用戶偏好的配電網多目標供電恢復

賈露露，江曉東

（1.天津大學電氣自動化與信息工程學院，天津 300072；2.美國康奈爾大學電氣與計算機工程學院，伊薩卡 14853）

配電網發生故障后，快速準確地恢復非故障停電區域內的負荷對于減少經濟損失、提高供電可靠性具有重要意義。對于這種多目標、帶有非線性約束（例如潮流方程和運行約束）的組合優化問題，國內外已有大量文獻對供電恢復進行了研究，主要有專家系統[1]、啟發式算法[2-3]、圖論方法[4]、元啟發式算法[5-6]，數學規劃方法[7-8]等研究方法。其中，專家系統法可以快速獲得可行的恢復方案，然而建立大型規則庫的難度較大、維護成本較高，也不能保證解的最優性。啟發式算法雖然可以快速得到可行解，然而算法需要啟發式規則來搜尋解決方案，同樣不能保證解的最優性。利用基于圖論的方法雖可以通過窮舉搜索得到最優解，但對于大規模系統，因計算成本較高而不再具有適用性。元啟發式算法不需要專家知識，但是當應用于大型系統時，計算效率較低[9]。

數學規劃方法往往采用線性化或凸松弛技術將原始復雜模型簡化，進而借助成熟優化求解器求解最優供電恢復策略。文獻[10]將供電恢復問題劃分為兩個階段：第1階段利用分段線性化技術將混合整數非線性規劃問題轉化為混合整數線性規劃問題，以便利用優化求解器求解二進制變量；第2階段求解已知拓撲結構下的非線性規劃問題的穩態運行點。類似地，文獻[11]提出混合整數線性規劃模型來求解供電恢復操作序列。此類方法相比隨機算法在求解速度方面有明顯提升，但近似過程導致求解結果存在一定的誤差而不能保證系統的絕對安全運行。文獻[12]在構建了完整的混合整數非線性規劃模型后，將其轉化為二階錐規劃模型，同時將多個目標函數整合為單目標后借助優化求解器進行求解，結果表明該方法具備良好的魯棒性、有效性及尋優性能，目前已被普遍應用[13]。然而，相關文獻尚未對不同場景下各個目標函數權重系數的合理設置展開深入研究，進而導致求解結果缺乏靈活性。

為此，本文對多目標供電恢復問題進一步探究，提出基于動態軌跡的方法進行求解，并在求解質量方面與文獻[12]進行比較，旨在高效、靈活求解高質量恢復策略。本文基于一種動力學系統提出了兩階段整合用戶偏好法求解多目標供電恢復問題，方法面向用戶，允許用戶直接對各個目標函數設置具體偏好范圍而不影響彼此之間的獨立性。為避免大量嘗試初始點，本文方法包含離散優化階段、松弛及修正階段以實現偏好可行解的快速求解。針對偏好可行解不存在的情況，提出了可行性恢復方法，指導用戶有針對性地調整用戶偏好或有效約束以求解高質量折中解。最后，通過標準測試系統驗證了所提方法的有效性及靈活性。

1 用戶偏好的多目標供電恢復

1.1 多目標供電恢復模型

1.1.1 目標函數

配電網供電恢復是在隔離故障后求解滿足系統潮流方程及工程約束的前提下，能夠最小化非故障停電區域失電負荷量的系統拓撲結構的混合整數非線性規劃問題。考慮到配電網運行經濟性，往往兼顧到開關動作次數最小化、系統有功網損最小化、節點電壓偏差最小化、變電站出力平衡最大化等多個目標函數。本文考慮失電量最小化和動作次數作最小化兩個目標函數，即

式中：f1、f2分別為失電量和動作次數；sij為線路ij開關狀態，sij=1表示開關為閉合狀態，sij=0表示開關為斷開狀態；yi、yj為節點i、j的負荷狀態（yi=1表示對應負荷為帶電狀態，否則為失電狀態）；PL,i和QL,i分別為節點i的有功和無功負荷；Ωb為節點集合；Ωcl和Ωop分別為初始拓撲對應的常閉和常開開關集合。sij和yi為決策變量。在式（2）所示目標函數中，開關動作分為閉合常開開關或打開常閉開關兩類，系數[1-(1-yi)(1-yj)]表示只計及與帶電節點相連接的開關動作并對其進行操作，不計失電孤島內的開關動作。

