基于審辯思維的幾何概念教學
——以《認識長方形》一課教學為例

文|陳 銀 沈美蓮

在長方形再認識前，學生關于圖形的認識經驗是比較少的，僅僅停留在直觀的整體認知上。長方形再認識的教學價值在哪里？如何更好地認識一個幾何圖形？我們能否淡化幾何圖形的一般形式，通過審辯突出長方形的概念，從而使學生感悟到：研究長方形，需要從邊和角兩個維度去認識，初步感知邊、角對圖形性質的影響。對于一個平面圖形來說，邊和角決定了圖形的基本特征，如長短、大小、方向、位置等，學生在研究圖形時從圖形的基本元素進行觀察與分析，為今后圖形認識積累了研究經驗。

本節課試圖借助審辯式思維模式，通過審辯、分析、論證、評價等方式，引導學生不斷明晰長方形概念，讓學生的幾何概念從模糊走向清晰，從感性認識真正走向理性認識。

環節一：游戲引入，初步感知四邊形

1.猜圖形。

師：猜一猜，信封里藏著什么圖形？

師：這是一個什么角？這個有直角的圖形會是什么圖形呢？（出示兩個角）現在你覺得會是什么圖形呢？

依次出現：長方形、正方形、平行四邊形、梯形。

2.觀察比較。

師：我們猜的這些圖形有什么相同的地方？

生：都是四邊形。

總結：在數學上，像這樣有四條邊、四個角的圖形叫四邊形。（板書：四條邊 四個角 四邊形）

師：這些四邊形中，哪個圖形你最熟悉？

生：長方形。

揭題：看來你們對長方形都有所了解，長方形還會不會有我們不知道的小秘密呢？這節課我們繼續來研究長方形。

【說明：猜圖形引入的方式，讓學生重點觀察圖形的角和邊，在比較長方形、正方形、梯形、平行四邊形之間的相同點時，引出了屬概念：四邊形。將長方形概念建立在已有的四邊形認識上，為長方形定義做好鋪墊，學生會有各種各樣的表達方式說一說心目中的長方形，這些都是學生真實的學情基礎，發現學生對長方形的認識仍處于“前概念水平”，為后續審辯活動做好鋪墊。】

環節二：大問題探究，聚焦核心特點

1.提出研究問題。

師：如果我們想進一步認識長方形，你們覺得可以從哪些方面來研究？

生：從角的角度來研究。

生：從邊的角度來研究。

2.嘗試研究。

出示活動要求：

（1）選一選，可以選擇長方形紙或者磁力拼條。

（2）做一做，選擇合適的方法來研究，如果有困難可以打開智慧錦囊。

（3）寫一寫，把你的發現寫在《活動單》上。

（4）說一說，同桌交流長方形有哪些特點？是怎么知道這些特點的？

3.展示分享。

（1）從長方形角的特點看，你有什么發現？

生：有直角。

生：有四個直角。

師：你們是怎么知道這個角是直角的？

生：用三角尺比。

師：用比一比的方法發現了長方形這個角是直角，有幾個直角呢？我們一起來找一找。

生：四個直角。

（2）從長方形邊的特點看，你有什么發現？

方法一：量一量。

生：我們小組選擇了長方形的紙片，通過量一量，發現長邊相等，短邊相等。

師：我們一起用手勢來比劃比劃，像這樣相對的兩條邊我們可以稱為對邊，在數學上我們把它稱為“對邊相等”。

方法二：折一折。

生：我們小組也是選擇了長方形的紙，折一折也可以發現這個特點，可以橫著折，這兩條邊一樣長；也可以豎著折，這兩條邊一樣長。

師：長方形相鄰的兩條邊一條邊叫做長，另外一條邊叫做寬。

方法三：拼一拼。

生：我們小組選擇了磁力拼條。

師：你們在拼的時候是怎么選材料的？為什么這么選？

生：選擇兩條長度一樣的拼條，再拼成直角，就可以拼成一個長方形。

師：還有哪些同學也拼成了長方形？請你貼在黑板上。

【說明：大問題的設置，具有一定的開放性或自由度，給學生留下足夠的獨立思考與主動探究的空間，在比一比、量一量、折一折、拼一拼的活動中，引領學生觀察、思考、想象、推理與表達，在具體操作中學生能主動探究圖形的性質，積累數學活動經驗，獲得學習幾何的策略性知識與經驗，發展空間觀念。在活動中不斷明晰概念，真正把自主探究、合作交流落到實處，在交流中獲得幾何概念的學習策略與經驗。】

