折疊式柔性關節設計及運動學建模

杜靜恩，許 勇，賈云博，劉佳莉，賴磊捷，徐 蕊

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 201620)

折紙是一門起源于中國的古老民間手工藝術,6世紀時傳入日本[1]。20世紀初,Yoshizawa提出了折紙符號系統,大大促進了折紙藝術的發展[2]。折紙和剪紙可以將平面材料變成可拉伸、可折展和具有多重穩定性的三維關節機構[3]。這些由于材料的折疊產生的特性被用于航天器材[4]、建筑制造[5]、電子能源[6]、化學傳感[7]和生物醫學[8]等領域。

近年來，越來越多學者嘗試著將折紙原理應用到了機器人構型的開發設計中，保留折紙的空間可折展等特性并結合工業機器人自動作業的優勢，使得折紙機器人對作業環境有更好的適應性。折紙機器人是指通過對自身形態的折疊變形來實現對應功能的自動化機器[9]，即通過對材料的折痕設計使其在折疊后具有特定的三維形態，進而實現相應的功能[10]。這類機器人往往對材料性能有一定的要求，用于制造折紙機器人的紙張或其他可折疊薄片材料在顯著減少機器人重量和降低材料成本的同時也有利于環境保護[11]。

我們可以通過折紙技術來實現對機構的柔性設計，將現代平面制造技術如光蝕刻、激光切割和3D打印等與折疊式設計方法相結合的方案無疑是一種非常高效且實際的選擇。折疊技術可以根據需要定制折疊方式完成特定的任務，高效快捷，其重構性又大大降低了成本。

課題組基于折紙機構的柔順性和可折展性，設計出可以實現局部扭轉和擺轉的折疊式柔性復合關節，建立了折疊式柔性復合關節的運動學模型，并對折疊式柔性復合關節的驅動空間、關節空間和操作空間之間的映射關系進行了分析。

1 折疊式柔性復合關節

1.1 折疊式柔性復合關節組成

課題組提出的折疊式柔性復合關節包含的基本關節為折疊式扭轉關節和折疊式擺轉關節，二者組合而成的折疊式柔性復合關節如圖1所示。

圖1 折疊式柔性復合關節Figure 1 Folding flexible composite joint

1.1.1 折疊式柔性扭轉關節

圖2(a)所示為折疊式扭轉關節展開后的折痕，其中粗實線為關節的邊界或山折痕，粗虛線為谷折痕，折疊后就成了圖2(b)所示的帶有扭轉功能的三維模型。

圖2(b)中O1和O2分別為動、定平臺形心，動定平臺發生繞O1O2軸的相對扭轉。

1)支撐平臺及擋板

圖2 折疊式扭轉關節展開與折疊效果圖Figure 2 Renderings of expansion and folding of folding torsion joint

圖3 單個支撐平臺與擋板折疊展示Figure 3 Single support platform and baffle folding display

按峰谷折痕分別折疊，折疊時點G1,G2,G3,G4,G5,G6重合于正六邊形ABCDEF的形心O1處，點H1,H2,H3在最后重合于點Hi處。

支撐平臺分上下2個，上下平臺的折痕與折疊方法基本一致，2平臺連接的3個擋板分別連接3個折疊側翼的兩側使之成為一個整體。

2)折疊側翼

折疊側翼為圖4中的陰影部分，將其單獨拆開做展示。折疊側翼的豎直側板A1B1C1D1和A2B2C2D2為矩形；稱A2B2F2E2,A1B1F2E2,C1D1E1F1和C2D2E1F1為折疊板。

圖4 折疊側翼折痕及三維效果Figure 4 Folded flank creases and 3D effect

對圖形D1C1F1C2D2E1∶C1D1的延長線與C2D2的延長線交于點O1，△C1O1C2為邊長為2l0的等邊三角形；E1D1,E1D2,E1F1分別垂直平分O1C1,O1C2,C1C2。折疊時將A1,A3重合，B1,B2重合形成結構閉環。

為計算驅動繩長度，引入參數：面A2B2F2E2與面A2B2C2D2的夾角∠E2A2D2=θ1；面A2B2F2E2與面A1B1F2E2的夾角∠B2F2B1=θ2；面A2B2C2D2與面A1B1C1D1始終在豎直平面內，設兩個面的二面角為扭轉角φ，則有：∠A1O2A2=φ。

