應用“等時圓”規律巧解時間問題

■呂良英

“等時圓”是由意大利著名物理學家伽利略提出的應用數學知識解決物理問題的經典模型。同學們在遇到一些涉及質點運動時間的問題時,如果能夠通過數理分析,構建出“等時圓”,那么就可以運用“等時圓”規律快速做出判斷,省時又省力。下面舉例說明。

一、“等時圓”的基本規律

1.如圖1 所示,A為豎直平面內圓周上的最高點,B、C、D、E、F、…為圓周上的任意點,質點從A點沿不同的光滑斜面AB、AC、AD、AE、AF、…由靜止開始下滑,到達斜面底端所用的時間都相等。

圖1

2.如圖2 所示,A為豎直平面內圓周上的最低點,B、C、D、E、F、…為圓周上的任意點,質點從B、C、D、E、F、…各點沿光滑斜面BA、CA、DA、EA、FA、…由靜止開始下滑,滑至A點所用的時間都相等。

圖2

例1 如圖3 所示,光滑細桿BC、DC和AC構成矩形ABCD的兩鄰邊和對角線,已知三根細桿的長度之比為1∶3∶2,細桿AC豎直。每根細桿上分別套有一小球a、b、d,三個小球的質量之比m1∶m2∶m3=1∶2∶3?，F將三個小球同時從各細桿的上端由靜止釋放,不計空氣阻力,則這三個小球沿各細桿滑行的時間之比為( )。

圖3

A.1∶1∶1 B.1∶3∶2

C.1∶4∶9 D .1 ∶3∶4

因為ABCD為矩形,所以A、B、C、D四點必定在以AC邊為直徑的同一圓周上。三個小球同時從各細桿的上端由靜止下滑至C點,遵循“等時圓”的基本規律,因此三個小球必定同時到達圓周的最低點C。

答案:A

同學們若不能利用矩形的幾何性質,得出“A、B、C、D四點必定在以AC邊為直徑的同一圓周上”這一結論,就不會聯想到“等時圓”模型。本題也可以利用勻變速直線運動規律和自由落體運動規律,逐一求出a、b、d三個小球的滑行時間,但是相較于利用“等時圓”基本規律求解的過程既復雜煩瑣,又容易出錯。

二、“等時圓”的推廣規律

1.如圖4所示,A、B、C、D、E、F、…為豎直平面內圓周上的任意點,過其中較高的一點(不是最高點)的豎直線(虛線)可以把圓分割成優弧和劣弧兩部分,質點從該點由靜止開始沿不同的光滑斜面下滑,從劣弧一側開始質點滑至離該點越近的點所用的時間越短,滑至離該點越遠的點所用的時間越長。比如,質點從A點(不是最高點)沿不同的光滑斜面AB、AC、AD、AE、AF、…由靜止開始下滑至斜面底端所用的時間大小關系為

圖4

t1＜t2＜t3＜t4＜t5。

2.如圖5所示,A、B、C、D、E、F、…為豎直平面內圓周上的任意點,過其中較低的一點(不是最低點)的豎直線(虛線)可以把圓分割成優弧和劣弧兩部分,質點從圓周上比這個點高的其他點由靜止開始沿不同的光滑斜面下滑至該點,從劣弧一側開始質點出發位置離該點越近所用的時間越短,質點出發位置離該點越遠所用的時間越長。比如,質點從B、C、D、E、F、…各點沿光滑斜面BA、CA、DA、EA、FA、…由靜止開始下滑至A點(不是最低點)所用的時間大小關系為t1＜t2＜t3＜t4＜t5。

圖5

例2 如圖6 所示,AB、AC、AD是固定在豎直平面內的三根光滑細桿,A、B、C、D四點位于同一圓周上,圓內AE為水平線,細桿AB、AC、AD互成30°角,每根細桿上分別套有一質量均為m的小球。小球從細桿頂端由靜止下滑到A點所用的時間分別為t1、t2、t3,則( )。

圖6

A.t1=t2=t3B.t1＞t2＞t3

C.t1＜t2＜t3D.條件不足,無法判斷

A點不是圓周上的最低點,小球從細桿頂端由靜止下滑到A點,遵循“等時圓”的推廣規律。與水平線AE垂直的線將圓周分割成優弧和劣弧兩部分,從劣弧一側開始,B、C、D三點距離A點越來越遠,小球沿細桿AB、AC、AD下滑所用的時間越來越長,因此t1＜t2＜t3。

答案:C

本題也可以通過作輔助線,構建出與B、C、D三點分別對應的“等時圓”,先利用“等時圓”的基本規律找到與從B、C、D三點下滑所用時間相同的B′、C′、D′的位置,再根據B′、C′、D′三點與A點的位置關系,結合自由落體運動規律,判斷出時間t1、t2、t3的大小關系。

1.如圖7所示,在同一豎直平面內,一半圓的直徑水平,與另一圓的底部相切于O點,O點恰好是下方半圓的圓心。三條光滑軌道AOB、COD、EOF的兩端分別位于上下兩圓的圓周上,三條軌道與豎直線O′O″的夾角關系為α＞β＞θ?，F讓一小物塊分別從三條軌道的頂端由靜止下滑至底端,所用的時間分別為t1、t2、t3,則( )。

圖7

A.t1=t2=t3B.t1＞t2＞t3

C.t1＜t2＜t3D.t1=t2＜t3

2.如圖8所示,位于豎直平面內的固定光滑圓形軌道與豎直墻壁相切于A點,與水平面相切于B點,圓心為O,在圓形軌道內搭接有AB、AC兩條光滑傾斜軌道,軌道AC與豎直墻壁間的夾角α=60°。現將質量相同的三個小球a、b、c分別放在軌道AB、AC的頂端和圓心O處,同時放手,讓三個小球由靜止開始運動(c球可以直接穿過軌道AC),則( )。

圖8

A.a球最先到達B點

B.b球最先到達C點

C.c球最先到達B點

D.a、c兩球同時到達B點

參考答案:1.B 2.C