批判性思維的內涵與培養路徑
——以數學教學為例

陳六一

(南京師范大學 蘇州實驗學校， 江蘇 蘇州 215131)

自《中國學生發展核心素養》強調批判性思維是科學精神維度的素養以來，批判性思維逐漸在教育領域成為熱詞，不僅學術界特別關注，實踐層面也是全力追捧。一時間，批判性思維成為各級層面課題討論、課堂研究的主旋律，一旦人人可坐而論道之時，我們就更要冷靜地權衡思量。尤其回看這些年來轟轟烈烈的從理論到操作方面的教育革新，比如“多元智能”“翻轉課堂”“建構主義”“新數運動”“回到基礎”等，不由地擔憂批判性思維學習的未來前景。所以，指向批判性思維的教與學，能否由高深的理論典籍進入尋常的一線課堂，能否帶來學生素養的積淀、學習的真正發生，就需要在當下被更多地討論與反思。

一、批判性思維內涵解讀

(一)什么是批判性思維

1.習慣與行動

2.能力與素質

格雷戈里認為批判性思維是指：“有效識別、分析評估觀點和事實，認識和克服個人偏見，形成和闡述可支撐結論、令人信服的推理，在信念和行動方面作出合理的決策，這一切所必需的一系列認知技能和思維素質的總稱。”[3]谷振詣、劉壯虎也有類似的觀點，他們認為批判性思維是面對相信什么或者做什么而作出合理決定的思維能力[4]。

3.思考與邏輯

鐘啟泉教授提出批判性思維指的是：“基于論據的邏輯性、不偏頗的思考；有意識地琢磨、反思性地審思自身的思維過程，旨在更好地適應目標與情境的指向性思考。”[5]楊武金教授則認為批判性思維是邏輯學在當代的非形式化和非形式方向的發展，也稱為判斷性思維和審辯性思維，或者非形式邏輯，并進一步指出分析論證是批判性思維的核心問題[6]。美國哲學會制定的哲學教育大綱，也將批判性思維與符號邏輯并列，成為邏輯課程之一[7]。甚至提出習慣說的斯蒂芬教授也指出批判性思維的理論根基是分析哲學與邏輯學[8]。

如上所述，關于什么是批判性思維，業界并未達成共識，至少有習慣與行動說、能力與素質說、思考與邏輯說三種版本。但回溯歷史，可以發現批判性一詞來源于希臘文“kritikos”，意思是洞察力、判斷力、辨別力，引申為作出決斷。由此可以澄清批判性雖然包含發現錯誤、缺點、不足，乃至批評等否定性動作，同時也關注認可、贊成、合理等肯定性動作，更重要的是發現自己的錯誤、缺點、不足，乃至自我否定之否定等。結合前文中外名家的各種說法，可以發現批判性思維指向問題的提出與問題的解決，并于其中秉持公正的心態、前后一致的言論；即用邏輯去論證，習慣問為什么，以實現完整的思考、清晰的表達、理性的判斷、多角度的審視、預見性的決策。

(二)作為教育任務的批判性思維

通過回答什么是批判性思維，我們可以獲得這樣的認識：批判性思維是理性的聲音，是懷疑的方法和工具，其實質是培養“頭腦肌肉”。但事實上沒有人完全沒有批判性思維能力，也沒有人完全擁有它而無需改進。所以批判性思維可以在課堂學習中被喚醒，在獨立思考與對話交流中得到進一步完善，從而以用批判性教與學豐盈批判性思維，以豐盈批判性思維涵養科學精神。

1.批判性思維的教育價值

從我與自我的視角來看——涉及“我”的方方面面，學生很容易陷入利己主義與優越感偏誤這兩種自我中心偏見中。更何況，“中小學生的世界不是一個事實和規律的世界，其主要特征是感情和同情，絕不是與外界事物相符合的真理”[9]。所以，幫助學生發現自己的局限，發現自己的無知，敢于自我批判，應是教育的職責所在。批判性思維，就是教會“我”如何思考自己，如何公正地對待自己，如何給自己一個可信的解釋，如何讓自己內心的渴望與真善美一致。

批判他人的前提是理解他人的觀點，用幾分證據說幾分話。審視他人觀點不能非黑即白，不能以偏概全；同時警惕另一個極端，即權威對我們行為的操縱。于此，批判性思維借助我與他人開放性的假設，演變成尋求真理的過程，以致可以擁抱充滿美麗風險的未來。

從我與自然的視角來看——對未知、神秘的好奇，是人類的本能，但往往“準確”與“真實”用眼睛看不見，“宇宙之大、粒子之微、火箭之速”用文學、藝術，都是難以表達的，所以要用邏輯去接近真相，用理性和思考去定量刻畫，而這一切都需要批判性思維來引導。

經過上述省思，我們能感悟到批判性思維既是認識論，也是方法論。當然，我、他、自然，都處在發展中，“畢竟解釋世界是如何運行的理論，都是暫時性真理，這極大地體現了批判精神”[10]。所以批判性思維的教育意義還在于不預設所謂的立場，樂于接受新的可能。