1.1.2 約束條件

（1）潮流方程為

式中：PG,i和QG,i分別為節點i發電機的有功和無功出力；Vi和Vj分別為節點i、j的電壓幅值；θij為節點i、j的電壓相角差；Gij和Bij分別為節點i到節點j的線路等效電導和等效電納。

（2）電源輸出功率約束為

（3）節點電壓約束為

（4）線路電流約束為

式中：Ωl為系統線路集合；Iij為支路ij的電流；為支路ij的電流上限。

（5）輻射狀拓撲約束為

式中：ns為變電站個數；|Ωb|表示集合的基數，即集合中元素的個數；ski為線路ki的開關狀態。

為顯式計算孤立網絡、節點個數，式（8）要求任何失電節點所連接線路必須斷開。而在實際工程中，無需斷開失電孤島內開關，所以在式（2）所示目標函數中利用系數[1-(1-yi)(1-yj)]區分有效動作，要求線路兩端節點至少一個為帶電節點，即僅當此系數為1時才將對應的開關動作計入目標函數中；否則，只是模型需要，而在實際工程中操作無需計入目標函數中。式（9）表示任何帶電節點所連接的線路必須至少有一條為閉合狀態。

配電網的輻射狀拓撲由式（3）、式（7）～式（9）實現，即要求閉合線路數目等于系統節點數減去獨立網絡、獨立節點個數，證明參見文獻[14]。

（6）離散約束為

（7）重要負荷約束為

式中，Ωpc為重要負荷集合。式（11）要求重要負荷必須被恢復。

1.2 整合用戶決策清單

允許用戶直接對式（1）和式（2）所示的目標函數設置偏好區間，以直接滿足決策人員對不同目標函數的偏好需求是一項具有現實意義的內容。引入用戶決策清單[15]來描述用戶對各個目標函數值的偏好范圍，即WL=[wl1,wl2]T，其中，wl1為系統失電量最小化目標函數的上限；wl2為動作次數最小化目標函數的上限。將用戶決策清單整合到初始的多目標供電恢復模型中，即

至此，決策者對應于各個目標函數值的理想范圍，將初始的多目標供電恢復模型轉化為一個帶有附加非線性約束的非線性優化問題，即

對于不等式約束，采用松弛變量法將其轉化為等式約束，因此用戶偏好供電恢復模型可表示為

因此，基于用戶偏好的多目標供電恢復問題可表示為

1.3 非線性動力學系統概述

為求解式（14）所示非線性優化問題，構造一類非線性動力學系統，即

式中，DH(x)為方程組H(x)在x處的雅可比矩陣。將式（17）所示系統QH(x)命名為商梯度系統，其穩定平衡狀態將以平衡流形的形式存在，而不是平衡點[16-17]。

定義1常規穩定平衡流形

對于式（17）所示商梯度系統的穩定平衡流形Σs，若H(Σs)=0 且 DH(Σs)TH(Σs)=0，則Σs被稱為常規穩定平衡流形RSEM（regular stable equilibrium manifold）；否則，若 |H(Σs)|＞0 且 DH(Σs)TH(Σs)=0，則Σs被稱為退化穩定平衡流形DSEM（degenerate stable equilibrium manifold）。

定理1偏好可行域與常規穩定平衡流形

式（14）所示非線性優化問題的偏好可行域FRwl與式（17）所示商梯度系統的RSEM一一對應，即

定理2全局穩定

商梯度系統的每條軌跡都收斂到平衡流形，即商梯度系統是全局穩定的。

從商梯度系統的任何一點出發，都將收斂到穩定平衡流形。若基于用戶偏好的多目標供電恢復問題可行域是存在的，則通過商梯度系統的RSEM就可以將其完整刻畫；反之，若該問題的偏好可行域不存在，所有點都會收斂到DSEM。簡而言之，通過商梯度系統RSEM的存在性就可以判定用戶偏好解的存在性。

2 整合用戶偏好法計算偏好可行解

2.1 兩階段整合用戶偏好法

基于第1節的理論研究，求解供電恢復偏好可行解的問題可以轉化為計算商梯度系統穩定平衡流形的問題。為此，本文提出了兩階段整合用戶偏好UPE（user preference enabling）法直接計算供電恢復偏好可行解。

