低模型依賴性電力系統步長自適應調整狀態估計

趙化時，李 勝，胡斯佳，顧 全，周華鋒，施雄華

（1.中國南方電網電力調度控制中心，廣州 510623；2.湖南大學電氣與信息工程學院，長沙 410082；3.南京南瑞繼保電氣有限公司，南京 211102）

電力系統狀態估計SE（state estimation）作為能量管理系統的重要組成部分，為其提供可靠、完整的系統運行狀態信息。SE利用量測系統的冗余信息，根據相應估計準則，自動剔除不良量測數據，消除或減少隨機干擾和裝置故障等引入的誤差信息，輸出現有條件下最接近量測真值的系統狀態，從而達到“提純”數據的目的。20世紀70年代，MIT的Schweppe[1]首次將采用加權最小二乘法WLS（weighted least square）的SE思想引入電力系統監控體系。之后，經科研人員進一步完善，基于WLSSE技術逐漸成為電力系統狀態估計中的經典算法而受到廣泛應用[2]。

提高迭代的收斂性和魯棒性一直是電力系統潮流計算的重要研究課題[3-4]。在基本牛頓法的基礎上，文獻[5]引入步長優化因子大幅改善了迭代的收斂性，能用于求解病態系統的潮流。在交直流系統的潮流計算中，文獻[6]在步長優化乘子中引入了混合乘子，獲得了更好的計算性能。文獻[7]提出了極坐標系下準最優乘子牛頓法，解決了傳統牛頓潮流算法對初值敏感的問題，計算精度和魯棒性均較為滿意。

步長優化技術雖在潮流計算中得到了較好應用，但在電力系統SE中少有與之相關的研究。在WLS-SE中，傳統方法是將狀態修正方程的步長因子固定為1，但在實際執行中，常因量測數據質量偏低、網絡條件復雜，傳統WLS-SE算法不能保證系統有效收斂。為改善SE的收斂性能，提高估計精度，文獻[8]提出了SE最優步長因子法，在出現不良數據時其收斂性優于傳統方法。文獻[9]將最優乘子引入到極坐標系，對SE進行快速解耦迭代，提高了收斂速度；文獻[10]進一步驗證了該方法對檢測、識別和消除壞數據的適應性。

上述方法雖各有特點，但其始終與電力系統的模型高度相關，每次迭代時必須求出使“與模型有關”的目標函數最小的最優步長因子，演算過程較為復雜，計算量偏大。若電力系統結構、參數的變化導致其數學模型發生變化，所得到的最優步長因子將出現偏差，從而降低運算性能。如果步長因子能降低其對電力系統模型的依賴性，而直接由“迭代效果”做出符合理想迭代要求的自適應調整，其運算質量和魯棒性將獲得進一步提高。同時，因步長調整策略和模型表現出“松耦合性”，SE算法整體也將更易于執行、理解和移植。另外，在電力系統病態和存在不良數據的條件下進行SE，因網絡天然存在“數值結構缺陷”且外界輸入真假難辨，其迭代過程可能會表現出收斂慢、振蕩、發散等異常情況。文獻[8-10]均未考慮網絡病態條件下的運算性能。

為改善SE在這些情況下的數值穩定性，減小穩態誤差，提升估計質量和程序的可移植性能，基于邏輯函數LF（logistic function）理論[11-13]，本文提出了一種能直接通過狀態修正量“自適應”調整步長因子的方法。因LF的變化趨勢與SE的收斂要求具有天然吻合性，本文所提算法對模型依賴性低，無需反復求解最優問題，易于理解，計算簡單。通過包含不良數據和病態條件的算例分析，驗證了本文方法的有效性。

1 電力系統狀態估計基本原理

在電力系統狀態估計中，量測方程可表示為

式中：z為量測向量，一般指節點電壓幅值Vi、節點注入功率Pi、Qi、支路電流幅值Iij、支路功率Pij、Qij等；h()為用狀態向量表示的量測函數；為殘差向量。

式中：W為權重，W=R-1，。當x的估計值=x*趨近真值xture時，J(x*)≈J(xture)=min。

由于h()是的非線性矢量函數，無法直接計算最佳狀態估計值x*，令，并在給定初值x0附近將式（2）按泰勒公式展開，保留線性項可得到基本WLS-SE的迭代公式[15]為