2.數學與批判性思維

批判性思維的開端是樹立深思熟慮的思考態度，尤其是理智的懷疑和反思態度；批判性思維的基礎是幫助思考者養成清晰性、相關性、一致性、正當性和預見性；批判性思維的核心是會運用為作出合理決定的一系列技術和方法[11]。概括起來，如圖1。

圖1 批判性思維路徑

數學知識有三大特點：嚴謹性、抽象性和應用的廣泛性。嚴謹性對應著批判性思維的開端，抽象性對應著批判性思維的基礎，應用的廣泛性對應著批判性思維的運用。中小學數學是數學大廈的基石，不但擁有數學的三大特點，更是一個需要探索、發現和理解的世界(如圖2)。在這個數學世界里，學生通過“再創造”的方式講道理，這樣的講道理既可以促進批判性思維的發展，又可以在發展批判性思維的過程中積淀理性。

圖2 數學學習路徑

一如前文所言批判性思維既是認識論，也是方法論，因為批判性思維不僅要求我們如何思考，更要求我們如何思考得當；而“數學是事實和方法的總和”[12]。因為數學是思維的體操，數學道理是通過構建邏輯論證來建立的。可見，批判精神和數學精神是真理的兩面，有時彼此促進，有時融為一體，它們一起幫助小學生拓展智力的疆域；展開來說，批判性思維是數學的概念、原理、活動經驗、思想方法向“批判”這個新的對象的自然擴展，而這種擴展又有助于學生更好地掌握數學的概念、原理、活動經驗和思想方法。

二、數學課堂培養批判性思維的路徑

(一)提問驅動問題解決

批判性指向問題的提出與問題的解決。所以數學課堂通過不斷地讓學生自己提出問題，在自己的提問中，逐步闡釋自己對自己的質疑，完善認知的失衡，進而在縝密的思考中解決問題。也就是說老師不告知結論，也不教老師心中的辦法，只是喚醒學生的解題策略，逼著學生利用自己的經驗去提出可能的思考路徑，以求得對自己的信任。

案例1：三角形的內角和，四年級

師：上節課我們研究了三角形的一些特點，現在這里有四邊形、五邊形、六邊形……你們想研究什么？

生：四邊形的內角和多少度？

生：五邊形的內角和多少度？

生：綜合你們的問題，我想研究多邊形內角和是不是都是180度？如果不是，各是多少度呢？

師：很棒，研究圖形從角度考量是一條很好的路徑，那怎樣求出多邊形的內角和？你們有著怎樣的思路？

生：我們從簡單的四邊形開始，再依次研究五邊形、六邊形……并用表格記錄下數據，然后尋找有沒有什么規律。

生：三角形內角和是180度，我們是不是可以將多邊形分解成三角形？

生：怎么分解呢？

生：提出方案，如圖3。

圖3 多邊形內角和分解一

生：四邊形4個內角和剛好是2個三角形的內角和，五邊形5個內角和剛好是3個三角形的內角和，六邊形6個內角和剛好是4個三角形的內角和，由此可以推理出七邊形7個內角和是5個三角形的內角和，八邊形8個內角和是6個三角形的內角和；也就是說n邊形n個內角和是(n-2)個三角形的內角和。

師：你們針對這個想法，有什么追問嗎？

生：還有其他方法把多邊形內角和分解成若干個三角形的內角和嗎？

生：剛才是從一個頂點出發，向其他頂點畫連線，可不可以在邊上隨意找一個點作為三角形的頂點呢？

生：提出方案，如圖4。

圖4 多邊形內角和分解二

師：按照這樣的分解，多邊形的內角和還是(n-2)×180度嗎？

生：是(n-1)×180-180度。

生：怎么有兩種答案？

生：(n-1)×180-180利用乘法分配律，就是(n-1)×180-180×1=(n-1-1)×180=(n-2)×180度。看上去不一樣，實質是一樣的。

生：這些都是在多邊形上分解出三角形，能不能從多邊形內部想辦法呢？

生：提出新方案，如圖5。

圖5 多邊形內角和分解三

生：這樣更好理解，n邊形能分解成n個三角形，n邊形的內角和就是n個三角形的內角和減去內部的360度，也就是(n-2)×180度。

盡管讓學生能提出問題并不代表學生完全習得批判性思維，但它卻使我們對數學現實與數學思考的相互依賴關系有深刻的理解，比如案例1中學生于已經領會了的三角形內角和，來提問“四邊形、五邊形的內角和是多少度？”“是不是可以將多邊形分解為若干個三角形？”再問“如何分解？”“還有其他分解方案嗎？”追問“怎么會有兩種答案？”提問推進了解題的進展，從嘗試連接多邊形頂點的特殊方法，聯想到可以選擇邊上的任意一點連向多邊形的頂點；進一步從連接邊上的點，想象到能否以多邊形內的任意一點作為三角形的一個頂點。同時輔以直觀表征，學生便在問題解決的過程中漸次收獲了更多的可能。至此，學生甚至可以提出：“多邊形的內角和隨著角數量的增加而增加，那有沒有一種量不隨著形狀的變化而改變？”由此可以發展出下文所要提及的典范的科學態度。

