美國加州版教材《乘法分配律》一課教學(xué)設(shè)計(jì)與意圖

文|白 靈

【教材內(nèi)容簡介】

California Mathematics（美國加州版）《乘法分配律》一課的內(nèi)容安排在五年級(jí)第一單元《數(shù)感、代數(shù)和函數(shù)》的第10課《代數(shù)：分配律》。教材包含三個(gè)部分：小型實(shí)驗(yàn)室、概念呈現(xiàn)以及定律應(yīng)用。第一部分：小型實(shí)驗(yàn)室，包括三個(gè)問題：1.動(dòng)手操作，求出兩種顏色的長方形面積之和，這兩個(gè)長方形的長分別為6和3，寬均為4；2.畫一個(gè)模型表示2×（4＋6）＝2×4＋2×6；3.寫一個(gè)與2×（5＋7）相等的式子，并說明理由。第二部分：概念呈現(xiàn)，出示乘法分配律的文字描述、數(shù)字和字母表示。第三部分：定律應(yīng)用，包括兩道例題：一道計(jì)算題——用分配律口算4×58；一道生活中的例子——30個(gè)學(xué)生去漁人碼頭參觀蠟像館，假設(shè)門票是每個(gè)學(xué)生5元，公共汽車票每個(gè)學(xué)生3元，這次活動(dòng)一共應(yīng)付多少元？

【全課設(shè)計(jì)說明】

通過教材分析，美國加州版《乘法分配律》一課有如下特點(diǎn)：1.以動(dòng)手操作引入，有利于學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)規(guī)律成立的條件；2.在新課引入及在規(guī)律探索時(shí)，均聚焦于直觀模型，這種一致的、反復(fù)的強(qiáng)化能幫助學(xué)生更好地理解規(guī)律的意義；3.除了直觀模型，應(yīng)用部分以生活實(shí)例的角度對(duì)規(guī)律解釋進(jìn)行補(bǔ)充，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的普適性及應(yīng)用價(jià)值。

基于以上思考，本課教學(xué)設(shè)計(jì)將關(guān)注以下幾個(gè)方面：1.以直觀模型為腳手架，貫穿全課始終，力求通過面積模型的聚焦突破規(guī)律意義理解的難點(diǎn)；2.通過理清算理和算法，溝通豎式計(jì)算與乘法分配律之間的關(guān)系，幫助學(xué)生串聯(lián)新舊知識(shí)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；3.將乘法對(duì)加法的分配律推廣到若干個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘的一般形式，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律本質(zhì)的理解。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷乘法分配律的探索過程，會(huì)用符號(hào)和文字表示乘法分配律，積累推理經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)推理能力。

2.通過擺、畫、寫、說等多種數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解乘法分配律的意義，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

3.通過動(dòng)手操作構(gòu)建乘法分配律的直觀模型，感受數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用價(jià)值。

【教學(xué)重點(diǎn)】

構(gòu)建乘法分配律的直觀模型并能靈活運(yùn)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解乘法分配律的意義，發(fā)展推理能力。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

課件、長方形學(xué)具（每人一份）。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)回顧，引入新知

1.課始，教師請(qǐng)學(xué)生回憶學(xué)過了哪些運(yùn)算定律。

預(yù)設(shè)1：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律。

預(yù)設(shè)2：學(xué)生說出每一種運(yùn)算律的內(nèi)容。

2.教師進(jìn)一步引導(dǎo)：這四個(gè)運(yùn)算定律，它們都只涉及一種運(yùn)算，加法交換律和加法結(jié)合律只涉及加法，乘法交換律和乘法結(jié)合律只涉及乘法，那么加法和乘法之間會(huì)有運(yùn)算的規(guī)律嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：相較于乘法分配律，由于前四個(gè)運(yùn)算律只涉及一種運(yùn)算，相對(duì)較好理解，通過對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的幾個(gè)運(yùn)算律所涉及運(yùn)算的比較，有利于學(xué)生感悟幾個(gè)運(yùn)算律之間的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)四則運(yùn)算中的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)有一個(gè)比較完整的認(rèn)識(shí)，并將焦點(diǎn)自然過渡到新知上。回顧舊知時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言清楚地說出它們的意思，不僅為本節(jié)課語言描述乘法分配律做好鋪墊，也便于學(xué)生對(duì)自己所理解的運(yùn)算律本質(zhì)進(jìn)行梳理與檢查。】