兩階段方法的求解思路為交替求解混合整數非線性規劃MINLP（mixed-integer nonlinear programming）問題和非線性規劃NLP（nonlinear programming）問題。第1階段利用整合用戶偏好方法[15]求解式（16）所示的MINLP問題，若初始點收斂到位于DSEM上的點，即含約束越限的不可行點，則進入第2階段解除越限。在第2階段中，原MINLP問題的二進制變量被放松為連續變量以生成1個NLP問題，然后利用UPE方法以DSEM作初始點，對與NLP問題對應的商梯度系統進行積分，直到軌跡收斂到RSEM，即得到1個離散變量被放松后的解，在這里將其命名為松弛解RS（relaxation solution）。根據RS得到參考信息對位于DSEM上的點進行修正，避免其再次收斂到DSEM，然后將修正后的點作為初始點，返回第1階段。這個過程交替迭代進行，直到在第1階段求得可行解或者該問題被證明為不可行。在該問題被證明為不可行的情況中，根據得到的DSEM可以識別出有效的運行或偏好約束，由用戶選擇其中允許放松的約束進行調節，以便恢復可行性并得到1個折中解。

首先需要構建一個松弛模型HRE(x)對應的商梯度系統QHRE(x)，其將在第2階段被利用到。QHRE(x)可表示為

這里，松弛模型HRE(x)不同于式（17）中的H(x)，控制變量的二進制特性被放松。將位于QHRE(x)的RSEM上的點稱為RS，需滿足

確定完整的供電恢復問題模型及用戶對各目標函數的偏好范圍。根據原問題模型的等式約束集構造對應的式（17）所示商梯度系統，根據松弛模型構造對應的式（19）所示商梯度系統。計算1個RS并作為初始點。設置m=0，N=1，其中m、N分別為修正的次數及初始點的個數。

第1階段離散優化流程如下。

步驟1對式（17）所示商梯度系統進行積分，直到其收斂到1個位于穩定平衡流形上的點，記為x。

步驟2檢查是否滿足|H(x)|≤ε，其中ε是1個足夠小的數，若滿足，則得到偏好可行解，同時停止程序；否則，得到1個位于DSEM上的點，記為xD，轉到步驟3。

步驟3設置m=m+1。若m＜Mmax，則轉到第2階段；否則，轉到步驟4。

步驟4設置N=N+1。若N＜Nmax，則嘗試另一個RS作為初始點，并設置m=0，轉到步驟1；否則，偏好可行解不存在，用戶需要調整偏好范圍。

第2階段松弛及修正流程如下。

步驟1計算RS。以退化點xD作為初始點，對松弛模型對應的QHRE(x)進行積分，直到其收斂到位于穩定平衡流形上的點，記為x。判斷|HRE(x)|≤ε是否滿足，若滿足，則得到松弛解RSm，然后轉入步驟2；否則，得到1個新的退化點，轉到第1階段的步驟4。

步驟2識別有希望的二進制變量以解除退化點的越限量。篩選出1個開關變量子集sij_new={sij:sij=0 inxD,whilesij≠0 in RSm}。然后選擇其中最有效的開關變量并轉到步驟3。

步驟3修正最有效的二進制變量。修正開關變量為1。相應地，修正sik(k≠j)由1變為0，以維持輻射狀拓撲。然后將修正后的松弛解RSm作為初始點，轉到第1階段。

需要特別指出的是，若開關變量sij為1，則表示節點j是節點i的父節點。因為要滿足輻射狀約束的1個必要條件是每個節點（除根節點外）必須只有1個父節點。第2階段步驟3中，被修正為1，所以作為給同一個節點供電的線路開關sik必須修正為0，以滿足輻射狀約束。

第1階段離散優化流程的步驟2中，若軌跡收斂到RSEM，則作為罰函數的等式約束（式（10））也被滿足，即1個滿足離散特性的偏好可行解被得到。

第1階段離散優化旨在離散化初始點并保證“無越限”，第2階段松弛及修正表示從DSEM出發可以通過額外的開關調節以轉移負荷從而實現“無越限”。對于每個開關變量，通過比較其在退化點與RS的數值增幅，來評估其為解除退化點的越限所作出的貢獻。從DSEM出發收斂到“無越限”的RS，開關數值增長量越多，其越傾向于被閉合，表明其用于解除越限更有效。

