淺談齒距差異對榫齒載荷分配的影響

陳劍 康劍雄

（1.中國航發湖南動力機械研究所，湖南株洲 412002；2.中小型航空發動機葉輪機械湖南省重點實驗室，湖南株洲 412002）

0.引言

樅樹形榫頭是當前航空發動機葉片與輪盤之間普遍采用的連接結構形式。通常，樅樹形榫頭包含兩對以上的榫齒，各榫齒之間的載荷分配是否均勻對榫接的應力集中和壽命有重要影響[1-2]。在絕大多數發動機型號中，榫頭/榫槽均為等齒距設計，即在不考慮齒距公差的條件下，各對榫齒理論上是同時接觸的。若將榫頭和榫槽設計為不同齒距，則會改變各對榫齒接觸的先后順序，導致載荷分配依次向先發生接觸的榫齒傾斜。楊曉潔[3]針對兩齒榫頭開展了第一對榫齒單側出現不同間隙時的數值模擬，其結果表明：隨著間隙的增大，第一對齒的載荷減輕，第二對齒的載荷加重；榫接的最大應力先減小后增加，并且呈線性關系。王少飛[4]等人研究了三齒榫頭齒距小于榫槽齒距導致第三齒接觸，一、二齒出現間隙時最大接觸應力隨間隙大小的變化規律，發現隨著榫頭/榫槽配合間隙的增加，接觸應力呈增大的趨勢，同時最大應力點在不同的齒間轉移。

本文針對一般性的榫接結構，采用力學分析模型，通過將離心載荷與溫度場進行分離，著重研究齒距差異與榫頭剛度之間的相互作用，系統性地分析齒距差異對榫齒載荷分配的影響規律。

1.分析模型

1.1 受力分析

在發動機真實工作環境中，榫接的受力包括離心力、氣動力、振動力以及自身的熱應力。這些載荷當中，離心力居于主導地位。對葉片榫頭而言，伸根及其以上結構產生的離心力是外拉伸載荷（簡稱外離心力），疊加自身的離心力之后（合稱葉片離心力）以榫齒接觸力的形式傳遞給輪盤榫頭。輪盤榫頭承受葉片離心力，疊加自身的離心力之后（合稱總離心力）傳遞給輪盤。若以葉片榫頭和輪盤榫頭作為控制體，按照力的疊加原理，將榫齒之間的接觸力與榫頭自身的離心力相分離，其結果如圖1所示。可以看出，榫齒之間的接觸力對葉片榫頭和輪盤榫頭的作用效果相同，其合力均等于葉片離心力；而榫頭自身離心力的作用效果有所區別，葉片榫頭的離心力使葉片榫頭產生壓應力，輪盤榫頭的離心力使輪盤榫頭產生拉應力。

圖1 受力分析

1.2 等效剛度模型

通過受力分析，榫頭上的作用力可以分為兩大類：一類為拉伸力和接觸力這樣的面載荷，在構建力學分析模型時可以按集中力對待（如圖2所示，f為葉片離心力，f1和f2分別為第一對榫齒和第二對榫齒接觸力的合力，且滿足關系式f=f1+f2）；另一類為榫頭自身離心力fb這樣的體載荷。無論是哪一類載荷，都與轉速的平方成正比。當轉速為ω時，f產生的齒距變形量為Δt1=aω2；fb產生的齒距變形量為Δt2=bω2。如果將Δt視作均由f產生，對葉片榫頭而言等效剛度為k1=f/Δt=m/(a+b)；對輪盤榫頭而言等效剛度k2=f/Δt=m/(a-b)，k1、k2均為常數。考慮到榫頭離心力相對葉片離心力而言是小量，這種近似不會對力學特征帶來本質性影響。根據該力學模型，有f1=k2Δt，f2=k1Δt，即