二、動(dòng)手操作，探索規(guī)律

1.鏈接舊知，直觀操作。（教材譯文片斷如下）

（1）動(dòng)手操作，拿出藍(lán)色和黃色長方形紙片，怎么求兩個(gè)長方形面積之和？你能想到幾種方法解決這個(gè)問題？動(dòng)手?jǐn)[一擺。

預(yù)設(shè)1：“分開求”，先分別求出藍(lán)色和黃色的長方形面積，再相加。

預(yù)設(shè)2：“合并求”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)長方形的寬都是4，可以合并成一個(gè)大長方形，直接求大長方形的面積。

（2）進(jìn)一步聚焦“合并求”這種解法，引導(dǎo)學(xué)生思考：只能將寬合并嗎？

預(yù)設(shè)：一定要將寬合并，只有將相同的邊合并，才能得到一個(gè)規(guī)則的圖形，以便求面積。

（3）比較“分開求”和“合并求”兩種解法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)1：學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式“形”上的相同之處，如這兩種解法得到的結(jié)果形同；都有相同的乘數(shù)4；都涉及乘和加兩種運(yùn)算等。

預(yù)設(shè)2：學(xué)生說明這是同一個(gè)問題的兩種解法，算式意義不同但結(jié)果相等。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在動(dòng)手操作中積累乘法分配律的直觀模型經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生理解乘法分配律的意義提供支持，在探索中發(fā)現(xiàn)只有相同的邊相拼才可以“合并求”面積之和，并通過比較“分開求”和“合并求”兩種數(shù)值計(jì)算的實(shí)例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，引出乘法分配律的等式，初步感受乘法分配律成立的條件。】

2.運(yùn)用直觀，初探規(guī)律。

（1）借鑒動(dòng)手操作的活動(dòng)，用畫一畫的方法說明等式2×（4＋6）＝2×4＋2×6。

預(yù)設(shè)1：學(xué)生將兩個(gè)小長方形（長分別為4、6，寬均為2）拼成一個(gè)大長方形（長為10，寬為2），將求兩個(gè)小長方形的面積之和轉(zhuǎn)化為求大長方形的面積。

預(yù)設(shè)2：學(xué)生將一個(gè)大長方形（長為10，寬為2）分成兩個(gè)小長方形（長分別為4、6，寬均為2），將求大長方形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)小長方形的面積之和。

（2）基于以上活動(dòng)，再寫一個(gè)等式，并說明理由。

【設(shè)計(jì)意圖：從擺長方形實(shí)物抽象到畫直觀模型，學(xué)生在模仿畫、創(chuàng)造畫層層遞進(jìn)的過程中進(jìn)一步感受乘法分配律成立的條件，理解定律的內(nèi)涵。“再舉一個(gè)等式，并用畫一畫的方法說明理由”由教材“寫出一個(gè)與2×（5＋7）相等的式子并說明理由”修改而來，問題由封閉改為開放，給學(xué)生思維更大的空間，積累更多實(shí)例，以便學(xué)生通過不完全歸納更好地發(fā)現(xiàn)規(guī)律。】

3.歸納推理，表示規(guī)律。（教材譯文片斷如下）

（1）引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上的等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)1：學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩組算式“形”上的相同之處，如這兩種解法得到的結(jié)果形同；等式一邊有括號(hào)，一邊沒有；都有相同的乘數(shù)；都涉及乘和加兩種運(yùn)算等。

預(yù)設(shè)2：學(xué)生用自己的語言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，如等式一邊都是一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)數(shù)的和，另一邊都是括號(hào)外的數(shù)分別和括號(hào)里的數(shù)相乘，最后相加。

