基于降維波束空間的實(shí)值ESPRIT單基地MIMO雷達(dá)測角算法

劉東賀 趙永波 龐曉嬌 曹成虎 陳 勝

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá)與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比具有多通道，高分辨、抗干擾等優(yōu)點(diǎn)，這引起了國內(nèi)外研究人員的高度關(guān)注。根據(jù)MIMO雷達(dá)的陣列結(jié)構(gòu)將MIMO雷達(dá)分為統(tǒng)計(jì)MIMO雷達(dá)[1]和集中式MIMO雷達(dá)[2]。統(tǒng)計(jì)MIMO雷達(dá)天線陣列各陣元之間有較大間隔，利用空間分集增益提升MIMO雷達(dá)性能。集中式MIMO雷達(dá)發(fā)射陣元和接收陣元都緊密排列，利用波形分集提升空間分辨率。本文主要研究集中式單基地MIMO雷達(dá)的波達(dá)方向(Direction Of Arrival,DOA)估計(jì)問題。

目前MIMO雷達(dá)的測角算法一般是子空間類的算法，這些算法主要包括MUSIC (MUltiple SIgnal Classification)算法和ESPRIT (Estimation Of Signal Parameters Via Rotational Invariance Technique)算法。單基地MIMO雷達(dá)的冗余數(shù)據(jù)，使得子空間類算法的運(yùn)算量顯著上升，這是單基地MIMO雷達(dá)比較顯著的缺點(diǎn)。為了克服這種缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[3]提出了一種降維的MUSIC算法，對于單基地MIMO雷達(dá)，該算法對陣列接收數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，相比于全維度的MUSIC算法運(yùn)算量大大降低，但是該算法仍需要1維精細(xì)網(wǎng)格搜索。文獻(xiàn)[4]提出一種降低復(fù)雜度的Capon算法，該算法對MIMO雷達(dá)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行去冗余操作，之后應(yīng)用Capon估計(jì)器進(jìn)行1維搜索。雖然該算法具有一個良好的估計(jì)性能，但是不可避免地同文獻(xiàn)[3]一樣也需要進(jìn)行1維搜索。為了避免搜索，文獻(xiàn)[5]提出了一種全維度的ESPRIT算法，該算法在雙基地MIMO雷達(dá)中用于估計(jì)目標(biāo)的DOD (Direction Of Departure)和DOA，并且該算法能夠輕易地?cái)U(kuò)展到單基地MIMO雷達(dá)，但是該算法在單基地MIMO雷達(dá)中需要估計(jì)全維度的協(xié)方差矩陣并進(jìn)行特征值分解，這將導(dǎo)致該算法運(yùn)算量大大增加。為了進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[6]提出了一種降維的ESPRIT算法用于單基地MIMO雷達(dá)的DOA估計(jì)，與全維度的ESPRIT算法相比，降低了維度，減少了運(yùn)算量，但是該算法是復(fù)數(shù)處理。文獻(xiàn)[7]提出了一種降維的酉ESPRIT算法，該算法進(jìn)行了降維操作且利用了實(shí)值處理，進(jìn)一步降低了運(yùn)算量。雖然該算法采用了前后平滑技術(shù)具有去相關(guān)的能力，但是降維操作導(dǎo)致該算法的去相關(guān)能力下降。文獻(xiàn)[8]提出了一種降維的協(xié)方差矩陣重構(gòu)的算法，該算法不需要已知目標(biāo)個數(shù)，通過重構(gòu)降維后的數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行角度估計(jì)，但是該算法需要解優(yōu)化問題，不適合實(shí)時處理。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于實(shí)值處理聯(lián)合波束域雙基地MIMO雷達(dá)測角算法，該算法通過凸優(yōu)化的方法對發(fā)射和接收空域?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而應(yīng)用酉ESPRIT算法提升角度估計(jì)精度并且具有去相關(guān)的能力。該算法針對雙基地MIMO雷達(dá)并且無法利用單基地MIMO雷達(dá)的虛擬孔徑擴(kuò)展，所以該算法直接擴(kuò)展到單基地MIMO雷達(dá)時，性能會嚴(yán)重下降。文獻(xiàn)[10-16]利用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法估計(jì)目標(biāo)的DOA。雖然這些算法在低快拍、低信噪比條件下具有較好的性能，但是這些算法需要大量的迭代計(jì)算，不適合實(shí)際工程應(yīng)用。