折疊側翼折疊過程中，按峰谷折痕折疊，從圖5中俯視圖和三維圖可以看到隨著φ值的變化折疊側翼的變化情況。

圖5 折疊側翼變形展示Figure 5 Folded flank deformation display

扭轉關節在驅動繩放松狀態時，由于折疊側翼2個豎直板綁有彈力繩，折疊側翼合攏；驅動繩受外部拉力后，折疊側翼的2個豎直板被撐開，從而使上下支撐平臺發生相對扭轉。

圖6所示為折疊扭轉關節的4個狀態。狀態Ⅰ，φ=0時，折疊側翼完全折疊；狀態Ⅱ，0<φ≤π/6和狀態Ⅲ，π/6<φ<π/3，這2種狀態的區別在于驅動空間到關節空間的驅動繩長計算方式不同，但對于關節空間到操作空間計算完全相同；狀態Ⅳ，φ=π/3為折疊式扭轉關節的最大扭轉角，折疊側翼呈完全展開狀態。

圖6 折疊式扭轉關節運動狀態Figure 6 Rotation process of folding torsion joint

1.1.2 折疊式柔性擺轉關節設計

圖7(a)所示為折疊式擺轉關節完全展開后的折痕，圖7(b)所示為折疊后具有擺轉功能的三維模型。

圖7 折疊式擺轉關節Figure 7 Folding swing joint

圖7(b)中的擺轉面指折疊式擺轉關節變形時擺轉面兩側關于擺轉面是鏡像的，且HiGi痕在擺轉面上。其中，i=1,2,…,6。

上下底面A1B1C1D1E1F1與A2B2C2D2E2F2都是邊長為2l0的正六邊形。A1B1C1D1E1F1各邊與各個HiGi折痕都構成等腰梯形，且折痕HiGi的長度都為l0。為方便描述，下文將圖形A1B1H6B2A2G6,B1C1H5C2B2G5,C1D1H4D2C2G4,D1E1H3E2D2G3,E1F1H2F2E2G2,F1A1H1A1F1G1稱為折疊支撐板。

在不受力的情況下六邊形A1B1C1D1E1F1與A2B2C2D2E2F2處于平行狀態，折疊式擺轉關節可以根據工作需求調整擺轉角度φ與上下位移量h，如圖8所示。

圖8 折疊式擺轉關節2種變形方式Figure 8 Two deformation modes of folding swing joint

1.2 折疊式柔性復合關節設計

在設計折疊式扭轉關節和擺轉關節時2種關節的動定平臺都為邊長為2l0的正六邊形。先將多個折疊式擺轉關節串聯(課題組選取3個折疊式擺轉關節串聯)，再將折疊式扭轉關節的動平臺串聯在折疊式擺轉關節串聯體的定平臺上，串聯為折疊式柔性復合關節。

2 折疊式柔性復合關節運動學建模

2.1 折疊式柔性關節運動學建模

2.1.1 折疊式扭轉關節

設下支撐平臺為定平臺，以正六邊形形心O0為定平臺坐標系原點，以定平臺所在平面的向上法線方向為Z0軸正方向，以O0A0方向為X0軸正方向，最后由右手定則確定Y0軸正方向，建立DH坐標系O0-X0Y0Z0；以上支撐平臺正六邊形形心O1為原點，以垂直于平面向上方向為Z1軸正方向，以O1A1方向為X1軸正方向，最后由右手定則確定Y1軸正方向，建立DH坐標系O1-X1Y1Z1如圖9所示。

圖9 折疊式扭轉關節坐標系和幾何模型Figure 9 Coordinate system and geometrical model of folding torsion joint

圖9中的O0O1為動定平臺發生相對扭轉時的轉軸，在最初時動平臺與定平臺坐標系夾角為0,在發生相對扭轉后動平臺與定平臺坐標系夾角為φ。

在運動過程中上下支撐平臺始終只發生相對扭轉，任意時刻扭轉角為φ時坐標系O1-X1Y1Z1相對于O0-X0Y0Z0的變換矩陣為：

(1)

相反，扭轉關節的操作空間到關節空間的關系是已知末端關節位姿，對扭轉關節的扭轉角φ進行求解。設坐標系O0-X0Y0Z0各軸上的單位矢量為n,o,a；動坐標系O1-X1Y1Z1原點O1到定坐標系O0-X0Y0Z0原點O0的位置矢量用p表示。

