從專業(yè)學(xué)科角度探索線性代數(shù)教學(xué)

程 智 孫翠芳

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 安徽·蕪湖 241002）

0 引言

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，非數(shù)學(xué)專業(yè)的線性代數(shù)課程主要包括矩陣、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型等內(nèi)容。線性代數(shù)理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程類專業(yè)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)好相關(guān)專業(yè)理論的必要前提。

目前大學(xué)線性代數(shù)教學(xué)的一個(gè)方法是利用矩陣這個(gè)有力工具，解決線性方程組的求解問題，在此基礎(chǔ)上建立線性代數(shù)的教學(xué)知識體系。這個(gè)教學(xué)方法符合線性代數(shù)的內(nèi)在邏輯，也可以有效地讓學(xué)生掌握線性代數(shù)課程的主要內(nèi)容。由于在學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中，還會(huì)不斷地應(yīng)用線性代數(shù)知識，教學(xué)上的一個(gè)想法是將合適的專業(yè)背景引入線性代數(shù)課程教學(xué)，在線性代數(shù)教學(xué)和后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)中有個(gè)承前啟后的作用。

在線性代數(shù)教學(xué)過程中，適當(dāng)引入專業(yè)學(xué)科中的經(jīng)典案例和數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上講解線性代數(shù)理論知識，可以讓學(xué)生更深刻地感受到線性代數(shù)理論與本專業(yè)理論的深刻聯(lián)系。這種教學(xué)模式使得線性代數(shù)理論不再是“高大上”的空中樓閣，而是密切聯(lián)系著學(xué)生的專業(yè)理論知識，顯得“更接地氣”。我們將以經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程類專業(yè)的線性代數(shù)教學(xué)為例，從一些具體的線性代數(shù)知識出發(fā)，探討專業(yè)背景下的線性代數(shù)教學(xué)活動(dòng)。

1 教學(xué)案例

在實(shí)際線性代數(shù)課堂教學(xué)活動(dòng)中，教學(xué)案例的引入不宜過于復(fù)雜，而一些經(jīng)典但復(fù)雜的教學(xué)案例，可以讓學(xué)生提前了解其專業(yè)背景知識，也可以在學(xué)生學(xué)習(xí)完成相關(guān)線性代數(shù)知識后，組織興趣小組課后繼續(xù)探索。這種課內(nèi)外相結(jié)合的教學(xué)模式可以幫助學(xué)生更加靈活、牢固地掌握并應(yīng)用線性代數(shù)知識。

1.1 矩陣概念

矩陣是線性代數(shù)課程的基本概念。介紹矩陣在專業(yè)知識當(dāng)中的應(yīng)用可以幫助學(xué)生體會(huì)線性代數(shù)知識學(xué)習(xí)的必要性，幫助他們提高線性代數(shù)和專業(yè)知識學(xué)習(xí)的興趣，而不是發(fā)出“為什么學(xué)”的疑問。

案例一（囚徒困境模型）設(shè)有兩個(gè)嫌疑犯A和B，如果兩個(gè)嫌疑犯都坦白，那么各判8年；如果兩個(gè)都抵賴，各判1年；如果一人坦白，另一人抵賴，那么坦白的釋放，不坦白的判10年。如果把囚徒A在各種情況下的收益矩陣寫出，則為一個(gè)二階矩陣，其中第1行的兩個(gè)元素分別表示嫌疑犯A坦白，嫌疑犯B選擇坦白和不坦白時(shí)A的收益(判刑)情況；第2行的兩個(gè)元素分別表示嫌疑犯A不坦白，嫌疑犯B選擇坦白和不坦白時(shí)A的收益(判刑)情況。

囚徒困境是博弈論中的一個(gè)著名理論，其最初的理論模型來源于警官對兩個(gè)罪犯的審訊。囚徒困境模型很好地描述了博弈問題中的個(gè)人得失情況，問題的求解也在僅需判斷每行元素的最小值是否是所在列的最大值。該模型讓學(xué)生清晰感受到通過恰當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)概念，可以很好地解決實(shí)際問題。

1.2 行列式概念

行列式的絕對值是行列式中n個(gè)行（列）向量在n維線性空間中對應(yīng)幾何體的體積，行列式的正負(fù)與各個(gè)向量的排列方式密切相關(guān)。在3階行列式中，三個(gè)行（列）向量構(gòu)造三維向量空間中的立體，則立體體積為3階行列式的絕對值（若三線共面，即其中一個(gè)向量可以被另外兩個(gè)向量線性表示，則立體體積為零），其正負(fù)號取決于三個(gè)向量的分布是否符合右手法則。