環節三：三次審辯，概括長方形概念

1.第一次審辯：這些圖形都是長方形嗎？

生：①號不是，因為這個圖形四個角不是直角。

生：②號也不是，對邊不相等。

生：③、④、⑤、⑥、⑦都是長方形，因為四個角都是直角，對邊也相等。

總結：我們在判斷一個四邊形是不是長方形時，只要看是不是四個直角、是不是對邊相等就可以了。

【說明：通過對各種變式進行分析，明確幾何概念的本質特征和非本質特征，在不斷討論中引發學生之間的相互質疑和思考，在辯論中對圖形方向、傾斜程度、角度等非本質屬性有了更加清晰的認識，對“四個角都是直角、對邊相等”這一本質屬性更加穩定化、清晰化。】

2.第二次審辯：正方形是長方形嗎？

師：正方形也是長方形嗎？覺得是的請舉手。大家都有自己的想法。接下來我們進行一個辯論賽，有請正方、反方代表。

生：（正方）我們認為正方形具有長方形的特點，所以它是長方形。

生：（反方）正方形四條邊都一樣長。

生：（正方）請問，它有沒有四個直角？有沒有對邊相等？

生：（反方）可是正方形很特殊，四條邊相等。

生：（正方）剛才我們在判斷是不是長方形時，發現了只要一個圖形符合兩個條件：對邊相等、四個角都是直角，這樣的四邊形就是長方形，正方形都符合，所以是長方形。

生：（反方）四個角都是直角沒有問題，但是四條邊相等是對邊相等嗎？

生：（正方）四條邊相等肯定符合對邊相等，我們可以用折一折的方法。

師：這里就有一張紙，誰來試一試？

（學生動手折一折，發現對邊相等）

生：（反方）明白了，只要符合對邊相等、四個直角的四邊形就是長方形。

師：正方形符合對邊相等且有四個直角，所以是長方形，但是四邊相等又很特殊，因此正方形是特殊的長方形。

【說明：正方形是不是長方形？第一次認為正方形是長方形的人數占到總人數的10%，學生需要從“并列關系”轉變成“包含關系”，這是認識長方形概念的進一步發展。辯論前學生的關注點都在正方形的特殊性上：四邊相等，而忽略了要根據特點去判斷圖形，通過生生之間不斷的辯論，正方形是不是四邊形？正方形是不是有四個直角？正方形是不是對邊相等？最后發現正方形具有長方形所有的特征，因此它是長方形，再次判斷認為正方形是長方形的人數占到總人數的100%，突破了思維定勢，明晰了幾何概念本質。】

3.第三次審辯：怎樣的圖形是長方形？

生：對邊相等的四邊形不一定是長方形，比如平行四邊形和菱形。

師：通過反例發現對邊相等的四邊形不一定都是長方形，選擇②還是③呢？

生：選擇③，這句話中長方形的兩個特征都有。

師：我們一起來看看教材選擇的會是哪句呢？

呈現教材的定義：四個角都是直角的四邊形叫長方形。

師：四個角都是直角的四邊形都是長方形嗎？四個角都是直角的四邊形到底會是什么圖形呢？請你嘗試著畫一畫。

總結：四個角都是直角的四邊形確實都是長方形，我們可以更加簡潔地進行表述。

【說明：由原來感性描述“像這樣的圖形是長方形”到理性表達“四個角都是直角的四邊形是長方形”，大膽設計了下定義的活動，鼓勵學生從邊和角的特點進行觀察，了解了學生的基礎與語言表達水平。通過不完全歸納法發現都是長方形，也就是沒有反例，才真正認可長方形的概念，幾何概念也要追求簡潔地進行表述。】

環節四：想象應用，拓展幾何應用

師：學校組織了“我的菜園我做主”勞動比賽，每個班都有一塊長方形的菜園，想一想怎么確定菜園的形狀呢？

生：要知道這個長方形菜地所有的長和寬。

生：只需要知道菜地的一條長和一條寬。

師：如果把拼條看成菜地的長和寬，這個就是菜地的形狀，拿走一根還能知道長方形形狀嗎？拿走哪一根呢？

生：任意拿走一根都可以，因為長方形對邊相等，所以拿走的那根長度也是確定的。

師：如果再拿走一根，還能確定長方形的形狀嗎？再拿走哪一根呢？

師：如果只剩下一組長或者一組寬，還能確定長方形的形狀嗎？形狀是唯一的嗎？

生：只知道兩條長，長方形的形狀可以有很多種。只知道寬也是。

師：也就是形狀不唯一。

師：只要知道長方形的一條長和一條寬，就能唯一確定一個長方形的形狀。

【說明：幾何概念的應用是認識數學、體驗數學、形成數學觀的重要過程。通過創設實際問題發現長方形長和寬都確定了，長方形的形狀也就確定了，讓學生進一步理解長、寬概念的重要性，長和寬并不只是一個名稱，要讓學生了解到長和寬是確定長方形的重要兩個要素，同時也是之后探究長方形大小、周長的重要基礎，學生的數學素養和審辯式思維得到進一步培養。】