現矢量n,o,a,p相對坐標系O0-X0Y0Z0的矩陣為

(2)

將式(1)和式(2)聯立得

φ=arccosoy。

(3)

式(3)即為扭轉關節關節空間到操作空間的運動學逆解。

驅動繩的一端系在折疊側翼(以下端為例)相鄰折疊板外側重合點Q處,穿過折疊板活動區對應的平臺邊的中點P，我們將繩在QP間的長度稱為驅動繩長l。隨著驅動繩長度l的變化，扭轉關節的扭轉角度φ也會發生向相應的變化。繩子在關節的整個扭轉的過程中有2種不同的狀態，具體如圖10所示。

圖10 折疊式扭轉關節驅動繩狀態變化Figure 10 States change of drive line of folding torsion joint

當0≤φ≤π/6時，由于折疊側翼的豎直側板在AP段，l為QR,RP長度之和,如圖10(a)所示；當π/6<φ≤π/3時，由于折疊側翼的豎直側板在PB段，l等于PQ長度,如圖10(b)所示。

圖10中的點M,N為豎直側板外側邊線中點，2點間拴細彈力繩用于使折疊側翼恢復初始狀態。R為折疊側翼的豎直側板在AP段時驅動繩與豎直側板的接觸點；Q為折疊板外側重合點。

設初始狀態時繩子的原長

在第1種狀態下驅動繩長為線段QR+RP，此時扭轉角φ∈[0,π/6]，這一段的繩長的數學模型為：

(4)

其中：

這里的γ和l0是計算過程中為了方便計算和結果顯示給出的中間變量，對最終結果沒有影響。

在第2種狀態下，此時扭轉角φ∈(π/6,π/3]，繩長的數學模型為：

(5)

可以求得驅動繩長l與扭轉角φ間的關系為：

(6)

式(6)即為關節空間到驅動空間的運動學分析。

由于式(6)的2個等式都只有1個自變量φ與1個因變量l，用式(6)求得的逆解就是驅動空間到關節空間的運動學分析。

2.1.2 折疊式擺轉關節

折疊式擺轉關節沒有剛性扭轉和移動，使用繩線驅動來使動平臺發生位姿變換。折疊式擺轉關節的關節空間參數包括：單個擺轉關節的動平臺發生擺轉時與定平臺形成的二面角為擺轉角α；單個擺轉關節動平臺發生擺轉時(即擺轉角α存在時)垂直于動定2個平臺交線的面與定平臺X軸的夾角為方位角β；單個擺轉關節動平臺僅發生上下平移但不發生擺轉時(即擺轉角α不存在的時候)，動平臺在進行沿Z軸的移動時與動平臺初始位置的距離為伸縮位移h。

以正六邊形的形心Oi(定平臺i=1，動平臺i=2)為坐標系的原點，以QiAi方向為Xi軸正方向；以正六邊形所在面法線的向上方向為Zi軸正方向，用右手定則確定Yi軸正方向建立如圖11所示坐標系。

A1,C1，E1為驅動繩穿過定平臺孔徑的中心，在第i個擺轉關節定平臺建立坐標系Oi-XiYiZi(i=1,2,3,…,n)；動平臺建立動坐標系Oi+1-Xi+1Yi+1Zi+1。直接相連的串聯體的接觸面的動定坐標系重合，故可以認為第i個關節的動坐標系與第i+1個關節的定坐標系是同一個坐標系。當擺轉關節在豎直狀態時擺轉角αi，方位角βi和伸縮位移hi均為0。

以擺轉關節在豎直位置時為初始位置，3條繩的長度LAi,LCi,LEi均等于中央支撐彈簧長度L，即LAi=LCi=LEi=L。當擺轉關節上下收縮時(即動平臺相對于定平臺僅在豎直方向進行平移),每根驅動繩長度變化量為ΔLAi=ΔLCi=ΔLEi=hi，如圖12(a)所示。

圖12 單個折疊式擺轉關節幾何模型Figure 12 Geometrical model of single folding swing joint

當擺轉關節因繩驅發生彎曲時，將整個運動過程分解為：從定坐標系Oi到動坐標系Oi+1之間的平移和以定坐標系Yi,Zi軸為旋轉軸的旋轉。當關節受繩驅動發生擺轉后擺轉角為αi，方位角為βi時，此時動平臺坐標系相對于定平臺坐標系位置和姿態都發生了相應的變化，3個方向上的繩長也發生變化，擺轉關節靠3個方向上的驅動繩長度變化實現擺轉和上下收縮。