案例二（金字塔體積模型）教學(xué)中給出以金字塔定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，通過測量給出四條棱對應(yīng)的向量坐標(biāo)。計(jì)算方法是把金字塔分割兩個(gè)四面體，然后根據(jù)行列式的幾何意義，分別求出兩個(gè)四面體的體積，從而得到金字塔的體積。

在教學(xué)中應(yīng)用這個(gè)案例，可以給出行列式的幾何意義及其應(yīng)用，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)行列式概念的同時(shí)，直觀感受到行列式的意義所在，使得抽象概念不再抽象，有助于幫助學(xué)生克服難點(diǎn)。需要注意的是，模型的講解需要建立在行列式幾何意義基礎(chǔ)上，對學(xué)生的學(xué)習(xí)提出了更高的要求；在體積模型中，行列式提供了一種很好的解決方案，但行列式未必是解決所有關(guān)于體積問題的最簡單方案；行列式的幾何意義在高維情形仍有意義，但是現(xiàn)實(shí)生活中的高維“體積”過于抽象，學(xué)生理解困難。

1.3 線性方程組理論

線性方程組理論是線性代數(shù)課程的重點(diǎn)內(nèi)容，通過引入專業(yè)背景知識介紹線性方程組的求解方法，不僅可以為學(xué)生學(xué)習(xí)本專業(yè)知識奠定良好基礎(chǔ)，而且可以很好地鍛煉應(yīng)用線性代數(shù)解決本專業(yè)實(shí)際問題的能力。投入產(chǎn)出分析是一種研究產(chǎn)業(yè)部門之間投入與產(chǎn)出依存關(guān)系的定量分析方法。

案例三（投入產(chǎn)出模型）已知一單位煤炭需要煤場、發(fā)電廠和鐵路三個(gè)部門的投入費(fèi)用以及收入費(fèi)用，在有外界需求的情況下，如何調(diào)整煤場、發(fā)電廠和鐵路三個(gè)部門在一定時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)值，使之可以滿足外界和自身需求。通過給定企業(yè)投入產(chǎn)出表格，根據(jù)產(chǎn)品間的直接消耗系數(shù)寫出矩陣A，根據(jù)單位產(chǎn)品直接料工費(fèi)價(jià)值消耗量寫出向量Y，然后通過求解線性方程組(IA)X=Y可以得到產(chǎn)品單位主營業(yè)成本。

該方法主要考察的是線性方程組（IA）X=Y解的情況。在投入產(chǎn)出模型中，每個(gè)矩陣均有其具體含義。投入產(chǎn)出模型的介紹和運(yùn)用，不需要增加太多的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論知識，但是卻為線性方程組求解理論賦予了具體的經(jīng)濟(jì)學(xué)背景。這樣的教學(xué)活動(dòng)是從學(xué)生所學(xué)專業(yè)角度考慮，不僅可以加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)類學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，也為他們后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起了良好的過渡作用。

1.4 特征值與特征向量理論

層次分析(AHP)模型是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。這個(gè)模型通過引入成對比較矩陣，把一些依賴主觀判斷的問題有效轉(zhuǎn)換為定量分析的問題。

案例四（AHP模型）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的產(chǎn)品選擇問題，建立系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)。將同一層各因素關(guān)于上一層各因素的重要性兩兩比較，寫出成對比較矩陣，計(jì)算出這些成對比較矩陣的特征值和特征向量，并根據(jù)特征向量得到組合權(quán)重向量，從而對目標(biāo)方案進(jìn)行排序選優(yōu)。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)問題背景下應(yīng)用層次分析模型，不需要詳細(xì)介紹成對比較法矩陣的構(gòu)造方法，不會(huì)改變線性代數(shù)課程教學(xué)的主要內(nèi)容，但是卻可以讓學(xué)生深刻感受特征值和特征向量的具體應(yīng)用，使得特征值與特征向量這一抽象理論變得具體而自然。

1.5 二次型理論

商品一般要經(jīng)過制造商、經(jīng)銷商和市場幾個(gè)環(huán)節(jié)后，再被消費(fèi)者買回家。不同流通環(huán)節(jié)會(huì)組成供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)涉及制造商、經(jīng)銷商和消費(fèi)者所應(yīng)采取的最優(yōu)行為，以達(dá)到產(chǎn)銷平衡和市場平衡。

案例五（供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)平衡模型）假設(shè)生產(chǎn)費(fèi)用是生產(chǎn)量的二次函數(shù)，交易費(fèi)用是交易量的二次函數(shù)，經(jīng)營費(fèi)用是商品樓的二次函數(shù)，商品需求是消費(fèi)價(jià)格的線性減函數(shù)，則供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)平衡模型是一個(gè)二次規(guī)劃問題。該問題的求解可以通過判斷二次函數(shù)的正（負(fù)）定性得到解決。