基于以上算法運(yùn)算量較大的缺點(diǎn)，本文提出了一種基于降維波束空間的實(shí)值ESPRIT算法。首先，為了消除MIMO雷達(dá)數(shù)據(jù)中的冗余，通過轉(zhuǎn)換矩陣將經(jīng)過匹配濾波器組處理后的高維度MIMO雷達(dá)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到低維度的數(shù)據(jù)。為了進(jìn)一步降低運(yùn)算量，再將低維數(shù)據(jù)變換到波束空間，然后構(gòu)造實(shí)值旋轉(zhuǎn)不變性等式用于估計(jì)目標(biāo)的DOA。本文提出的算法實(shí)際上是對MIMO雷達(dá)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次降維操作，然后再運(yùn)用實(shí)值ESPRIT算法，所以該算法具有更低的運(yùn)算量。在低快拍、低信噪比時，本文所提算法利用目標(biāo)的先驗(yàn)信息對降維后的數(shù)據(jù)進(jìn)行波束空間變換，提升了目標(biāo)的檢測性能，所以具有更好的角度估計(jì)精度。根據(jù)文獻(xiàn)[17,18]，實(shí)值ESPRIT算法具有前后平滑的特性，所以本文所提算法也具有去相關(guān)的能力。本文通過蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了非相干信源和相干信源在不同快拍數(shù)、信噪比條件下的角度估計(jì)均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)，同時比較了不同算法隨著陣元數(shù)變化的運(yùn)算時間，最后為了研究目標(biāo)的先驗(yàn)信息對本文所提算法的角度估計(jì)性能的影響，對先驗(yàn)信息的敏感度進(jìn)行了分析。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。

文中(·)T，(·)?，(·)H，(·)?1分別表示轉(zhuǎn)置、共軛、共軛轉(zhuǎn)置以及求逆操作，Re(·)是取實(shí)部操作，Im(·)是取虛部操作，?表示Kronecker積，IM表示M×M的單位矩陣。

2 MIMO雷達(dá)信號模型

設(shè)置單基地MIMO雷達(dá)發(fā)射陣元數(shù)目為M，接收陣元數(shù)目為N，發(fā)射和接收陣元共置，陣元間距d=λ/2，λ為波長。圖1展示了單基地MIMO雷達(dá)的系統(tǒng)框圖。

圖1 單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)框圖

M個天線發(fā)射M個正交波形，并且假設(shè)有P個遠(yuǎn)場窄帶信號源，N個陣列接收到的數(shù)據(jù)經(jīng)過M個匹配濾波器的處理，然后通過列矢量化操作可以寫為

3 基于降維波束空間的實(shí)值ESPRIT算法

3.1 降維矩陣

由于本文考慮收發(fā)共置且陣元間距為半波長的MIMO雷達(dá)，根據(jù)文獻(xiàn)[4]，有效的虛擬陣元個數(shù)為K=M+N ?1， 因此MN×1的矢量可以由K×1的導(dǎo)向矢量通過線性變換來表示

其中，g(θ)=[e?jπ(K?1)/2sin(θ),e?jπ(K?3)/2sin(θ),...,ejπ(K?1)/2sin(θ)]T表示K×1的虛擬均勻線陣的導(dǎo)向矢量。根據(jù)以上假設(shè)，變換矩陣C為

式(5)中G=[g(θ1),g(θ2),...,g(θP)]表示虛擬均勻線陣的導(dǎo)向矢量矩陣，將式(5)代入式(2)可得

從式(6)可以看出MIMO雷達(dá)的接收數(shù)據(jù)等價于來自K個天線的接收數(shù)據(jù)，X中的目標(biāo)信號由G張成的低維度的信號空間構(gòu)成，為此可以將X變換至該低維信號空間。

假設(shè)降維變換矩陣是維度為K×MN的矩陣T，則接收數(shù)據(jù)X經(jīng)降維變換后為

為了保持降維后的噪聲仍為高斯白噪聲[4]，設(shè)計(jì)降維矩陣為

其中，min(·)表示取小操作，diag(x)表示將矢量x對角矩陣化。

本文將降維后的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到波束空間，然后結(jié)合酉ESPRIT模型[18]估計(jì)目標(biāo)DOA，該算法不僅降低了運(yùn)算量且在低信噪比時也提升了目標(biāo)的DOA估計(jì)精度。