定平臺的坐標系與動平臺的坐標系間的關系用DH法推導并得到變換矩陣T，完成擺轉關節從關節空間至操作空間的運動學分析。這種整體的變換可以分解為多個變換實現：從定坐標系中心點Oi平移至動坐標系中心Oi+1，繞Zi軸扭轉βi，繞Yi軸扭轉αi，繞Zi軸扭轉-βi得到齊次變換矩陣。聯立平移矩陣和扭轉矩陣，得到Oi坐標系到Oi+1坐標系的齊次變換矩陣T為

計算得：

(7)

式中：L表示擺轉關節在初始位置的時候驅動繩的長度；αi取值范圍為[0,π/3]；βi取值范圍為[0,2π]。

由于串聯擺轉關節是由多個擺轉關節串聯而成的，故由n個擺轉關節串聯而成的串聯擺轉關節中，從第1個擺轉關節的定坐標系到第n個關節的動坐標系的齊次變換矩陣為：

(8)

式(8)表示了串聯擺轉關節的關節空間與操作空間的映射關系，即關節空間到操作空間的運動學關系。

相反串聯擺轉關節的操作空間到關節空間的關系是已知末端關節位姿，對串聯擺轉關節各個關節的擺轉角α和方位角β進行求解。設坐標系Oi-XiYiZi各軸上的單位矢量為n,o,a；動坐標系Oi+1到定坐標系原點Oi的位置矢量用p表示。

以3個擺轉關節串聯為例，現已知第3個擺轉關節動平臺O4相對于第1個擺轉關節定平臺O1的位姿，則矢量n,o,a,p對應坐標系O1-X1Y1Z1的矩陣為

(9)

聯立式(8)和式(9)可以求得：

(10)

式(10)即為操作空間到關節空間的運動學分析關系式。

在擺轉關節運動過程中，當擺轉角αi和方位角βi確定后，則動定平臺間的3根繩長度LAi,LCi和LEi可以分別確定。當擺轉關節彎曲到任意位姿時，過動定平臺與繩的交點Ai,Ci和Ei作OiP線的垂線，垂足分別為Ai0,Ci0和Ei0,L0為動定平臺間彈簧的中心軸線，如圖13所示。

圖13 單個折疊式擺轉關節彎曲任意角度模型Figure 13 Flexed mode at any angle of single folding swing joint

可得出AiAi0∥Ai+1Ai+10,CiCi0∥Ci+1Ci+10,EiEi0∥Ei+1Ei+10且AiAi0=Ai+1Ai+10,CiCi0=Ci+1Ci+10,EiEi0=Ei+1Ei+10。

設OiP=Oi+1P=R0，AiOi=CiOi=EiOi=r，結合上述的長度和位置關系可解得：

(11)

由式(11)可以推導出擺轉角αi和方位角βi與3根繩長度的變化量ΔLAi,ΔLCi,ΔLEi之間的關系為：

(12)

式(12)即為單個擺轉關節的關節空間到驅動空間的運動學關系式。根據式(12)可以解得單個擺轉關節的關節空間與驅動空間的映射關系為：

(13)

式(13)即為擺轉關節單關節的驅動空間到關節空間的運動學關系。

2.1.3 串聯擺轉關節的運動學建模

分析擺轉關節串聯體的驅動空間與關節空間的映射關系時，使用3根繩子驅動整個串聯擺轉關節，當驅動所在的地方發生彎曲行為時必然會影響末端關節驅動線的長度，需考慮關節與關節間的耦合影響。擺轉關節i發生彎曲時，關節i+1會隨著關節i的擺轉角αi和方位角βi的變化而變化。此時各個驅動線的變化量可分別表示為：

(14)

對各模塊進行解耦合，解耦合后串聯擺轉體驅動繩長度變化量為：

(15)

式中n為串聯的擺轉關節的數量。

式(15)就是擺轉關節串聯體的關節空間到驅動空間的運動學分析。

2.2 折疊式柔性復合關節運動學建模

(16)

