通過例題培育邏輯推理能力的四個視角
——基于數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)

文|姚建法

推理與概念、判斷都是思維的重要形式。邏輯推理主要包括演繹推理（從一般到特殊）、歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊或從一般到一般）。蘇教版教材例題承載著豐富的邏輯推理元素，通過例題培育邏輯推理能力需要多元而適合的學(xué)習(xí)方式得以護持，而數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)正是其中一種重要的學(xué)習(xí)方式與行為路徑。

數(shù)學(xué)多元表征是指同一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象（如教材例題）可以用本質(zhì)不同的多種表征形式進(jìn)行數(shù)學(xué)化呈現(xiàn)，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的替代。不同的例題背景、不同的年齡階段，有著不盡相同的多元表征教學(xué)的應(yīng)對，從而有助于小學(xué)生系統(tǒng)觀察、有向猜想、結(jié)構(gòu)論證、規(guī)范結(jié)論，進(jìn)而培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、基于多元表征學(xué)習(xí)的系統(tǒng)觀察，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的前提

自古以來，觀察是人類認(rèn)知自然、分析世界最直接、也是最為常用的方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何對觀察對象（即邏輯推理對象）進(jìn)行有理、有序、有向、有聯(lián)的系統(tǒng)化整體觀察？

【案例1】蘇教版二年級下冊《有余數(shù)的除法》。

圖1

學(xué)生通過動作表征操作小棒或借助圖像表征畫圖求解，完成了算式、填寫了表格。

師：觀察算式和表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有4個算式商是一樣的，中間3個算式有余數(shù)。

生：除數(shù)都是4，被除數(shù)每次加1，前4個算式商不變，最后一個商大了1。

生：余數(shù)都是相差1。

……

顯然，教師的一句寬泛的“你有什么發(fā)現(xiàn)”使得學(xué)生的觀察方向不聚焦，觀察結(jié)果形成偏差，無意中增加了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，未能達(dá)成認(rèn)知目標(biāo)。事實上，這是由于許多教師誤認(rèn)為青菜大卡通的問題“比較除法算式中的余數(shù)和除數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)”過于聚焦不“開放”，限制了學(xué)生的思維。孰不知，此問緊扣余數(shù)和除法的大小關(guān)系，圖表表征的因果邏輯清晰，十分有利于清晰地有向觀察，展開邏輯推理：除數(shù)都是4，余數(shù)都比4小，降低了認(rèn)知負(fù)荷。這樣的定向系統(tǒng)觀察，既節(jié)省了觀察時間，減少了無意消耗，又提升了觀察效能，為邏輯推理的有序進(jìn)行與能力培育提供了前提可能。

二、基于多元表征學(xué)習(xí)的有向猜想，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的關(guān)鍵

猜想，是人類發(fā)現(xiàn)并形成特定結(jié)論的常見起源。根據(jù)一組存在某種邏輯規(guī)律的事實，提出某種數(shù)學(xué)化的猜想，從而展開邏輯推理，獲得新的命題，是培育數(shù)學(xué)邏輯推理能力的有效歷程。而形成數(shù)學(xué)化的、有方向的猜想，才有助于進(jìn)一步展開有效的驗證，提高效能。所以，有向猜想是通過例題培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的關(guān)鍵所在，是指向推理結(jié)論的“前奏”，其結(jié)論可能被證實、亦可能被證偽。

【案例2】蘇教版五年級上冊《釘子板上的多邊形》。

圖2

師：你們覺得它的面積可能和什么有關(guān)？

生：可能會和釘子的個數(shù)有關(guān)。

師：和哪里的釘子個數(shù)有關(guān)呢？先獨自想一想，再和同桌輕聲地說一說。

生：圖形邊上的釘子數(shù)和圖形里面的釘子數(shù)。

師：釘子板上多邊形的面積與它邊上釘子數(shù)和里面釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？你們打算怎么來研究？

……

題組式平面圖形面積的圖像表征，學(xué)生隱約地直觀感受到“數(shù)方格”“算面積”之外的“另一種方法可能”。此時“你們覺得它的面積可能和什么有關(guān)”的猜想，暗示了推理的方向。“和哪里的釘子個數(shù)有關(guān)呢”的追問則引領(lǐng)學(xué)生形成“有向”猜想：與多邊形邊上釘子數(shù)和里面釘子數(shù)有關(guān)。“又有怎樣的關(guān)系呢？你們打算怎么來研究”更是敲打在數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心本質(zhì)上，讓學(xué)生的思維從“看得見的釘子”過渡到“尋找看不見的關(guān)系”以及“打算怎么來研究”的知識結(jié)構(gòu)與方法結(jié)構(gòu)上來，讓邏輯猜想帶有很強的數(shù)學(xué)方向與行動路徑。于是，“透過數(shù)學(xué)本身的知識結(jié)構(gòu)和教與學(xué)的結(jié)構(gòu)化，數(shù)學(xué)的理性精神會根植于學(xué)生的頭腦和血脈中。它雖然無形，卻具有強大的力量，推動著學(xué)生以科學(xué)的方法不斷探究新的世界、尋求新的發(fā)現(xiàn)、進(jìn)行新的創(chuàng)造。”

