架.則ν=μ°T∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K2-框架.

證明 由于μ∈M(TΩ,TB)是Rn的測度雙K1-框架， 則：

令ν=μ°T∈M(Ω, B), 于是對任意y∈Rn， 有：

即對任意y∈Rn， 有：

又對任意y∈Rn， 有：

從而

故ν=μ°T∈M(Ω, B)是Rn的測度雙K2-框架.

進一步討論， 不同空間的測度雙K-框架在有界線性算子擾動下的穩(wěn)定性.

證明 設(shè)μ∈M(T+Ω,T+B)是Rn的測度雙K1-框架, 則：

又T∈B(Rn,Rm), 且Rm是有限維空間, 所以R(T)是閉的, 由引理1得到T的偽逆算子T+存在, 且TT+|R(T)=IR(T).由Ω?R(T), 據(jù)引理1得：TT+Ω=Ω.對每個ω∈Ω， 令z=T+(ω), 則Tz=TT+ω=ω,ω∈Ω.所以對任意x∈Rm， 有：

從而對任意x∈Rm， 有：

從而

故ν=μ°T+∈M(Ω, B)是Rm的測度雙K2-框架.