（2）教師提問：像這樣的例子舉得完嗎？有什么辦法能簡潔地表示這個(gè)規(guī)律？

預(yù)設(shè)：用字母表示，如用a、b、c表示三個(gè)數(shù)，這個(gè)規(guī)律用字母表示為a×（b＋c）＝a×b＋a×c。

（3）教師小結(jié)：這個(gè)規(guī)律就是乘法對(duì)加法的分配律，也就是乘法分配律，用自己的話說一說它的意思。

預(yù)設(shè)：學(xué)生借助符號(hào)表達(dá)式描述規(guī)律，乘法分配律就是一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)數(shù)的和，就等于這個(gè)數(shù)分別和括號(hào)里的數(shù)相乘，再把積相加。

【設(shè)計(jì)意圖：在歸納推理的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生猜想，獲得乘法分配律的雛形，有前四個(gè)運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生較易從具體實(shí)例過渡到抽象的符號(hào)表示，并能借助符號(hào)表達(dá)式用自己的話描述規(guī)律，在這個(gè)過程中感受數(shù)學(xué)語言的簡潔精煉，滲透優(yōu)化思想，為規(guī)律理解的內(nèi)化奠定基礎(chǔ)。】

腔內(nèi)電生理研究表明，左前分支室速的電生理基質(zhì)是室間隔局部存在緩慢傳導(dǎo)區(qū)及左前分支參與構(gòu)成折返環(huán)[5-6]，室速可通過心房或心室起搏誘發(fā)。本例患者通過心房早搏刺激成功誘發(fā)心動(dòng)過速。如圖5所示，當(dāng)S2刺激明顯提前，激動(dòng)心房后下傳至左前分支時(shí)，左前分支處于不應(yīng)期，激動(dòng)沿緩慢傳導(dǎo)區(qū)下傳，成功奪獲心室形成一次QRS波，QRS波形態(tài)不同于竇律QRS波，呈不完全性右束支阻滯圖形，S2-V間期稍長于S1-V間期，當(dāng)激動(dòng)下傳至緩慢傳導(dǎo)區(qū)與左前分支交匯處時(shí)，左前分支經(jīng)歷不應(yīng)期后恢復(fù)傳導(dǎo)性，激動(dòng)便可沿左前分支逆向傳導(dǎo)，并再次激動(dòng)緩慢傳導(dǎo)區(qū)，構(gòu)成折返環(huán)，如此反復(fù)引發(fā)心動(dòng)過速。

三、理解意義、應(yīng)用規(guī)律

1.例1：口算4×58。（教材譯文片斷如下）

（1）獨(dú)立口算，把口算的過程用橫式記錄下來。

預(yù)設(shè)1：從高位算起，先算4×50＝200，再算4×8＝32，最后算200+32＝232。

預(yù)設(shè)2：結(jié)合豎式過程，從低位算起，先算4×8＝32，個(gè)位是2，往十位進(jìn)3，再算4×5＝20，20+3＝23，分別寫在百位和十位上，答案是232。

（2）將橫式寫成綜合算式，你能用今天所學(xué)的知識(shí)解釋這些橫式嗎？

預(yù)設(shè)1：畫面積模型解釋，4×58表示長為58，寬為4的一個(gè)大長方形，它可以分成長分別為50和8、寬都為4的兩個(gè)小長方形，將求大長方形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)小長方形的面積之和。

預(yù)設(shè)2：將58寫成50+8，4×58＝4×（50+8）＝4×50+4×8，滿足乘法分配律。

預(yù)設(shè)1：發(fā)現(xiàn)乘法分配律與計(jì)算簡便之間的關(guān)系，如乘法分配律可以使計(jì)算簡便。

預(yù)設(shè)2：發(fā)現(xiàn)乘法分配律與豎式計(jì)算之間的關(guān)系，如豎式計(jì)算的過程就運(yùn)用了乘法分配律。

2.例2：30個(gè)學(xué)生去漁人碼頭參觀蠟像館，假設(shè)門票是每個(gè)學(xué)生5元，公共汽車票每個(gè)學(xué)生3元，這次活動(dòng)一共應(yīng)付多少元？