3.2 波束空間的實(shí)值ESPRIT算法

首先，設(shè)計(jì)空域?yàn)V波器矩陣的維度Mˉ，以使設(shè)計(jì)的空域?yàn)V波器的主瓣包含感興趣的目標(biāo)空間。需根據(jù)感興趣的空間Θ來設(shè)計(jì)空域?yàn)V波器的維度Mˉ，定義正定矩陣

對Σ進(jìn)行特征值分解，要求Mˉ個最大特征值之和要占所有特征值之和的90%以上，文獻(xiàn)[19]中稱此方法為離散長球序列。

根據(jù)離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)矩陣設(shè)計(jì)共軛中心對稱的空域?yàn)V波器矩陣。其中空域?yàn)V波器的第m行為

則波束流型的第m個分量為

其次，將降維后的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到波束空間得到數(shù)據(jù)矩陣Z。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

在本文中的仿真實(shí)驗(yàn)僅考慮單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)，即設(shè)置M=N=6個陣元的均勻線陣，陣元間距為半波長。為了評估本文所提算法的DOA估計(jì)性能以及運(yùn)算時間，傳統(tǒng)ESPRIT算法[5]、降維ESPRIT算法[6]和降維酉ESPRIT算法[7]也被同時執(zhí)行。本文使用均方根誤差作為DOA估計(jì)性能的評價指標(biāo)。

其中，NMONT表示蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)；θ?r(k)表示第k次實(shí)驗(yàn)，第r個目標(biāo)的波達(dá)方向估計(jì)值，θr為第r個目標(biāo)的真實(shí)值。在所有的仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)目標(biāo)的DOA位于一個期望扇區(qū)并且假設(shè)目標(biāo)個數(shù)已知。期望扇區(qū)Θ=[0°,60°]。根據(jù)文獻(xiàn)[19]，設(shè)置空域?yàn)V波器的維度Mˉ =8。

實(shí)驗(yàn)1 非相關(guān)信源的測角性能。圖2給出了RMSE隨著目標(biāo)信噪比變化的關(guān)系圖，其中L=30,NMONT=500，從圖2可以看出，在低信噪比時，本文所提算法的RMSE曲線要低于其他3種算法，主要原因是本文所提算法利用了目標(biāo)位置的先驗(yàn)信息，對降維后的數(shù)據(jù)進(jìn)行波束形成，提升了目標(biāo)的檢測信噪比，所以具有更好的角度估計(jì)精度。但是當(dāng)信噪比增加到一定程度時，本文所提算法的性能便不再提升，這是由于本文所提算法的自由度下降所引起的。圖3給出了RMSE隨著目標(biāo)快拍數(shù)的變化關(guān)系，其中3 個目標(biāo)的信噪比都為5 d B,NMONT=500。從圖中可以看出在低快拍數(shù)時，本文所提方法要優(yōu)于以上3種方法。但是當(dāng)信噪比一定，快拍數(shù)增加到一定程度時，它的性能便不再提升，這是自由度下降所帶來的損失。

圖2 非相關(guān)信源RMSE隨著信噪比的變化情況

圖3 非相關(guān)信源RMSE隨著快拍數(shù)的變化情況

實(shí)驗(yàn)2 相關(guān)信源的測角性能。假設(shè)有兩個高度相關(guān)信源分別位于θ1=10°和θ2=35°，相關(guān)系數(shù)設(shè)置為0.95。圖4給出了相關(guān)信源的RMSE隨著信噪比變化的關(guān)系，其中L=50,NMONT=500，從圖中可以看出在低信噪比時，對于相關(guān)信源的DOA估計(jì)，相比于另外3種算法，本文所提算法具有更好的性能。主要原因是本文將陣元空間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到了波束空間，再利用實(shí)值波束空間ESPRIT算法，由于實(shí)值ESPRIT算法內(nèi)在地利用了前后平滑技術(shù)，不僅具有很好的去相關(guān)效果，而且使快拍數(shù)加倍[18]。圖5給出了相關(guān)信源的RMSE隨著快拍數(shù)變化的關(guān)系，其中L=50,NMONT= 500，其中兩個目標(biāo)的信噪比都為5 dB，從圖中可以看出，本文所提算法具有更好的估計(jì)精度。

