對線性交叉遞推數(shù)列問題的探究

江蘇省海安高級中學(xué) (226600) 吉海波

一、考題呈現(xiàn)

(2020年4月赤峰市高三模考理18)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=2，b1=-1，an=2an-1-bn-1，bn=2bn-1-an-1,n∈N*，n≥2.

(1)求證：數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列；

該考題結(jié)構(gòu)對稱、優(yōu)美，兩個線性遞推關(guān)系式關(guān)系緊密，其中證明數(shù)列為等比數(shù)列{an-bn}是解題的基礎(chǔ)，求數(shù)列{an}的通項公式是解題的關(guān)鍵.

二、求解策略探析

點評：由于題中給出的兩個線性遞推式中都沒有常數(shù)項，因而這里運用的“加減運算”是最基本也是最簡潔的策略.該策略依據(jù)兩個線性遞推式的特點，并結(jié)合(1)的目標(biāo)，利用兩式相加和相減運算，先從整體上證明數(shù)列是等比或等差數(shù)列，然后再求得個體數(shù)列的通項公式的.

分析2：(1)要證數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列，由于目標(biāo)明確，可運用“待定系數(shù)”策略，只要證存在非零常數(shù)q，使得an-bn=q(an-1-bn-1)即可.

策略2 (待定系數(shù)) (1)設(shè)an-bn=q(an-1-bn-1)(q≠0)，則(2an-1-bn-1)-(2bn-1-an-1)=q(an-1-bn-1)，整理得3(an-1-bn-1)=q(an-1-bn-1).所以q=3，所以an-bn=3(an-1-bn-1).又a1-b1=3，所以數(shù)列{an-bn}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列.

(2)同策略1.

點評：該策略依據(jù)(1)的目標(biāo)，先從整體上考慮利用待定系數(shù)列出關(guān)系式，然后求出待定系數(shù)后求解的.對于所證的目標(biāo)明確的這類問題，“待定系數(shù)”是一種可行有效的策略.

分析3：從代數(shù)方程的角度兩個線性遞推式可看成二元一次方程組，通過消元降維分別得到單個數(shù)列的遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解.

(2)同解法1.

點評：該策略以數(shù)列{an}為主,在求解的過程中還運用到了“累加法”求和，同學(xué)們需好好體會.就該題而言，應(yīng)用該策略實在是有點“小題大做”，純粹是為了說明“消元降維”是求解這類線性遞推數(shù)列問題一般性的策略.

三、拓展變式

上述的模考題中，線性遞推關(guān)系中的系數(shù)交替，而且沒有常數(shù)項，在“線性交叉遞推數(shù)列”一類問題中是最為基礎(chǔ)、簡潔的一種類型.在此基礎(chǔ)上，下面逐步拓展、變式為更為一般的情形.

拓展1 系數(shù)交叉，常數(shù)項不為0，目標(biāo)明確

變式1 (2019年高考全國Ⅱ卷理科第19題)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4.

(1)證明： {an+bn}是等比數(shù)列，{an-bn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}和{bn}的通項公式.

分析：考題中的三種策略完全適用于這類問題，按其中一種方法求解即可.

(2)同解法1.

拓展2 系數(shù)交替，目標(biāo)不明確

變式2 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2，b1=1，4an+1=3an+bn+4，4bn+1=3bn+an+4.求{an}和{bn}的通項公式.

拓展3 系數(shù)無關(guān)

變式3 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=5，an+1=-2an+bn+2，bn+1=3bn-4an+4，求{an}和{bn}的通項公式.

分析：由于兩個遞推式中的系數(shù)沒有關(guān)系，可從代數(shù)方程的角度，利用消元降維的策略求解.

解：(消元降維)由an+1=-2an+bn+2，得bn=an+1+2an-2，所以bn+2+2an+1-2.代入bn+1=3bn-4an+4，得an+2+2an+1-2=3(an+1+2an-2)-4an+4，整理得an+2-an+1-2an=0，即an+2+an+1=2(an+1+an)，所以數(shù)列{an+1+an}是首項為a2+a1=6，公比為2的等比數(shù)列，故得an+1+an=6·2n-1=3·2n.所以an+1-2n+1=-(an-2n)，即數(shù)列{an-2n}是首項為-1，公比為-1的等比數(shù)列，所以an-2n=(-1)n，從而得an=2n+(-1)n.所以bn=an+1+2an-2=2n+2+(-1)n-2.可求得an=2n+(-1)n，bn=2n+2+(-1)n-2.

四、題型歸納

通過上述考題和變式題，對“線性交叉遞推數(shù)列”問題的題型和求解策略歸納如下：