2.2 偏好可行性恢復方法

在某種用戶偏好下，所有初始點基于商梯度系統的全局收斂特性（定理2）均收斂到DSEM，說明當前偏好下不存在可行解，此時需要用戶調整偏好以恢復可行性。為此，本節將提出基于UPE方法的完整交互程序，根據求得的偏好可行解，用戶可以沿著更理想的方向繼續調整偏好，直到得到用戶最為滿意的偏好可行解；當偏好可行解不存在時，根據DSEM對應的不匹配度幫助用戶調整偏好或約束，以恢復可行性。完整的求解過程如下。

步驟1對每個目標函數值設置具體的偏好范圍。

步驟2利用UPE方法求解等式約束集式（16）的偏好可行解。若偏好解存在，則轉到步驟7；否則，轉到步驟3以利用DSEM上的退化點xD求解用戶可接受的折中解。

步驟3篩選出退化點xD對應的存在越限的約束集VC={hi(x):hi(xD)≠0}，計算對應的越限量{hi(xD):hi(x)∈VC}。

步驟4根據各越限約束對應的越限量大小，由用戶在VC中選擇可接受的約束進行放松，構成子集RC?VC，并確定其各自對應的放松程度α(α∈ ?card(RC)×1,α＞ 0)。

步驟5放松等式約束集為

式中：hrc(x)為用戶允許放松的約束，hrc(x)∈RC；為其余約束，；lim為RC中各運行、工程約束對應的限值（或用戶決策清單）；?表示哈達瑪積。

步驟6以退化點xD作初始點，利用UPE方法求解等式約束集式（21）。若可行解存在，即得到折中解，則轉到步驟7；否則，重復步驟3～步驟6。

步驟7基于得到的可行解，用戶評定本次交互過程得到的解是否滿意。若滿意，則結束交互過程并輸出最終偏好解；否則，更新對每個目標函數值的偏好范圍以求解更理想的解，轉到步驟2。

需要說明的是，在步驟6中為了恢復偏好可行性，在求解經過放松后的約束集式（21）時，如果放松程度不夠，以DSEM上作為初始點的軌跡有可能會收斂到另一個DSEM上。此時，需要繼續執行步驟3～步驟6，即需要用戶繼續增大放松程度或者繼續選擇其他允許放松的偏好、約束，直到軌跡收斂到RSEM，即求解到1個用戶允許范圍內的折中解。

3 算例分析

3.1 交互求解過程

本節以53節點系統[12]為例求解多目標供電恢復問題用戶偏好解，來驗證兩階段UPE方法的有效性和靈活性。該測試系統含53個節點（50個負荷節點及3個變電站節點）和61條線路，基準負荷為45 668.7 kW+j22 118.24 kvar，電壓上限為1.00 p.u.，電壓下限為0.95 p.u.。系統結構及其他詳細數據參見文獻[12]。本仿真分析在CPU為Intel Core i7-10750H@2.6 GHz、內存為16.0 GB的計算機上進行。

假設節點11發生故障，將線路12-11和線路102-11斷開以隔離故障，導致10.087 MV·A的負荷失電。利用兩階段UPE方法，用戶可以設置一系列不同的用戶偏好并求解對應的用戶偏好解。在本算例中設置Mmax=5，Nmax=50。交互求解過程如表1所示，通過偏好初始化、偏好收緊、偏好放松的3次交互過程，最理想的用戶偏好可行解被求解得到。

表1 交互求解過程Tab.1 Solving process in interactive mode

3.1.1 用戶偏好初始化

假設用戶在初始階段對兩個目標函數設置偏好（f1≤3 MV·A,f2≤8）。以隔離故障后的初始拓撲及對應的穩定運行狀態作初始點，用戶偏好解（斷開45-12，39-38，32-39，35-36；閉合8-33，13-12，10-38）在t=1.435 s被求解得到。

