基于LMS算法的自適應濾波器性能分析*

劉建濤 席 闖 姜海洋

（沈陽遼海裝備有限責任公司 沈陽 110000）

1 引言

濾波器研究的目的是設計和制造最佳的（或最優的）濾波器，減小期望頻率信號的衰減，并阻止非期望頻率信號通過，分為傳統與現代濾波器，可通過軟件或硬件實現［1］。本文將比較三種經典濾波器的濾波性能，并重點介紹LMS自適應濾波器的實際應用。

2 濾波器原理

2.1 經典濾波器

20世紀40年代，數學家維納（Norbert Wiener）首次提出噪聲是疊加于信號之上的，即加性噪聲的概念：

其中，x(t)為實測值；s(t)為目標信號；v(t)為噪聲信號。

為了還原目標信號，就需要進行濾波。其中模擬濾波器只能粗略的限定可通過的信號的頻率范圍，更進一步的濾波、平滑甚至預測等任務需要交給數字濾波器來處理，以下提及的濾波器均指代數字濾波器。

在離散數字信號的場合，設y(n)為期望輸出，有：

一個典型的濾波系統具有如下結構［2］：

圖1 濾波器組成

其中，?(n)為沖激響應。

但由于濾波器自身性能的限制，以一個線性濾波系統為例，其實際輸出為

2.2 維納濾波器

依據最小均方誤差準則，希望求得誤差值平方的期望值最小。設誤差e(n)，真實值s(n)，估計值，即：

最小均方誤差為

設沖激響應h（n），有：

式中，Rxs(m)為互相關函數，Rxx(m)為自相關函數，即：

若這兩個參數已知，即可由式（6）求得濾波器系統沖激響應。

2.3 卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波器的描述建立在這樣一個狀態空間基礎上：即認為系統噪聲和測量噪聲共同引起了實際誤差，系統框圖如下：

圖2 卡爾曼濾波系統

由其思想可以看出，卡爾曼濾波器是在觀測值和估計值之間進行折中。當估計誤差較大時更依賴觀測值，當上一次誤差較小時便增加H的權重。

2.4 LMS自適應濾波器

LMS自適應濾波器同樣采用最小均方準則，系統的閉環結構使其更適用于信號模型未知的情況，該系統結構如下［3］：

圖3 自適應濾波器的結構

圖中，x(n)為輸入；y(n)為輸出；H(z)為參數矩陣；d(n)為期望；e(n)為誤差。通過e（n）對數字濾波器進行重新設置，使誤差的均方插值最小。

當n時刻的輸入x(n)進入到濾波器時，M階濾波器輸出為

其中ωm為第m個抽頭線上的權值。

對ωm的自適應控制詳細結構如圖4所示。

圖4 權值自適應控制算法模型

圖中，μ為步長因子（也稱收斂因子）根據上圖，有：

w為ω的向量形式。

μ的取值范圍為

式中SMAX為x（n）功率譜密度的最大值。步長過大會降低濾波的精度，當μ取較小值時，LMS自適應濾波過程進行的較慢，但減少了失調的影響［4～6］，需根據實際應用場景進行調整。

3 性能分析

3.1 仿真分析

為了檢驗兩種濾波器算法在去噪應用中的濾波性能，利用Matlab對維納濾波器和自適應濾波器進行模擬仿真實驗。仿真結果如下：

以單位幅值正弦波信號疊加高斯白噪聲為例，維納濾波器階數為100，相關信號長度為100時，結果如圖5所示。

圖5 維納濾波器仿真

LMS自適應濾波器階數為50時，結果如圖6所示。

圖6 LMS自適應濾波器仿真

比較上述維納濾波器濾波結果可見，基于LMS算法的自適應濾波器對變化的信號反應更加靈敏，輸出曲線相較維納濾波器更加平滑，濾波效果更佳。圖中未示出LMS自適應濾波器在前50個點的輸出，這是因為當濾波點數小于階數時，不能完全發揮出濾波器的能力。LMS自適應濾波器的輸出與期望較為接近，與輸入信號相比，獲得了十分明顯的濾波效果，輸出與期望的誤差的絕對值也會隨信號幅值的增加而增加。

3.2 水池實驗

為更直觀觀察LMS自適應濾波器的濾波效果，進行水池單頻信號的接收實驗，通過LMS自適應濾波器對接收信號進行濾波，結果如圖7所示。

圖7 實驗濾波結果及誤差

圖7可直觀看出，當期望信號已知時，隨累積觀測時長增加，LMS自適應濾波器的估計誤差減小，濾波效果變好。

4 自適應LMS算法的應用

4.1 自適應均衡

避免多途影響系統性能，采用自適應均衡技術，對接收信號進行自適應均衡補償處理，盡可能接近期望信號，消除碼間干擾，解決傳輸環境不理想帶來的失真問題［7～9］。

4.2 語音處理

不同環境噪聲具有不同特性，需在已知語音信號頻譜范圍條件下，設計自適應濾波器，針對未知環境消除噪聲干擾?；贚MS算法的自適應濾波器在語音信號處理中，具有較好的收斂性和良好的環境適應性，并且穩態誤差小，廣泛應用于語音系統中。

4.3 自適應回聲消除

電話回聲和聲學回聲是降低通信系統通話質量的主要原因［10］。LMS算法的快速收斂特性，可保證語音系統的實時性，是其在回聲消除領域有廣泛的應用先決條件之一。通過對回聲路徑的自適應分析，結合語音信號的自適應處理，可以有效抑制回聲，降低回聲信號被察覺的可能性，實現即時語音回聲自適應消除。

4.4 自適應干擾對消

LMS算法收斂速度快，穩定性高，結構簡單等優勢，使其在需要干擾對消的軍事、醫療、科研生產等方面，均有廣泛的應用，例如天線陣列旁瓣對消、雷達干擾對消、降低設備電源干擾［11～13］等。

5 結語

維納濾波器適用于輸入特性已知且廣義平穩的隨機過程，使用全部的過去觀測值完成這一“去相關”過程；卡爾曼濾波器還可適用于非平穩隨機過程，特別適合對模型已知系統的實時預測，當應用于噪聲較大系統時，預測結果將十分依賴觀察值；LMS自適應濾波器更適合于對非平穩隨機過程中變化的信號進行濾波，取得的結果明顯優于維納濾波器，其波形與維納濾波器相比更平滑、更接近目標信號。