（1）教師提問：你能用幾種方法解決這個(gè)生活中的問題？獨(dú)立試一試。

預(yù)設(shè)1：“分開求”：分別計(jì)算門票總價(jià)錢和車票總價(jià)錢，再把它們相加。

預(yù)設(shè)2：“合并求”：每個(gè)學(xué)生都要付門票和車票，先求每個(gè)學(xué)生需要付的總費(fèi)用，再乘人數(shù)。

（2）進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，通過解決問題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)1：發(fā)現(xiàn)這兩種解法滿足乘法分配律，是同一個(gè)問題的不同解法，它們的解題思路不同，算式的意義也不同，但結(jié)果是相等的。

預(yù)設(shè)2：發(fā)現(xiàn)乘法分配律除了能用來簡算，生活中解決問題時(shí)也能用到。

預(yù)設(shè)3：發(fā)現(xiàn)乘法分配律除了用面積模型解釋，還可以用生活中的例子來解釋。

【設(shè)計(jì)意圖：兩道例題著力引導(dǎo)學(xué)生將乘法分配律的學(xué)習(xí)與簡便計(jì)算應(yīng)用及解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題結(jié)合起來，注意解決問題策略的多樣化，從而發(fā)展學(xué)生思維的靈活性與連貫性，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。例1將原題略作修改補(bǔ)充，因?yàn)樗哪昙?jí)的學(xué)生早已能快速口算一位數(shù)乘兩位數(shù)，只是他們并不知道用到的知識(shí)是“乘法分配律”，通過寫橫式、畫模型串聯(lián)新舊知識(shí)，幫助學(xué)生理清算理與算法的關(guān)系，將零散的知識(shí)聚點(diǎn)成網(wǎng)。例2將乘法分配律的學(xué)習(xí)與運(yùn)用乘法分配率解決實(shí)際問題結(jié)合起來，突出乘法分配律學(xué)習(xí)的價(jià)值，既補(bǔ)充了從生活實(shí)例的角度解釋乘法分配律，也讓學(xué)生感受到乘法分配律存在的合理性與普適性。】

四、拓展提升、鞏固規(guī)律

1.獨(dú)立解決：計(jì)算8×625，能用乘法分配律解答嗎？

預(yù)設(shè)1：結(jié)合豎式過程，8分別和各數(shù)位上的數(shù)字相乘，再相加，得到8×625＝8×（600+20+5）＝8×600+8×20+8×5＝4800+160+40＝5000。

預(yù)設(shè)2：結(jié)合面積模型，（如下圖）得到8×625＝8×（600+20+5）＝8×600+8×20+8×5＝4800+160+40＝5000。

2.教師進(jìn)一步引導(dǎo)，乘法對(duì)加法的分配律可以由一個(gè)數(shù)乘兩個(gè)數(shù)的和，推廣到一個(gè)數(shù)乘三個(gè)數(shù)的和，那么，四個(gè)數(shù)、十個(gè)數(shù)的和呢？乘法分配律還成立嗎？

預(yù)設(shè)1：成立，結(jié)合豎式計(jì)算的過程說明理由。

預(yù)設(shè)2：成立，結(jié)合面積模型說明。

3.教師小結(jié)：乘法對(duì)加法的分配律可以推廣到若干個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘。

【設(shè)計(jì)意圖：這道練習(xí)是一道補(bǔ)充習(xí)題，意在將乘法分配律推廣到更一般的形式，通過結(jié)合豎式計(jì)算的過程，借助直觀模型，有效發(fā)散學(xué)生思維，幫助學(xué)生感受知識(shí)的連貫性，加深對(duì)乘法分配律意義的理解。】

五、總結(jié)收獲、回顧規(guī)律

教師提問：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？你還有什么問題？

六、課后思考、遷移規(guī)律

課后討論：乘法對(duì)減法有分配律嗎？如果有，是怎樣的？你能說明它成立嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：通過課后討論，幫助學(xué)生將乘法對(duì)加法的分配律遷移到乘法對(duì)減法的分配律，補(bǔ)充這一知識(shí)點(diǎn)，有利于學(xué)生形成知識(shí)閉環(huán)，幫助學(xué)生感受規(guī)律應(yīng)用的靈活性，更深刻地理解乘法分配律的本質(zhì)。】