式(16)即表示了折疊柔性復合關節關節空間與操作空間的正運動學關系。

設坐標系Oi-XiYiZi各軸上的單位矢量為n,o,a；動坐標系Oi+1到定坐標系原點Oi的位置矢量用p表示。

現已知第4個擺轉關節動平臺On+1相對于扭轉關節定坐標系O0的位姿，則矢量n,o,a,p對應坐標系O0-X0Y0Z0的矩陣為：

(17)

將式(16)和式(17)聯立可以求得操作空間到關節空間的逆運動學分析關系式。

由于串聯后的扭轉關節與擺轉關節串聯體的驅動是相互獨立的，故折疊式柔性復合關節關節空間到驅動空間的運動學關系為：

(18)

折疊式柔性復合關節的驅動空間到關節空間的運動學關系可由式(18)求得。

3 折疊式柔性復合關節運動仿真

通過軟件對可折疊柔性復合關節進行仿真，在繩驅動的作用下，折紙關節可以做出伸縮或彎曲等動作。在仿真過程中使用的相關參數為：r=20 mm,l0=10 mm。在初始狀態時，機構的扭轉角、擺轉角、方位角及驅動線的變化量都是0，扭轉角范圍為φ∈[0,π/3]，擺轉角范圍為α∈[0,π/3]和方位角范圍為β∈[0,2π]。

將扭轉關節驅動繩長度公式(6)在MATLAB中編程，輸出扭轉關節驅動繩長與扭轉角的變化關系如圖14所示。

圖14 扭轉關節的驅動繩長與扭轉關節扭轉角關系曲線Figure 14 Relation curve between drive line length and torsion angle of torsion joint

通過控制驅動繩變化量可以控制擺轉關節的動平臺上動坐標系原點的運動軌跡，并實現擺轉關節不同的彎曲形態。單個擺轉關節擺轉過程中擺轉角α∈[0,π/3]，方位角β∈[0,2π]，令采樣次數s=180，相鄰采樣點間Δα=π/540,Δβ=π/90。根據文中提出的折疊柔性復合關節運動學分析模型，在MATLAB中編程，得到擺轉關節動坐標系運動軌跡如圖15～16所示。圖15所示為單個擺轉關節做擺轉運動時動平臺上動坐標系運動軌跡曲線。圖16所示為單個擺轉體在按圖15中的軌跡做擺轉運動時3條驅動繩長度變化曲線。

圖15 單個擺轉關節動坐標系運動軌跡Figure 15 Motion trajectory of single swing joint in moving coordinate system

圖16 單個擺轉關節擺轉過程驅動繩長度變化曲線Figure 16 Variation curves of drive line length of single swing joint during swing

類似的我們也可以根據式(16)和式(18)將扭轉關節與多個擺轉關節串聯(文中以3個擺轉關節和1個扭轉關節串聯為例)后得到折疊式柔性復合關節的運動軌跡曲線與相應驅動繩長變化的關系，如圖17和18所示。

圖17 折疊式柔性復合關節末端動坐標系運動軌跡Figure 17 Motion trajectories of end of folding flexible composite joint in moving coordinate system

圖18 折疊式柔性復合關節轉過程驅動繩長度變化曲線Figure 18 Change curves of driving line length during rotation of folding flexible composite joint

折疊式柔性復合關節的工作空間可以利用式(16)確定折疊式柔性復合關節末端動坐標系原點O4的空間位置分布，利用MATLAB繪制其工作空間如圖19所示。

圖19 折疊式柔性復合關節的工作空間散點圖Figure 19 Workspace scatter diagram of folding flexible composite joint

4 結論

課題組利用折紙的可折展性與柔順性，設計了多種折紙關節及多個關節串聯成的折疊式柔性復合關節。主要研究成果如下：

1)基于折紙原理提出了折疊式扭轉關節和折疊式擺轉關節的設計方案，為后續折疊關節構型的研究與實際應用提供素材。

2)對折疊式扭轉關節和折疊式擺轉關節進行了運動學建模，分析了驅動空間-關節空間-操作空間的映射關系。

3)提出折疊式柔性復合關節的設計方案并建立驅動空間-關節空間-操作空間的運動學模型。

4)仿真驗證了折疊式扭轉關節、擺轉關節的驅動空間-關節空間的理論數學模型的正確性；仿真并輸出了折疊式柔性復合關節末端動平臺坐標系原點的運動軌跡曲線及相應驅動繩長度變換關系并給出了工作空間散點圖。