式中：k為迭代次數；H為的m×n階雅可比矩陣；為增益矩陣，其對角線元素隨量測數量的增多而增大，有效量測量越多意味著估計值越準確；(k)為量測殘差向量；Δ(k)為第k次迭代的狀態修正向量。

對初值x0按式（3）進行迭代修正，將逼近最小值J(x*)，可以用迭代精度ε構造收斂判據，即

本文采用直角坐標系對系統進行數學描述和求解，并選用J()檢測法和殘差搜索法檢測和辨識不良數據[2，16-17]。

2 模型“松耦合”步長調整算法

2.1 算法基本思想

在傳統最小二乘LS（least square）-SE或WLSSE中，修正方程的步長因子λ通常固定為1。而一個理想迭代一般需滿足[18]如下條件。

（1）在迭代初始階段，為加快收斂速度，一般希望步長偏大，但步長過大也易造成迭代振蕩甚至發散。

在提高迭代質量的前提下為降低運算復雜度，步長因子λ應滿足：①λ需在迭代過程中較好地滿足以上3個迭代條件；②λ最好“直接”由決定，即，降低其對電力系統數學模型的“依賴性”，從而無需在迭代過程中反復處理復雜的優化問題，也能在系統發生變化時提高算法的適應性。

通過研究發現，LF的形狀可以同時滿足上述兩條要求。LF定義[11-12]為

該函數關于點（0，0.5）奇對稱，在0～1之間取值，圖像類似英文字母S，在深度學習中具有重要的應用[19-20]。

SE本質上是一種利用冗余信息濾波提純數據的方法，為滿足濾波要求，常將式（6）中的基本LF左半部分向上翻折，并將其對稱中心移至原點可得

式中：參數α控制LF的形狀；參數β控制LF的取值范圍。

若將式（7）中等式左邊用λ代替，將x定義為能度量Δ(k)的某一實變量（數學上表現為某種范數），LF(x) 能基本滿足迭代條件（1）和（2）；然而，隨著算法逐漸收斂，函數圖像將以較大斜率趨于原點（類似于圖1中n=1的實線），表現為λ過大，這將對穩態誤差產生影響，并可能產生振蕩，不符合迭代條件（3），因此需進一步改進。

2.2 基于狀態修正量的自適應步長調整策略

為彌補式（7）的缺點，使LF更具可控性，進而能較好滿足前述3個迭代條件，引入n、a、b、α和β共5個控制參數，將基本LF進一步改造為式（9）（已將因變量用λ代替，自變量替換為Δx），這里稱其為“母函數”。

取n為自由變量，其他4個參數固定為1，式（9）的圖像如圖1所示。由圖1可知，當n＞1時，λ與Δx的關系與第2.1節所述3個迭代條件具有天然適配性。進一步觀察，n越大，算法在迭代尾聲將獲得更小的步長（λ較小），密集的迭代有利于提高狀態估計的收斂性，但也會增加計算耗時。因此，對于網絡較弱的系統（HTH條件數較大），可適當增大n；對于網絡較為健壯的系統（HTH條件數相對較小），可適當降低n，使其迭代尾聲的步長衰減放緩，迭代次數和運算耗時也會降低。對于本文研究的系統，通過離線仿真發現，取n=3可獲得較好的迭代性能，因此后文取n=3進行討論，當n取其他值時討論過程類似。

圖1 不同n條件下的改進母函數圖像Fig.1 Image of improved generating function under different values of n

在n=3的前提下，分別將a、β、b、α作為自由變量，并在上述4種情況中將余下的3個控制參數均固定為1，λ與Δx的關系如圖2所示。由圖2可以看出，在n=3的前提下，參數a和β主要控制λ的取值范圍（見圖2（a）和（b））。為方便設計，在式（9）中可將a固定為1，僅通過β來控制λ的取值范圍。此外，從圖2可以看出，參數b和α主要控制函數的形狀，考慮到α對曲線形狀的影響更大，可將式（9）中的b固定為1，僅通過α來調整函數形狀。