圖4 相干信源RMSE隨著信噪比的變化情況

圖5 相干信源RMSE隨著快拍數(shù)的變化情況

實(shí)驗(yàn)3 運(yùn)算時間對比。圖6給出了CPU的運(yùn)算時間隨著陣元數(shù)目的變化關(guān)系，算法的運(yùn)算時間是統(tǒng)計(jì)各種算法在計(jì)算機(jī)上的運(yùn)行時間。具體操作，利用MTALAB編寫計(jì)算機(jī)程序?qū)σ陨蠋追N算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，并在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行。所采用的計(jì)算機(jī)硬件配置為：2.20 GHz主頻的英特爾Xeon(R)處理器，內(nèi)存為16 GB。通過統(tǒng)計(jì)各算法在計(jì)算機(jī)上的運(yùn)行時間來衡量各個算法的運(yùn)算量，為了盡量消除隨機(jī)因素的影響，在每一個樣本點(diǎn)上，設(shè)置NMONT=100,L=50。從圖6可以看出降維ESPRIT算法相對于傳統(tǒng)ESPRIT算法降低了運(yùn)算量。降維酉ESPRIT算法采用了降維處理和實(shí)值處理，所以它的運(yùn)算量相比于傳統(tǒng)ESPRIT和降維ESPRIT算法的運(yùn)算量還要低。本文所提方法運(yùn)算量要低于以上3種方法，這是由于本文進(jìn)行了兩次降維且采用了波束空間實(shí)值ESPRIT算法，所以該算法具有更少的運(yùn)算量。

圖6 CPU的運(yùn)算時間隨著陣元數(shù)目的變化情況

實(shí)驗(yàn)4 目標(biāo)先驗(yàn)信息的敏感度分析。信噪比一定，波束指向一定，通過RMSE隨目標(biāo)角度的變化曲線來評估所提方法對先驗(yàn)信息的敏感程度。假設(shè)已知目標(biāo)所在空域范圍為Θ,Θ=[0°,60°]，空域?yàn)V波器的維度設(shè)置為Mˉ =8并且空域?yàn)V波器的波束指向覆蓋Θ，設(shè)置目標(biāo)的信噪比為10 dB，NMONT=500，L=30。圖7是本文設(shè)計(jì)的空域?yàn)V波器。圖8是RMSE隨著目標(biāo)角度變化的曲線。當(dāng)目標(biāo)角度在波束指向內(nèi)時，該算法可以穩(wěn)定地測出目標(biāo)角度，當(dāng)目標(biāo)不在波束指向內(nèi)時，距離主瓣區(qū)域越遠(yuǎn)，目標(biāo)角度的均方根誤差也就越大。實(shí)際應(yīng)用中，選取的波束個數(shù)和測角精度之間應(yīng)該折中考慮。

圖7 空域?yàn)V波器的波束方向圖

圖8 RMSE隨目標(biāo)角度的變化情況

5 結(jié)束語

基于單基地MIMO雷達(dá)體制，利用降維矩陣將MIMO雷達(dá)的接收數(shù)據(jù)從高維空間轉(zhuǎn)換到低維空間，去除MIMO雷達(dá)數(shù)據(jù)中的冗余數(shù)據(jù)，再將低維空間的數(shù)據(jù)變換到更加低維的波束空間，在波束空間利用實(shí)值ESPRIT算法能夠有效地提升DOA估計(jì)性能。從以上的仿真實(shí)驗(yàn)中總結(jié)歸納了本文所提算法的優(yōu)缺點(diǎn)。在算法估計(jì)性能方面：在低信噪比和低快拍數(shù)的條件下，當(dāng)目標(biāo)為非相干信源或者相干信源時，本文所提算法在性能上要優(yōu)于ESPRIT算法、降維ESPRIT算法、降維酉ESPRIT算法。在運(yùn)算量方面：本文所提算法的運(yùn)算量要低于傳統(tǒng)ESPRIT算法、降維ESPRIT算法、降維酉ESPRIT算法。從而可以得出一個非常有意義的結(jié)論：在低信噪比和低快拍數(shù)的條件下，本文所提算法具有更好的估計(jì)性能和更低的運(yùn)算量，所以本文所提算法更適合實(shí)際應(yīng)用。但是本文所提算法也有一定的缺點(diǎn)，由于該算法具有較低的自由度，當(dāng)信噪比和快拍數(shù)增加到一定程度時，它的性能便不再提升。當(dāng)目標(biāo)不在波束指向內(nèi)時，該算法的估計(jì)性能下降嚴(yán)重，所以在未來的研究當(dāng)中，為了降低該算法對波束指向的敏感性，將對該算法做進(jìn)一步的改進(jìn)。