擬凸函數的Simpson型分數階積分不等式

白淑萍

（內蒙古民族大學數理學院，內蒙古 通遼 028043）

凸函數是一個簡單而自然的概念，在數學規劃論、博弈論、數理經濟學、逼近論、變分學、最優控制論等領域具有重要的理論意義和廣泛的應用前景.但是在經濟學中和許多優化問題的數學模型中遇到的函數往往很難滿足凸性的要求，只能退而求其次，考慮較弱的廣義凸函數.歷史上，第一種廣義凸函數是由FINETTI［1］于1949年提出，由FENCHEL［2］于1953年命名的擬凸函數，其在適當放寬凸性條件的同時，還保留了凸函數某些重要的有用性質，其實用的范圍卻比凸函數要廣，是凸函數的拓廣與發展.筆者在分數階積分基礎上，研究了擬凸函數在不等式方面的應用，建立了擬凸函數的Simpson型積分不等式，并給出了其誤差估計.

1 預備知識

定義1［1-2］設I為實數軸R上的任一區間，f(x)是區間I上的函數，如果對于?a,b∈I,a＜b，?λ∈[0,1]，有

則稱函數f(x)是區間I上的擬凸函數.

定義2［3］設(a,b)為實數軸R上的區間，其中a＜b且a,b∈[-∞,+∞].如果 Re(α)＞0 ，α是一個復數，函數則

和

分別稱為左邊、右邊的Katugampola分數階積分，函數空間如下：

其中

Katugampola分數階積分也稱為ρ-Riemann-Liouville分數階積分［4］，它推廣了Riemann-Liouville分數階積分和Hadamard分數階積分［5］：

和

下面的不等式是著名的Simpson不等式.

定理1［7］設f:[ ]a,b→R在區間[ ]a,b內是連續可微的，有

在文獻［8］，HAI等建立了如下等式.

引理1［8］設是一個可微函數，其中，則對于?α＞0,?x∈(a,b)，下面的等式成立：

其中，函數f(xρ)在區間[a,b]上的Katugampola分數階積分存在.

在文獻［8］中，作者基于Katugampola分數階積分，研究了凸函數的Simpson型不等式.筆者在文獻［6］、［8］和［9］基礎上，研究擬凸函數在不等式方面的應用，建立了擬凸函數的Simpson型分數階積分不等式，并給出其誤差估計.

2 主要結論

本節筆者利用函數的擬凸性和引理1建立一些新的Simpson型分數階不等式.

其中α＞0.

證明 利用引理1以及|f′|的擬凸性得到

定理2證畢.

通過計算即得式（8），定理3證畢.

特別地，在定理3中分別取r=0、r=1和r=q時，可以得到：

和

和

類似定理3的證明方法，還可以得到下述結論：

通過計算即得式（12），定理4證畢.

特別地，在定理4的不等式中取r=1、r=q和r=qα時，可以得到：

和

和

注：在式（7）～（15）中當ρ→1時取極限，即得到基于Riemann-Liouville分數階積分的相關結論.