基于以上分析，式（9）可進一步簡化為

當第k步狀態修正量Δx(k)＞Δx(k-1)時，表明狀態修正量正在增大，此時第k步的步長因子λ(k)應該朝增大的方向變化，以加快迭代的收斂速度；當 Δx(k)＜ Δx(k-1)時，λ(k)應緩慢減小，進而實現算法的穩定收斂；當 Δx(k)=Δx(k-1)時，λ(k)=λ(k-1)應保持不變。從圖2（d）可以看出，當Δx固定時，參數α的變化與λ的變化正相關，因此第k步的α(k)也應該按上述規律變化，以進一步在迭代過程中優化λ的調整。

圖2 控制參數對母函數圖像的影響（n=3）Fig.2 Influences of control parameters on the image of generating function（n=3）

令

可使迭代過程中α滿足上述要求。

此外，狀態修正量的乘積 Δx(k)Δx(k-1)能有效去除噪聲對估計結果的影響[21]。可引入中間變量p(k)作為自相關 Δx(k)Δx(k-1)的估計，使λ的變化根據Δx(k)Δx(k-1)估計的平均值迭代變化。將式（10）中的Δx換成中間變量p(k)，可實現用 Δx(k)Δx(k-1)間接調整λ。中間變量p(k)可表示為

式中，γ為權系數，γ∈(0 ,1)，其取值一般接近1，用來控制收斂速度。

由式（10）～（12）經一定化簡可得本文所提步長自適應調整的迭代方程為

式中，β為步長控制系數，β∈(0,2]，可以保證迭代初始階段獲得較大的λ。

結合式（3）、式（5）和式（13），本文所提SE的迭代方程為

從式（14）可以看出，本文所提SE解算模型只與迭代過程中Δx有關，而與系統模型不產生直接聯系。算法流程見圖3。SE主體程序主要包括修正向量準備模塊（見式（3））、自變量選擇模塊（見式（8））、步長調整模塊（見式（13））和不良數據檢測和辨識模塊（詳見文獻[2，16-17]）。外層循環for1～for3只在程序調試階段離線運行，用于確定參數β、γ、p(0)（詳見第3.1節）。

圖3 狀態估計流程Fig.3 Flow chart of state estimation

3 算例分析

為驗證本文所提算法的有效性，在Matlab平臺中以IEEE30節點系統作為算例[22]，如圖4所示，編寫了LS-SE和WLS-SE的代碼，當λ(k)為固定數值和按式（14）自適應調整時，分析算法用于SE的收斂性能和估計質量。

圖4 IEEE30節點網絡量測配置Fig.4 Measurement configuration of IEEE 30-node network

圖4中量測主要包括節點注入功率量測、節點電壓幅值量測和支路功率量測，其中節點注入功率和電壓幅值量測占優。在數值結構上看，該系統線性無關量測方程的個數m=107，狀態變量的個數n=59，量測冗余度mn=1.81，符合輸電網量測配置的要求[2，23]。

3.1 算例1：量測出現不良數據

為讀取數據方便，本文將圖4中節點1和節點30互換，并將新的節點30作為平衡節點，其他節點和線路等參數保持不變。設定電壓量測的標準差σ=0.002 p.u.，支路功率量測σ=0.004 p.u.，節點注入功率量測σ=0.005 p.u.，零功率注入節點σ=0.000 5 p.u.，取ε=10-6。以潮流計算結果作為真值，正常量測值是真值一個標準差內的修改量。算例1所用不良量測數據的設置見圖4和表1。

表1 不良數據設置Tab.1 Setting of bad data

在具體執行式（14）時，控制參數β、γ及p(k)的初始值p(0)的選取會對迭代性能產生影響。為獲得參數的最佳值，本文在程序中設計了3個“for循環”對β、γ、p(0)進行離線滾動搜索（見圖3），程序每運行到一組β、γ、p(0)都自動記錄下算法的迭代次數和計算精度，對應迭代次數最小和計算精度最高者即為3個參數的最佳值。本文最終確定的最優值為p(0)=2，β=2，γ=0.96。β、γ、p(0)對迭代產生的影響如圖5所示。圖5中β、γ、p(0)中任何一個參數變化時，其他兩個參數均固定為最優值（采用的是自適應步長WLS算法）。

