三角函數常見典型考題賞析

■鐘小彧

三角函數是高中數學的重要內容之一,也是高考命題的熱點之一。三角函數除具有一般函數的各種性質外,還具有周期性和對稱性。三角函數的圖像與性質、三角函數的化簡與求值是學習的重點。在三角函數的學習過程中,要探究三角函數的解題規律和解題方法,多做典型題,多看其答案分析,才能學好這部分內容。

題型1:象限角與終邊相同的角

(1)象限角α的集合表示:第一象限角表示為{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z},第二象限角表示為{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z},第三象限角表示為

{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈

Z},第四象限角表示為{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}。(2)判斷α是第幾象限角的三個步驟:將α寫成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式;判斷β的終邊所在的象限;根據β的終邊所在的象限,即可確定α的終邊所在的象限。(3)求解給定范圍內終邊相同的角的方法:先寫出與角α終邊相同的角β,即β=α+k·360°(k∈Z),根據給定的范圍建立關于k的不等式,解出k的范圍,再根據k∈Z確定β。

(2)判斷下列各角分別是第幾象限角,請寫出與下列各角終邊相同的角β的集合S,并求出S中適合不等式-360°≤β＜360°的元素。①60°,②-21°。

(3)寫出終邊在x軸上的角的集合。

解:(1)因為-2010°=-6×360°+150°,所以與-2010°終邊相同的最小正角是150°。

(2)①60°是第一象限角,S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S中適合-360°≤β＜360°的元素是:60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°。

②-21°是第四象限角,S= {β|β=-21°+k·360°,k∈Z},S中適合-360°≤β＜360°的元素是:-21°+0×360°=-21°,-21°+1×360°=339°。

(3)終邊在x軸的非負半軸上角的集合S1={β|β=k·360°,k∈Z},終邊在x軸的非正半軸上角的集合S2={β|β=k·360°+180°,k∈Z},所以終邊在x軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=k·360°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+180°,k∈Z}={β|β=2k·180°,k∈Z}∪{β|β=2k·180°+180°,k∈Z}={β|β=2k·180°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=n·180°,n∈Z}。

跟蹤訓練1:已知角α=2020°。

阻止可能被外來動物疾病污染的高風險原科進入，這是合適的做法。幾個東歐國家也已經出現了非洲豬瘟病毒。受供應鏈的約束，生產商很難將整個產業脫離亞洲等原科提供國，但如果原料不太可能被污染，則沒有必要這么做。此時要根據評估原料傳播風險的決策樹，與飼料或原料供應商商討原料的安全性。

(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式,并指出它是第幾象限角。

(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ＜720°。

提示:(1)由α=5×360°+220°,可得α是第三象限角。

(2)與α終邊相同的角為k·360°+2020°,k∈Z。因為θ與α終邊相同且-360°≤θ＜720°,所以當k=-6,k=-5,k=-4 時,與α終邊相同的角θ為-140°,220°,580°。

題型2:三角函數在各象限的符號

判斷角的終邊位置是判斷該角的三角函數值的符號的關鍵,要熟記正弦函數、余弦函數、正切函數在四個象限的符號規律。

例2 (1)若cosα＞0,sinα＜0,則角α的終邊在( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解:(1)由cosα＞0,可得角α的終邊在第一象限或第四象限或x軸的正半軸上。由sinα＜0,可得角α的終邊在第三象限或第四象限或y軸的負半軸上。綜上可得,角α的終邊在第四象限。應選D。

(2)①由105°,230°分別為第二、第三象限角,可得sin105°＞0,cos230°＜0,所以sin105°·cos230°＜0。

題型4:與三角函數有關的定義域問題

與三角函數有關的定義域問題,要考慮三角函數自身定義域的限制,同時要注意求一個固定集合與一個含有無限多段的集合的交集時,可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個固定集合再求交集。

題型5:誘導公式的應用

在利用誘導公式進行三角函數的化簡與求值時,先把已知角化為k·360°+α(k為整數,0°≤α＜360°)或2kπ+β(k為整數,0≤β＜2π)的形式,再把原三角函數化為角α或角β的同名三角函數,借助特殊角的三角函數或任意角的三角函數的定義達到化簡與求值的目的。

題型6:正弦函數、余弦函數的圖像與性質

(1)求函數y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的單調區間的常用方法:采用換元法,令z=ωx+φ,通過求y=Asinz的單調區間,進而求出函數的單調區間。(2)比較三角函數值大小的三個步驟:異名函數化為同名函數;利用誘導公式把角化到同一單調區間上;利用三角函數的單調性比較大小。(3)對于形如y=Asin(ωx+φ)+k(A≠0,ω≠0)的函數,當定義域為R 時,值域為[-|A|+k,|A|+k];當定義域為某個給定區間時,需確定ωx+φ的范圍,再結合函數的單調性確定值域。

題型7:正切函數的圖像與性質

題型8:兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

應用兩角和與差公式的三個注意點:要注意公式的正用、逆用和變形應用,尤其要積極創造條件逆用公式;注意拆角、拼角的技巧,將未知角用已知角表示出來,使之能直接運用公式;注意常值代換,如“1”的代換,1=sin2α+cos2α,1=sin90°等。

例8 化簡求值。(1)sin(x+27°)·cos(18°-x)-sin(63°-x)sin(x-18°)。

題型9:二倍角的正弦、余弦和正切公式

題型10:簡單的三角恒等變換

三角恒等變換就是熟練運用所學公式,將三角函數式化簡成某一個角的三角函數,再綜合討論三角函數的圖像與性質。三角恒等變換中的“三變”:變角,觀察問題中角之間的關系,把未知角分解成已知角的和、差、倍、半角;變名,盡量統一函數的名稱,如統一為弦或統一為切;變式,觀察式子的結構差異,選擇適當的變形途徑,如升冪、降冪、配方、開方等。

題型11:函數y=Asin(ωx+φ)性質的應用