三、基于多元表征學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)論證，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的核心

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題中，系統(tǒng)觀察有一定規(guī)律的數(shù)學(xué)現(xiàn)象所提出的有向猜想，還需開展進(jìn)一步的驗證活動，而通過多元表征的證明或歸納的路徑具有豐富性、邏輯性和多元性，存在形式化、格式化和結(jié)構(gòu)化。學(xué)會結(jié)構(gòu)論證，正是數(shù)學(xué)邏輯推理能力培育的核心所在。論證的路徑豐富多元，如不完全歸納法的驗證方式一般為舉例驗證，涉及特例與反例，具備論證的結(jié)構(gòu)化模式；有一些猜想可以通過演繹證明、數(shù)形結(jié)合等方式展開，形成相互印證的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

【案例3】蘇教版四年級下冊《乘法分配律》。

圖3

路徑一：符號表征。用不完全歸納的形式驗證乘法分配律的猜想。“寫幾組這樣的算式，算一算，再和同桌說說有什么發(fā)現(xiàn)”，既關(guān)注了算式等號兩邊的結(jié)構(gòu)特征，更要真算、真比，判斷是否真正兩邊相等，同時還需突出特例和嘗試尋找反例。

路徑二：情境表征。用數(shù)量關(guān)系論證乘法分配律的合理性（青椒與蘑菇小卡通的話語），引導(dǎo)學(xué)生講好相似的“數(shù)學(xué)故事”。

路徑三：言語表征。用乘法的意義論證乘法分配律的正確性，6個24加4個24，等于（6+4）個24，獲得意義建構(gòu)。

路徑四：圖像表征。應(yīng)用兩個等寬長方形的面積組合圖直觀感知與體驗乘法分配律的必然性，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。

事實上，學(xué)生已積累了加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對于不完全歸納法的推理論證應(yīng)然熟悉：根據(jù)幾個有規(guī)律的數(shù)學(xué)算式，提出猜想，而后舉例驗證并嘗試尋找反例，最后得出結(jié)論并用字母符號表征運算律。而本課時，既關(guān)注了等號兩邊算式的結(jié)構(gòu)形式，并以此經(jīng)歷結(jié)構(gòu)化舉例驗證的不完全歸納推理過程，又開闊了學(xué)生的論證視角，拓展了教材的邏輯推理內(nèi)涵與外延，分別展開情境表征突出數(shù)量關(guān)系、借助乘法意義進(jìn)行言語表征、通過數(shù)形結(jié)合實施圖像表征與符號表征，豐富了學(xué)生對于猜想驗證的路徑設(shè)想。

四、基于多元表征學(xué)習(xí)的規(guī)范結(jié)論，是培育小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的保障

蘇教版數(shù)學(xué)教材的例題，許多都具備豐富的背景性知識和過程性結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出清晰而明確的邏輯推理樣態(tài)。推理結(jié)論的表征樣態(tài)可以是言語或文字的，也可以是圖像的或符號的。然而，基于學(xué)生認(rèn)知能力與年齡特點，通過邏輯推理形成的推理結(jié)論在數(shù)學(xué)表達(dá)上卻又常常不夠嚴(yán)謹(jǐn)與規(guī)范，導(dǎo)致一定程度上的思維脫節(jié)與思維弱化，需要教師適時引領(lǐng)，從而保證數(shù)學(xué)邏輯推理結(jié)論的有效確立。

【案例4】蘇教版五年級下冊《認(rèn)識扇形》。

師：同一個圓中，扇形的大小與什么有關(guān)？

生：半徑越大，扇形越大。

生：弧越大，扇形越大。

生：圓心角越大，扇形越大。

……

圖4

此案例中，教師“無意識”地“應(yīng)用”了教材中玉米大卡通的語言，對“同一個圓”這一大前提形成自我遮蔽，從而面對學(xué)生的回答中的思維漏洞視而不見。一定程度上，例題中三個同樣大的圓在學(xué)生腦海中形成圖像表征，導(dǎo)致學(xué)生潛意識里“默認(rèn)為”扇形所在的圓同樣大，從而這個“不變”的要素被忽視。由此，教師一方面需加強對學(xué)生邏輯推理思維過程嚴(yán)謹(jǐn)性的充分警覺，另一方面可以有意識地提供具備反例特性的圖像表征，呈現(xiàn)一個半徑特別大或特別小的扇形，組建圖像表征組，直觀對比中形成“反差萌”，明確同一個圓中影響扇形大小的要素有半徑、弧、圓心角，它們“同大同小”，從而嚴(yán)謹(jǐn)推理思維，并用言語表征“不變+自變量+因變量”的范式規(guī)范表達(dá)：在同一個圓（或同樣大的圓）中，弧（或圓心角）越大，扇形越大。

回歸課堂主陣地，優(yōu)化數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)方式，充分將動作表征、圖像表征、言語表征、符號表征等多元表征系統(tǒng)作用于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題教學(xué)，能夠較好地促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，護持?jǐn)?shù)學(xué)邏輯推理的理性認(rèn)知與思維水平，提升學(xué)科關(guān)鍵能力。