基于蒙特卡洛方法的油氣井管柱可靠性評估*

張認認，楊尚諭，王建軍，趙 楠，徐長峰，李新宏

(1.西安建筑科技大學 資源工程學院，陜西 西安 710055；2.中國石油集團工程材料研究院有限公司 石油管材及裝備材料服役行為與結構安全國家重點實驗室，陜西 西安 710077；3.中國石油新疆油田分公司呼圖壁儲氣庫作業區，新疆 呼圖壁 831200)

0 引言

管柱完整性是保障氣井工作的先決條件，管柱失效會引發井筒泄漏、停產等嚴重后果[1]。為了降低超深油氣井的生產風險，開展其井筒管柱的可靠性評估顯得尤為重要。許亮斌等[2]應用非概率可靠性理論研究變量的不確定性，并計算實際載荷作用下套管的可靠度；趙壘等[3]應用區間模型構建了套管的可靠性模型，計算不同服役階段套管的可靠性；樊恒等[4]基于分項系數法提出了套管在鉆完井和生產階段的強度可靠度設計方法，分析荷載和強度的變異系數對套管可靠性設計的影響；許志倩等[5]對特殊螺紋接頭進行仿真模擬，分析了特殊螺紋接頭的應力分布及其實際載荷下螺紋接頭的可靠性；LIAO和LONG等[6-7]進行了油氣井安全分析，評估了非均勻外載下套管的可靠性；Zhu等[8-9]提出1種基于貝葉斯優化理論的儲氣庫管柱可靠性分析方法，計算管柱抗擠強度；上述研究提出了不同可靠性分析方法及模型，但多采用經驗和假設方法確定可靠性模型變量的概率分布，從而對可靠性評估結果產生一定的不確定性。

為了更加準確地評估油氣井管柱的可靠性，對影響管柱可靠性的影響因素進行數據統計與分析，并結合蒙特卡洛方法對管柱剩余強度進行計算，以提高管柱可靠性評估的準確性。蒙特卡洛方法是一種傳統但準確的可靠度分析方法，且易于與其他可靠性評估方法相結合。Fu等[10]基于蒙特卡洛法提出了二階可靠性評估方法，并對集成能源系統的失效概率進行了評估；Wang等[11]提出了一種基于哈密頓蒙特卡洛的可靠性評估方法。

基于對外載的數據統計分析，結合理論模型和蒙特卡洛模擬對苛刻油氣井管柱進行可靠性評估，并以某油氣井為例對管柱可靠性進行分析。首先，確定影響管柱可靠性的2類隨機變量，采用極限狀態方法構建管柱可靠性理論模型；然后，對外載變量進行數據統計，分析變量的分布規律與參數；最后，結合蒙特卡洛方法構建管柱可靠性數值模型。

1 構建管柱可靠性模型

影響管柱狀態的變量xi可分為2大類，第一類是影響管柱外部載荷的隨機變量L，第2類是影響套管強度的隨機變量S，2類變量的函數表達式如式(1)所示：

(1)

式中：xLi為與套管載荷有關的隨機變量；xSi為與套管強度有關的隨機變量。

將多個隨機變量簡化為兩個隨機變量進行計算，如式(2)所示：

Z=L-S

(2)

式中：Z為極限狀態的功能函數。

假設強度和載荷是相互獨立的2類隨機變量，且服從一定的概率分布，其概率密度函數分別為pL(x)和pS(x)，則可得套管可靠度Pr的表達式，如式(3)所示：

Pr=P(Z>0)=P(S-L>0)

(3)

基于地層巖石力學和套管柱自身性能參數的概率分布，根據極限方程原理建立套管柱的可靠性模型，其變量包括巖石力學、水泥環和套管柱強度影響因素，如式(4)所示：

Z=g(S0,P,P1,P2,P3,E3,ν3,E2,ν2,D2,E1,ν1,D1,T)

(4)

式中：g為套管可靠性影響因素的函數;S0為P110套管抗屈服強度，MPa；P為鉆完井階段套管內壓，MPa；P1為某深度地層最大水平主應力，MPa；P2為某深度地層最小水平主應力，MPa；P3為某深度地層的垂向平主應力，MPa；E3為某深度地層的彈性模量，G；ν3為某深度地層的泊松比；E2為水泥彈性模量，G；ν2為水泥環泊松比；D2為水泥環厚度，mm；E1為P110套管彈性模量，G；ν1為P110套管泊松比；D1為P110套管外徑，mm；T為P110套管壁厚，mm；

Z大于零時套管的狀態是安全的，其發生概率為套管柱的可靠度，記為Pr；Z小于零時套管的狀態是不安全的，其Z發生概率為套管柱的失效概率，記為Pf，式中，p為套管極限狀態的函數,如式(5)所示：

(5)

2 模型變量概率分布

以某氣井為例，評估其井筒管柱的可靠性。通過地應力的統計與計算，取地層3個主應力分別為135.32 MPa、124.19 MPa和113.09 MPa；根據實際鉆井液密度計算出管柱內壓為79.62 MPa；根據API標準取套管外徑為177.8 mm，壁厚為12.65 mm，屈服極限為828 MPa；根據工程實際取水泥環外徑為241 mm，設置距井眼1 000 mm的地層厚度。

管柱安全狀態主要受外界荷載和管柱抗擠能力的影響，其中外載變化主要受地質和水泥環的影響，抗毀強度主要受管柱自身參數影響。外載和抗擠能力具有不確定性和隨機性，會在一定范圍內波動變化。因此，需要對影響管柱安全的地質相關因素、水泥環相關因素和管柱自身因素進行數據統計與分析，確定其分布類型和參數。

