基于VMD與改進小波閾值的地震信號去噪方法研究

喬 云， 李 瓊，1b， 錢浩東， 宋 鑫

(1.成都理工大學 a.地球物理學院,b.地球勘探與信息技術教育部重點實驗室，成都 610059；2.中國石油集團 川慶鉆探工程有限公司鉆采工程技術研究院，廣漢 618300)

0 引言

去噪是地震信號處理的重要一環，而小波變換是地震信號去噪的常用手段。Donoho DL等[1]提出了一種基于小波變換的去噪方法，即小波閾值去噪法。小波閾值函數分為硬閾值函數和軟閾值函數，通常認為小于閾值的小波系數是由噪聲產生的，而大于閾值的小波系數才是由有效信號產生[2]。因此硬閾值函數將小于閾值的小波系數置零，這便會導致硬閾值函數在閾值點處跳動；軟閾值函數則是把小于閾值的小波系數置零的同時，將大于和等于閾值的部分減去閾值，這樣雖然保證了閾值函數的連續性，但是在小波系數大于閾值的部分有效信號的能量也會有所損失[3]。在進行小波閾值去噪后，硬閾值函數處理后的信號相較于軟閾值處理的信號會更為粗糙[4]。兩種閾值函數都有各自的優缺點，筆者在前人研究的基礎上，提出一種改進的閾值函數，能夠通過兩個參數靈活調節閾值函數，既可以保證函數在閾值點處的連續性，也可以解決小波系數的偏差問題。

Konstantin等[5]提出的變分模態分解(Variational Mode Decomposition，VMD)是一種自適應分解方法，將信號分解為有限個模態分量，并確定各模態分量的中心頻率和帶寬，因此可以很好地應用與地震信號的分解。

由于改進小波閾值去噪的方法與變分模態分解方法都有各自優點，又能很好地處理非平穩信號，因此筆者將兩種方法相結合，提出一種新的地震信號去噪方法。首先將地震進行變分模態分解，得到有限個模態分量，將這些模態分量進行改進小波閾值去噪處理，然后將去噪后的模態分量進行重構，得到去噪后的信號，將兩種方法結合，能盡可能地保留地震信號中的有效信號，并壓制隨機噪聲。

1 方法原理

1.1 小波閾值去噪原理[6-7]

1)確定合適的小波基函數并確定其分解層數，分解得到不同層數下的小波系數，筆者選擇db3，分解層數為2層。

3)選取適當的閾值函數，對每層分解層的小波系數進行改進小波閾值去噪。

4)對處理后的N層系數進行小波重構得到去噪后的信號。

小波閾值去噪流程圖如圖1所示。

圖1 小波閾值去噪流程圖Fig.1 Wavelet threshold denoising flowchart

1.2 改進的小波閾值函數

傳統的閾值函數分為軟閾值和硬閾值函數。

軟閾值函數[8]為式(1)。

(1)

硬閾值函數[9]為式(2)。

(2)

式(1)和式(2)中：wj,k為小波分解系數，Wj,k為閾值處理后的小波系數。小波軟閾值函數和硬閾值函數在去噪中已經有很多應用，然而硬閾值函數在閾值點處不連續以及軟閾值函數的恒定誤差問題仍然會對去噪效果產生一些影響。因此筆者在前人的研究的基礎上，設計了一種新的閾值函數，綜合了軟閾值與硬閾值函數的特點(式(3))。函數圖像如圖3所示。

圖2 閾值函數對比Fig.2 Threshold function comparison(a)軟閾值函數;(b)硬閾值函數

圖3 改進閾值函數Fig.3 Improved threshold function

(3)

式(3)和圖(3)中:wj,k為小波分解系數；Wj,k為閾值處理后的小波系數。

該函數有如下特點：

1)在閾值點處，函數是連續的，因此能克服硬閾值函數在閾值處不連續的缺點。

2)滿足是一個奇函數的條件，使處理信號時對正負信號能夠達到相同的效果。

3)含有兩個可以調節閾值函數的參數(α和β)，可通過更改兩個參數讓函數在大于閾值后漸近線迅速靠近硬閾值函數，能夠保留有效信號的能量克服了軟閾值函數中的恒定誤差問題。

在實際去噪過程中，需要根據噪聲大小和實際情況來調節兩個參數，通過調節參數試驗，以便能獲得更好的去噪效果。

1.3 變分模態分解

VMD是一種自適應且高效的信號分解方法，可將非平穩信號按中心頻率和帶寬的不同分解成為不同的模態分量，由此將有效信號和噪音在按不同的模態分量來分開。VMD的分解過程實際是變分問題的構造和求解過程。其約束變分模型為式(4)。

(4)

2 實驗仿真及效果評價

為評價該去噪方法的有效性，將該去噪效果與其他傳統單一去噪效果進行對比。首先生成一條單道合成地震記錄，在該信號中加入不同分貝的高斯白噪聲，再分別用VMD去噪、硬閾值小波去噪、軟閾值小波去噪、以及這里提出的聯合改進方法去噪，并計算信噪比(SNR)對比去噪效果。筆者改進小波閾值參數為α=1,β=1、選用db3小波進行分解，分解層數為2層。