這個(gè)案例體現(xiàn)了線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的典型應(yīng)用，具有一定代表性。在案例教學(xué)過程中可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓他們積極參與到線性代數(shù)應(yīng)用到具體專業(yè)問題的探索活動(dòng)之中。需要注意的是，這個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)案例模型相對比較專業(yè)，需要的背景知識較多。實(shí)際教學(xué)過程中，可以將模型的背景材料提前交給學(xué)生閱讀，讓學(xué)生在課后查閱指定資料，以小組討論形式解決問題分析和模型建立部分，而在課堂上解決模型求解部分，即告訴學(xué)生如何計(jì)算二次型的正（負(fù)）定性，這樣可以得到理想的教學(xué)效果。

1.6 綜合理論

應(yīng)用線性代數(shù)解決實(shí)際問題的一個(gè)經(jīng)典案例是搜索引擎模型，這是谷歌搜索的數(shù)學(xué)原理，該模型可以讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。在介紹這個(gè)模型之前，需要學(xué)生熟悉矩陣特征值以及特征向量的概念和求解方法，了解Markov鏈平穩(wěn)分布X所需矩陣方程AX=X。

案例六（搜索引擎模型）該模型可以分成三個(gè)部分，第一部分用于介紹矩陣的應(yīng)用，即用鄰接矩陣來介紹矩陣概念。第二部分介紹線性方程組的求解理論，給出Markov鏈中平穩(wěn)分布的求解結(jié)果。第三部分介紹矩陣特征值和特征向量的概念及求法，給出計(jì)算平穩(wěn)分布的計(jì)算方法，并判斷其對擾動(dòng)的敏感性。

模型5.1（鄰接矩陣模型）介紹PageRank原理，給出一個(gè)簡單的網(wǎng)頁連接圖，根據(jù)連接圖給出鄰接矩陣，用來描述網(wǎng)頁銜接情況。

這個(gè)模型的好處是便于將直觀圖用線性代數(shù)的矩陣概念描述，方便下一步的計(jì)算工作。由于實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)銜接往往數(shù)量很大，對應(yīng)的鄰接矩陣階數(shù)很高，不適宜手工計(jì)算，需要專門設(shè)計(jì)程序和算法進(jìn)行計(jì)算。在實(shí)際教學(xué)過程中，可以使用一個(gè)理想化的網(wǎng)絡(luò)銜接圖，告訴學(xué)生如何根據(jù)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖形寫出其鄰接矩陣，讓學(xué)生感受應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的場景。而將實(shí)際網(wǎng)絡(luò)圖形交給學(xué)生課后練習(xí)。

模型5.2（Markov鏈平穩(wěn)分布模型）對于正則Markov鏈存在平穩(wěn)分布X，需滿足AX=X，其中向量X的分量之和為1。計(jì)算非零向量X的過程即為解方程的過程。

這個(gè)案例模型的好處是可以得到不同網(wǎng)頁的 PageRank值。需要注意的問題是，與鄰接矩陣模型的教學(xué)情況相似，實(shí)際情況的運(yùn)算量很大，需要專門設(shè)計(jì)算法計(jì)算。課堂教學(xué)可以使用階數(shù)不高的鄰接矩陣（比如五階矩陣）進(jìn)行計(jì)算，即使如此計(jì)算量仍然偏大，較好的教學(xué)方式是將計(jì)算部分交個(gè)學(xué)生課后，通過小組合作的方式解決。

模型5.3（平穩(wěn)分布及其擾動(dòng)敏感性模型）平穩(wěn)分布是轉(zhuǎn)移矩陣A最大特征值1所對應(yīng)的特征向量，其對矩陣擾動(dòng)的敏感性，依賴于其特征值與1距離的大小。

這個(gè)模型的好處是可以得到網(wǎng)頁的 PageRank值和其對選擇敏感的依賴性，不過實(shí)際情況計(jì)算量極大，課堂可以計(jì)算網(wǎng)頁個(gè)數(shù)不多（比如五個(gè)），往往需要學(xué)生在課后練習(xí)求解。

2 結(jié)束語

線性代數(shù)教學(xué)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)掌握線性代數(shù)課程的知識體系和解題技巧，而且需要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，為后續(xù)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。如果能讓學(xué)生感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決本專業(yè)的一些經(jīng)典理論案例，則可以大大增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣。

在實(shí)際教學(xué)中，將線性代數(shù)的理論知識和專業(yè)實(shí)際相結(jié)合，通過改變教學(xué)方法和講授方式，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，可以讓線性代數(shù)知識的抽象變得自然，易于接受，并在后續(xù)專業(yè)學(xué)習(xí)中簡化數(shù)學(xué)知識的引入過程，方便專業(yè)教學(xué)。