圖1給出了部分代表開關收斂到偏好可行解的求解軌跡，其中，每條軌跡代表1個開關的完整數值積分過程，在軌跡圖中每對箭頭代表一次修正過程，也就是說在求解得到用戶偏好可行解之前，經歷了兩次修正過程，共求解出3個松弛解（RS1～RS3）。在得到RS1后，為了解除退化點存在的越限，修正位于線路10-38的開關數值為1；同時，為了保持輻射狀約束，修正線路38-39的開關數值為0。在得到RS2后，修正線路13-12的開關數值為1；同時，修正開關12-45為0。經過兩次修正過程，軌跡成功收斂到偏好可行解。

圖1 用戶偏好（f1≤3 MV·A,f2≤8）下，代表開關收斂到用戶偏好可行解的軌跡Fig.1 Trajectories of representative switches converging to user preference-feasible solution under preference（ f1≤ 3 MV·A,f2≤ 8）

3.1.2 更新用戶偏好（收緊偏好）

在本次交互中，基于上次求解結果的質量（f1=1.54 MV·A，f2=7），假設用戶理想偏好范圍（f1≤1 MV·A,f2≤6），然而經求解后得出當前用戶偏好下不存在可行解，于是程序進入可行性恢復階段，指導最后1個得到的退化點作為初始點來求解折中解。表2給出了該退化點所有存在越限的約束。為了恢復可行性，假設用戶選擇對動作次數的偏好約束進行放松，由（f1≤1 MV·A,f2≤6）放松至（f1≤ 1 MV·A,f2≤ 8），隨后再次對系統進行積分并收斂至可行解（斷開45-12，39-38，34-35；閉合8-33，35-40，13-12，10-38），即可行性被成功恢復，對應的目標函數值為（f1=0 MV·A,f2=7）。

表2 DSEM對應的越限約束及越限量Tab.2 Constraints with violation corresponding to DSEM and their values

3.1.3 第2次更新用戶偏好（放松偏好）

根據前一次交互過程中經放松偏好而得到的折中解（f1=0 MV·A,f2=7），假設用戶提出更為理想的偏好范圍（f1≤ 2 MV·A,f2≤ 6），收斂到該偏好可行解的三維軌跡見圖2?？梢?，在收斂到偏好可行解之前經歷了兩次修正過程，該偏好可行解（打開45-12，39-38，32-39；閉合8-33，13-12，10-38）在t=1.668 s被計算得到。

圖2 偏好可行解（f1=1.309 MV·A,f2=6）的積分軌跡Fig.2 Integral trajectory converging to user preferencefeasible solution（ f1=1.309 MV·A,f2=6）

3.2 對比算例

為評估該兩階段UPE方法的求解性能，本文方法與利用優化求解器CPLEX的凸松弛方法[12]進行比較。除了對比求解結果質量，在硬件系統計算能力相當的前提下，通過計算速度提升率R來評估計算效率，即

式中：Trefer為參考計算時間；Tcpu為本文計算時間。

表3給出了兩階段UPE方法與凸松弛方法的對比結果，可見，本文方法用更少的動作次數實現了同樣的負荷恢復量，或以允許范圍內的失電負荷量為代價，實現了更少的動作次數，本文方法可以獲得更符合用戶偏好的可行解。

表3 兩階段UPE方法與凸松弛方法的對比結果Tab.3 Results of comparison between two-stage UPE method and convex relaxation technique

以上算例驗證了本文方法用于求解供電恢復策略的有效性及快速性，本文方法可以通過一種用戶主導的交互方式靈活求解用戶偏好解，相比于凸松弛方法[12]，計算速度有明顯提升，并且解的質量更能滿足用戶對多個目標函數的實際需要。

4 結語

本文提出了一種整合用戶偏好法以快速計算供電恢復偏好可行解。該方法面向用戶，允許實現各個目標函數的偏好范圍，如果偏好可行解不存在，那么所提方法可以識別出解不存在，并指導用戶有針對性地調整偏好范圍或約束限制而獲得用戶可接受的折中解。為提高求解效率，所提方法包含離散優化階段和松弛及修正階段兩個階段，以實現該含大量離散變量問題的快速求解。通過數值分析和對比驗證了所提出方法的兩個優勢：①在求解供電恢復偏好解時具備良好的全局收斂特性，不會出現發散情況；②能夠靈活提供高質量的恢復策略，滿足用戶在實際工程中對各個目標函數的具體偏好。