信噪比的計算公式見式(5)。

SNR=10lg∑f2(n)/(∑(s(n)-f(n))2

(5)

式中：f(n)為原始信號;s(n)為去噪后的信號。

圖4為一條合成的單道地震記錄，圖5是添加高斯白噪聲后的信號，其信噪比為SNR=5.309 3 dB，圖6為含噪信號的VMD分解，圖7、圖8、圖9為分別為VMD的去噪結果、小波硬閾值去噪結果、小波軟閾值去噪結果，信噪比得到了一定的提高，但是可以看出小波硬閾值去噪和軟閾值去噪后波形幅度也有所衰減，丟失了部分有效信號。而圖10為筆者提出的改進方法的去噪結果，從圖10中可以看到，噪聲很大程度上得到了去除，并且也克服了小波硬閾值去噪和軟閾值去噪時的振幅損失問題，通過計算信噪比，筆者提出的改進去噪方法去噪后得到的信噪比明顯高于其他三種方法。

圖4 原始信號Fig.4 Original signal

圖5 含噪信號(SNR=5.309 3 dB)Fig.5 Noisy signal

圖6 VMD分解Fig.6 VMD decomposition(a)含噪信號;(b)至(f) IMF分量

圖7 VMD去噪結果(去除IMF1-IMF3)(SNR=9.513 6)Fig.7 VMD denoising results

圖8 小波硬閾值去噪結果(SNR=9.027 6 dB)Fig.8 Wavelet hard threshold denoising results

圖9 小波軟閾值去噪結果(SNR=8.404 4 dB)Fig.9 Wavelet soft threshold denoising results

圖10 改進方法去噪結果(SNR=10. 594 7 dB)Fig.10 Denoising results of improved method

為了評價本文改進去噪方法在不同信噪比下的去噪效果，又進行了以下實驗。在信號中加入四種不同能量大小的白噪聲(20 dBb、22 dBb、24 dBb、26 dBb)，分別用VMD分解重構去噪、小波硬閾值法去噪、小波軟閾值法去噪和本文改進方法去噪，再分別計算不同噪聲強度下去噪后的信噪比，去噪前后的信噪比如表1所示，由表1可以看出，經過本文改進方法去噪后信噪比提升最大，其次是VMD分解重構去噪、小波硬閾值法去噪、小波軟閾值法去噪。經過不同噪聲能量下各種方法去噪效果的對比，證實了本文提出的改進去噪方法去噪的有效性。

表1 加入不同分貝高斯白噪聲的去噪效果

3 實際地震資料的處理

圖11是某工區一個含有大量噪聲的實際地震剖面。由圖11可以看到，除能量很強的同相軸夠能勉強分辨外，其余能量較弱的小振幅被噪聲淹沒，反射波同相軸不清晰，無法有效識別。圖12(a)、圖12(b)、圖12(c)、圖12(d)是分別用小波硬閾值、小波軟閾值、VMD和本文提出的改進方法對該含噪實際地震剖面處理后的結果，由圖12可以看出，經過四種方法去噪后，大部分隨機噪聲都得到了有效去除，反射波同相軸明顯變得更為清晰，但是對于細節部分，如圖12中圈出的反射波同相軸，這里提出的改進方法去噪后其同相軸的連續性明顯優于其他三種方法，并且對于在剖面上能量較弱的有效信息也能夠更有效地保留，信噪比大大提高。圖13(a)、圖13(b)、圖13(c)、圖13(d)是分別用小波硬閾值、小波軟閾值、VMD和本文提出的改進方法對該含噪實際地震剖面處理后的得到的噪聲分量，由圖13可以看出，四種方法都去除了大量噪聲，在噪聲殘差剖面中，也沒有明顯看出反射波同相軸的特征，說明了在去噪過程中沒有明顯損失有效地震信息，地震信號得到有效保留。

圖11 含噪聲的實際地震剖面Fig.11 Real seismic-section with noise

圖12 含噪實際地震剖面的去噪對比Fig.12 Denoising comparison of real seismic-section with noise(a)小波硬閾值法去噪結果；(b) 小波軟閾值法去噪結果；(c)VMD去噪結果；(d)本文改進方法的去噪結果

圖13 噪聲分量Fig.13 Noise component(a)小波硬閾值法去除噪聲分量；(b) 小波軟閾值法去除噪聲分量；(c)VMD去除噪聲分量；(d)本文改進方法去除噪聲分量

4 結語

通過改進小波閾值函數，結合了傳統軟閾值函數和硬閾值函數的優點，克服了兩種函數的缺點，提出一種新的可通過改變參數來調節閾值的函數，以便在進行去噪的同時盡可能保留有效信號。同時將VMD分解與改進小波閾值去噪法相結合，利用VMD的多尺度自適應分解特點，進一步提高了去噪效果，通過對單道合成地震記錄的仿真去噪實驗，計算去噪后的信噪比，以及對含噪實際地震剖面的去噪處理，都證明了本文提出的改進方法能夠有效對地震信號進行去噪，提高信噪比，且去噪效果優于其他三種單一的去噪方法，在去噪時能夠保留更細節的有效信息。