(二)一致性逼近數學真相

批判性指向為什么。這就要求課堂上對數學知識、數學思想方法的學習，應保持一致性；如果每天的數學學習都是另起爐灶，無疑會給學生帶來諸多困惑：例如學習數學就是為了掌握無數的單個知識點與一個又一個公式，再如學習數學就是記憶無盡的技巧與法則。唯有學生窺見深層結構上的一致性，才能擁有解釋概念是什么、概念為什么是這樣的能力；學生在尋根溯源中，不斷洞見表象的真相，課堂便實現了從學習批判性思維抵達通過批判性思維學習的教學理念。

案例2：分數除法，六年級

師：理由爸爸有沒有教？

生：問過爸爸，他也說不清。

師：我們以前總結過，計算其實是相同單位的加減乘除，那有想法了嗎？

師：哪里有不明白的嗎？

生：利用乘法交換律，剛好說明了同學爸爸的方法“除以一個數等于乘這個數的倒數”。

在別人眼中的不一樣，于你眼中則成了一樣，這就是數學洞察力；當然這種洞察力，是由揭露數學的一致性所締造。案例2的教學中，首先回答問題的學生記住了分數除法的一般法則，還可以用法則計算正確，但卻不能理解法則的原理。如果此時不去辨析其所以然，學生就會掉進前文所述的困惑之中，甚至因此慢慢不喜歡上數學，覺得數學太不講道理了。而老師啟發學生把分數除法的法則放入計算的總原則之內考慮，學生就能明白今天的所學，只不過是過往學習的一個特例而已。

(三)冗余生成預見資源

批判性指向預見。學生在不知道結論的情況下，不可能每次都是直抵教材上的定理、公式、標準概念。在數學化的過程中，往往伴隨著冗余的解答與信息；而產生一些冗余的解答與信息，其實質是學生在創造屬于自己的數學等式。是的，冗余是思考的結果，不過也說明思考有漏洞，或者說思考的方向有待改進，抑或說思考有偏見。

案例3：歐拉公式，七年級

師：每個小組請認真觀察學具盒中的三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱，看能不能發現頂點數、面數、棱數之間存在著一定的數學關系？

生：三棱柱底面有3條棱，共9條棱；頂點數是3的兩倍，有6個；面的數量比底面棱數多2，共5個。

生：四棱柱底面有4條棱，共12條棱；頂點數是4的兩倍，有8個；面的數量比底面棱數多2，共6個。

師：大家不能把目光只放在某兩個量的比較上，接著我們把各種棱柱頂點數、面數、棱數整理在表格中，看看還能發現什么？

生：整理填寫表格，如表1。

表1 n棱柱頂點數、面數、棱數統計

生：棱柱底面每多1條棱，總的就會多2個頂點、1個面和3條棱。

生：每次增加的頂點數+面數=棱數。

生：n棱柱有2n個頂點，3n條棱，n+2個面。

生：頂點數和面數共2n+n+2=3n+2，棱數是3n，由此可以知道n棱柱中存在這樣的規律“頂點數+面數-棱數=2”，用字母表示就是“V+F-E=2”。

生：不是棱柱的立體圖形這個規律也能成立嗎？

生：有了，以四棱柱為例，在四棱柱外添一個頂點，這樣就會增加3個面，4條棱，如圖6。看，增加的頂點數+面數=棱數，等式成立。

圖6 學生對V+F-E=2的證明

教學伊始老師讓學生們探究棱柱“頂點數、面數、棱數”之間存在著什么樣的數學關系，學生們根據觀察，將重點聚焦在棱柱底面棱數與總棱數、頂點數、面數的數量關系上，顯然不是教學的目的地。然而在同學們幾分證據說幾分話的交流中，結論雖然冗余，但隨著表格的完善，卻開啟了預見性的數學表達：先是每次增加的頂點數+面數=棱數，再是n棱柱有2n個頂點，3n條棱，n+2個面，最后再創造了令人震撼的歐拉公式；乃至還要往前走一步：用自己的頭腦證實其他立體圖形也存在這樣的規律嗎？反思案例3，正是學生們用計算用推理，彌補了觀察中的不可見，或者說是理性縫合了“不知老師帶我們去哪里”的疑惑；正是用這些真實的冗余資源，實現了數學抽象可以闡釋現實世界，或者說，批判性思維在自我否定與自我肯定的較量中，完成了完整的思考、預見性的決斷。

綜上對批判性思維所做的思辨性分析，以及對踐行批判性思維教學的審視，能回答“什么是批判性思維及其教育實現”這個問題，不是哲學，而是數學學習的活生生經驗，如圖7。

圖7 批判性思維及其教育實現

如果說數學創造，除了反映世界，還來源于對真的追求；如果說好的數學，不僅具有邏輯的標準，還有審美的需求，基于批判性思維視域的教學路徑——“以提問驅動問題解決”“以一致性逼近數學真相”“以冗余生成預見資源”，可能能給予以上的一切。