參考現場數據和大量文獻資料，對目標區域的巖石力學參數和地應力進行數據統計，得到彈性模量、巖石泊松比和地應力等數據，統計分析其變異系數、均值和標準差等，得到彈性模量和泊松比服從正態分布，經過擬合得巖石彈性模量和泊松比正態分布曲線方程為式(6)和(7)：

(6)

(7)

得到1.3～3.7 km區間內的地應力數據，包括最大水平地應力、最小水平地應力和地層垂向地應力均服從線性分布，分析可得：地層3向應力分布均符合實際地應力的分布，即相同深度下，威遠-長寧區地應力關系為：最大水平地應力>垂向地應力>最小水平地應力。

水泥環是井筒構件的重要組成部分之一，是重要的水力屏障。水泥環的幾何性能是指外徑和厚度；力學性能是指彈性模量和泊松比。根據現場施工的數據，參考API中水泥環相關性能參數分布，可知水泥環的性能參數均符合正態分布，其分布參數見表1。

表1 水泥環相關變量及分布參數Table 1 Relevant variables and distribution parameters of cement sheath

管柱屬性的隨機性是影響其強度的關鍵參數，包括幾何參數(如外徑、壁厚)和力學參數(如彈性模量、泊松比、最小屈服強度)。由于受到制造、運輸等原因造成的實際套管屬性值并不等于名義絕對值，存在一定的偏差。據統計分析可知套管屬性均服從正態分布，API套管性能的隨機分布及參數見表2。

表2 套管性能變量參數隨機分布Table 2 Random distribution of variables parameters about casing properties

3 油氣井管柱可靠性評估

根據管柱可靠性模型，結合蒙特卡洛方法進行管柱剩余強度模擬，計算管柱的剩余強度及安全系數，評估6 000 m處油氣井井筒管柱的可靠性。

管柱可靠度是指管柱實際承受的結構強度小于額定抗拉、抗壓和抗擠強度，并滿足其安全系數要求。根據美國石油協會API套管強度計算標準[12]，查表可知P110#套管的額定抗拉強度為52.54 MPa，安全設計系數為1.6～1.8；額定抗擠強度為94.423 MPa，安全設計系數為1～1.35；額定抗壓強度為89.8 MPa，安全設計系數為1～1.125。參考API標準[12-13]和管柱強度設計資料，分別計算出1～7 km處套管柱的抗拉、抗內壓和抗擠強度及安全系數，見表3。

表3 不同深度下套管強度安全系數計算值Table 3 Calculated values of safety factor for casing strength at different depths

以API規定的套管安全系數[13]設計值為基礎，同時考慮超深氣井的鉆采條件的苛刻性，設計套管柱抗擠安全系數n抗擠為1.125，設計抗拉安全系數n抗拉為1.80，設計抗內壓安全系數n抗內壓為1.20。由表3可知，滿足套管強度安全系數的理論計算地深為6.5 km，并繪制安全系數變化曲線，如圖1所示。分析可知，管柱的強度安全系數隨地層深度增加而降低；且管柱抗擠安全系數n抗擠>抗拉安全系數n抗拉>抗內壓安全系數n抗內壓。

圖1 強度安全系數隨地層深度變化曲線Fig.1 Changing curves of strength safety factor with stratum depth

根據API[12]，得P110#套管的屈服極限是785 MPa，套管屈服安全系數為1.25。數值模擬計算得到套管隨地層深度變化的屈服安全系數，見表3，并繪制曲線見圖2，則滿足套管強度安全系數的地層深度為6.2 km。取地層深度為6 km進行細化分析，確定此深度下影響管柱的變量及參數，得到了井深6 km處管柱的剩余強度及其分布，如圖3所示。

圖2 抗屈服安全系數隨地層深度變化曲線Fig.2 Changing curves of yield resistance safety factor with stratum depth

圖3 管柱剩余強度正態分布及擬合曲線Fig.3 Normal distribution and fitting curve of residual strength of string

由圖3可知管柱剩余強度符合正態分布，比較接近工程實際情況；進一步得到6 km處管柱剩余強度擬合方程和累積概率擬合方程，見式 (8)～(9)，曲線可靠度R2均在99%左右，說明曲線擬合效果較好，可為計算套管柱可靠性作參考。式(8)(9)所示：

(8)

(9)

進一步計算得到置信度水平為90%～99%的管柱剩余強度置信區間和套管柱的安全系數取值范圍，如表4所示。

表4 不同置信度下套管柱剩余強度置信區間和安全系數取值范圍Table 4 Confidence intervals for residual strength of string and valuing ranges of safety factors under different confidence levels

分析可知，置信度水平越高，套管柱的安全系數取值范圍越大，但可靠性指標下降，即可靠度下降。且6 km深度處90%～99%置信度下套管柱的安全系數取值范圍為1.220～1.345，參考API標準，取套管屈服安全設計系數為1.20，則6 km處套管柱可滿足目標地區油氣井管柱的安全設計要求。

4 結論

1)基于極限方程原理建立管柱可靠性模型，確定13個影響管柱可靠性的變量，主要包括管柱、水泥環和地層3方面的影響因素，對其進行統計分析，結果表明：模型中的變量均屬于正態分布，并得到變量的相關分布參數。

2)計算得到油氣井管柱剩余強度符合正態分布，進一步得到目標深度管柱剩余強度擬合方程和累積概率擬合方程，可為計算套管柱可靠性作參考。

3)采用蒙特卡洛方法對管柱可靠性進行模擬，得到管柱剩余強度的分布規律，計算出不同置信度水平下管柱的可靠度，分析得到管柱的安全系數取值范圍為1.220～1.345，可滿足管柱安全設計要求。