圖2 等效剛度模型

該公式清楚地表明，各榫齒之間的載荷分配本質上是由葉片榫頭與輪盤榫頭的剛度匹配關系決定的。也就是說，只要剛度匹配合理，榫頭/榫槽完全可以采用等齒距設計。

2.齒距差異影響分析

2.1 兩齒榫頭

若榫頭/榫槽為等齒距設計，即k1=k2時，第一對榫齒的接觸力f1與第二對榫齒的接觸力f2時刻保持相等，可實現發動機全轉速范圍內的榫齒均載。當k1≠k2，例如k1f2，如圖3所示。此時，第一對榫齒的載荷較大。為了把載荷向第二對榫齒轉移，通常采用縮短葉片榫頭齒距的辦法，使第二對榫齒先行接觸。從圖4可以看出，在初始階段，所有的載荷均作用在第二對榫齒上。待第一對榫齒發生接觸之后，f1和f2再繼續保持與圖3中各自直線相同的斜率增加。只要齒距調整合適，就有可能在100%轉速時，實現f1=f2=f/2（如圖4中C點）。

圖3 等齒距榫齒載荷分配

圖4 不等齒距榫齒載荷分配

通過上述示例不難發現，用調整齒距的方法只能實現在某一個轉速條件下的榫齒均載。一旦偏離該轉速，榫齒的載荷分配就不再均勻，其不均勻程度與k1和k2的差異相關，剛度差異越大，載荷分配越不均勻。

2.2 三齒榫頭

借鑒兩齒榫頭的等效剛度建模思路，可以得出三齒榫頭的力學分析模型，如圖5所示。由于結構的對稱性，下面只討論葉片榫頭齒距小于等于輪盤榫頭的情形。公式（2）、（3）、（4）中的符號Δ表示力的增量。

圖5 三齒榫接等效剛度模型

（1）當三對榫齒均接觸時，有

（2）當第一對榫齒脫開，第二、第三對榫齒接觸時，有

（3）當第二對榫齒脫開，第一、第三對榫齒接觸時，有

下面，我們通過一個示例來說明如何運用作圖法求解榫頭/榫槽齒距的調整量。假設有一個等齒距設計但載荷分配不均的榫接，f1、f2、f3分別如圖6中線條0G、0D、0E所示。為了不使線條過多導致圖形凌亂，假設在D點有f1=f2=f3=f/3。由公式（2）可知，當三齒均接觸時，載荷分配滿足恒定的比例關系。因此，過D點做兩條直線CD和AD分別平行于0G和0E。CD線與橫坐標軸交于點C，即表明當轉速從C點繼續降低時，第一對榫齒脫開。觀察公式（2）和公式（3）可知，第一對榫齒是否脫開不會影響f3的斜率，因此AD是一條直線。過A點做垂線與橫坐標軸交于點B。在轉速BC段，由f2+f3=f，做線條BH表示f2。當轉速低于B點，第二對榫齒脫開，所有的載荷均由第三對榫齒獨自承擔。因此，齒距調整之后，f1、f2、f3隨轉速變化的路徑分別為0→C→D、0→B→H→D、0→A→D。

圖6 三齒榫頭載荷分配

榫頭第二、第三榫齒間承受拉力fB發生的齒距變形量就是二、三榫齒間齒距的調整量δt2；同理，榫頭第一、第二榫齒間承受拉力fC產生的齒距變形量就是一、二榫齒間齒距的調整量δt1。通過簡單的計算，有

從上式可以看出，三齒榫接的剛度匹配若滿足關系式k1=2k3，k4=2k2，則δt1=δt2=0，此時榫頭/榫槽為等齒距設計，可以實現全轉速范圍內的榫齒均載。

3.結論

本文通過對榫接的受力進行分解，將分布力按集中力等效處理，建立了榫接的等效剛度力學分析模型，研究了齒距差異對榫齒載荷分配的影響，得出如下結論：

（1）齒距差異會改變各對榫齒之間的配合間隙，從而改變各對榫齒發生接觸的先后順序，進而調整載荷在榫齒之間的分配。

（2）齒距調整可以實現設計轉速條件下各對榫齒之間的均載，一旦轉速發生偏離，載荷分配就不再均勻，但可以保證0～100%轉速范圍內各對榫齒的載荷都不會超過設計轉速下的平均值。

（3）從榫接正向設計出發，實現榫齒均載設計的最佳方法是榫頭/榫槽的熱態模型為等齒距設計，且葉片榫頭與輪盤榫頭之間需滿足特定的剛度匹配關系。齒距調整，其實質是對榫接設計剛度不匹配的一種事后補償。