圖5 不同控制參數下算法的收斂過程Fig.5 Convergence process of algorithm under different control parameters

由圖5可知，適當增加β、γ、p(0)（除β=1.8外）均有利于提高收斂性能，然而與β和p(0)相比，γ對收斂速度的影響更大，需認真選取。

不同固定步長FSS（fixed step size）和自適應步長ASS（adaptive step size）方法下的收斂過程如圖6所示，其中，方法包括固定步長最小二乘法FSSLS（fixed step size least square）、自適應步長最小二乘法ASSLS（adaptive step size least square）、固定步長加權最小二乘法FSSWLS（fixed step size weighted least square）、自適應步長加權最小二乘法ASSWLS（adaptive step size weighted least square）。圖6中所有方法均設定Δx(k-1)的初始值取1。此外，在ASS方法中設定p(0)=2，β=2，γ=0.96。在計算過程中，為防止α變化太大致使LF圖像劇烈變化（見圖2（d）），本文設定α的限幅為當α(k)＜0.2時，設置α(k)=0.2；當α(k)＞10時，設置α(k)=10。FSSLS和FSSWLS的步長因子始終固定為1。

圖6 采用不同方法的收斂過程Fig.6 Convergence process when using different methods

由圖6可知，算例1中各種方法都達到了收斂條件，但收斂的速度各有差異。與FSSLS和FSSWLS相比，ASSLS和ASSWLS只需較少的迭代次數就達到了收斂條件，其中ASSWLS方法只需7次迭代就收斂，為所有方法中最快。與步長固定的迭代方法有所不同的是，本文所提方法在迭代初始階段狀態修正量較大，隨著迭代次數的增加，其以較為“緩和”的方式趨于收斂限值，這與第2.1節所提的理想迭代3個條件相吻合，有利于提高迭代質量。

圖7顯示了λ隨迭代次數的變化特性。從圖7可以看出，在迭代初始階段，λ明顯大于1，這有利于加快收斂速度；隨著迭代的進行，λ隨狀態修正量的減小自適應降低，當迭代進行到第4次時，ASSLS和ASSWLS的λ開始小于1；當迭代進入尾聲時，λ逐漸趨于平緩，與之對應，狀態修正量Δx也平緩變化（見圖6），這有利于提高SE的質量。需要注意的是，當λ＜1時，ASSLS的λ大于ASSWLS的λ，這與圖6中Δx的變化趨勢高度吻合，也是本文所提迭代模型（見式（14））的計算結果。

圖7 步長因子變化過程Fig.7 Variation process of step size factor

參照文獻[24]引入平均估計誤差S1和平均最大估計誤差S2，對所提算法的估計質量進行綜合評估。S1和S2的數值越小說明估計精度越高。S1和S2可分別表示為

式中：N為總估計次數（本文取N=20）；n為節點數；k為第k次估計的序號；i,k為在第k次狀態估計中第i維狀態的估計值；xi_true為第i維狀態變量的真值。

通過進行20次SE（對應20個輸入數據斷面），4種方法所對應的S1和S2如表2所示。

表2 估計質量（不良數據條件）Tab.2 Estimation quality（under bad data condition）

由表2可知，在20個數據斷面中，對于ASSLS和ASSWLS，無論是S1和S2，還是在平均迭代次數和平均迭代時間上都優于FSSLS和FSSWLS。值得一提的是，ASSWLS的S1和S2均低于其他3種方法，且平均迭代次數最少，這充分證明了本文所提自適應步長調整算法在估計質量上具有明顯優勢。

圖8為與某一典型輸入數據斷面對應的圖4中30個節點電壓幅值的估計值，總體來說，ASSWLS所對應的曲線更接近真值曲線，進一步驗證了上述結論。

圖8 某一典型數據斷面的節點電壓幅值估計結果Fig.8 Estimation result of nodal voltage magnitude in typic input data section

需要說明的是，在圖3中采用不良數據檢測、辨識程序來減小“不良數據”對SE結果的影響。因此，算例1也驗證了當量測“不良”時，本文所提算法在進行電力系統SE時的有效性，以及其與經典不良數據檢測、辨識技術的兼容性。

3.2 算例2：病態條件（R X較大）

表3 修改前后線路的參數配置Tab.3 Parameter configuration of lines before and after modification

圖9 準病態條件下的收斂過程Fig.9 Convergence process under quasi-ill condition

圖10顯示了步長因子λ與迭代次數的關系。從圖10可以看出，在迭代初始階段，ASSWLS對應的λ大于1，有利于加速收斂；隨著迭代的進行，λ隨Δx的減小自適應減小，當迭代進行到第4次時λ開始小于1；當迭代進入尾聲，隨著λ的逐漸減小，Δx緩慢減小，這有利于提高SE的質量。

圖10 準病態條件下步長因子變化過程Fig.10 Variation process of step size factor under quasiill condition

按表3變更網絡參數后，20個數據斷面下系統的估計質量如表4所示。對比表2和表4可知，在網絡數值結構進入“準病態”后，其所對應的S1、S2和平均迭代時間都比表2中有所升高，而且在采用FSSWLS時其平均迭代次數比表2增加了3.4次，但ASSWLS算法的平均迭代次數只增加了0.2次，平均迭代時間僅略有上升，同時其S1和S2仍然遠低于FSSWLS，迭代質量較為滿意。

表4 估計質量（準病態條件）Tab.4 Estimation quality（under quasi-ill condition）

為進一步展示本文所提算法在病態下的性能，在表3的基礎上進一步修改線路的電阻，具體配置見表5。將HTH的條件數進一步提高到1.000 3×108。在上述條件下，采用FSSWLS和ASSWLS算法的收斂過程如圖11所示。顯然，因系統進入病態，此時采用FSSWLS算法迭代已不再收斂，而采用ASSWLS算法，通過9次迭代系統進入了收斂。雖然ASSWLS增加了2次迭代才達到收斂條件，但從圖12可以看出，步長因子λ仍然表現出了符合理想迭代的變化趨勢。

表5 修改前后線路的參數配置Tab.5 Parameter configuration before and after modification

圖11 病態條件下的收斂過程Fig.11 Convergence process under ill condition

圖12 病態條件下步長因子變化過程Fig.12 Variation of step size factor under ill condition

通過算例2中兩種網絡條件下相關數據可以證明本文所提方法在網絡病態條件下的數值穩定性。因為本文所提步長調整算法對電力系統數學模型的依賴性很低，步長因子只取決于當前和歷史迭代效果。因此，算例2證明了新算法對網絡條件的變化表現出了較強的適應性。本文算法的“低模型依賴性”是常規解析調整策略所難以達到的。

4 結論

本文對傳統LF進行改造，構造了母函數，設計了步長因子可隨狀態修正量的變化自適應做出調整的“低模型依賴性”變步長狀態估計算法。基于IEEE30節點系統，分別分析了系統在不良數據和網絡病態情況下的SE結果。基于這些結果，得到如下結論。

（1）在迭代過程中，本文所提算法因步長會根據迭代效果自動調整至符合健壯數值計算的狀態，對模型依賴性較低，在收斂性、估計質量和運算效率上均較傳統方法有明顯優勢。

（2）本文所提算法因模型依賴性低，在維持優良迭代性能要求的前提下，迭代過程對電力系統數學模型的“趨壞”表現不敏感，數值穩定性較高、估計質量優良。

（3）本文所提算法的步長調整因子直接取決于迭代效果（狀態修正量），因此對使用最為廣泛的WLS算法改動很小，適應性較好、可移植性高。同時，對經典不良數據檢測、辨識技術具有較好兼容性，實用價值較高。

本文將狀態修正量Δx取為狀態修正向量Δx的無窮范數，在性能上比傳統方法獲得顯著提升，但并未考慮狀態修正向量Δx中每個元素的具體分布及其對狀態估計結果的影響程度；確定n=3是一種經驗方法，不一定對任何網絡都適用，需要尋找一種機制能根據迭代效果對n進行自動微調；β、γ、p(0)是通過計算機離線滾動搜索獲得的，其分布特點和對不同節點系統的適應性有待進一步研究。