K 層層間單向耦合星形網絡的同步能力分析

朱 劍，李顯勇，高海平

（1.新疆工程學院數理學院，新疆 烏魯木齊 830023；2.西華大學計算機與軟件工程學院，四川 成都 610039；3.新疆輕工職業技術學院公共基礎部，新疆 烏魯木齊 830021）

自然界中最常見的復雜網絡包括神經網絡、新陳代謝網絡、金融網絡、鳥類的群體飛行網絡、社交網絡等。近年來,復雜網絡已經成為不同領域科學家們的熱點研究方向。隨著研究的深入，復雜網絡在很多方面都取得了新進展，如多層網絡同步[1?8]、復雜網絡建模與拓撲結構[9?10]、疾病傳播和信息傳播[11]、動力學性質[12]、復雜網絡的魯棒性與脆弱性[13?14]等。

在研究復雜網絡的過程中，一個很重要問題就是復雜網絡的同步。同步現象經常發生在我們的生活中,如演出時掌聲同步、螢火蟲同時閃爍及無人機編隊同步等。在物理、生物、工程技術以及社會科學等領域都出現了各種各樣的同步現象。目前對單個復雜網絡的同步已經有了比較成熟的研究成果，但對更實際的多層有向網絡的同步研究[15?17]極少。文獻 [15]在同步域為有界和無界2 種情況下研究了2 層星形網絡的同步能力，對于中心節點與中心節點相連、葉子節點之間相連的2 層星形網絡給出了特征值的表達式，并分析了網絡的同步能力與節點數、層間耦合強度和層內耦合強度的關系。文獻[16]給出了3 層層內單向耦合的星形網絡的特征值多項式，在同步域無界和有界2 種情況下分析了網絡層數、每層網絡節點數、層內耦合強度、層間耦合強度與網絡同步能力的關系。文獻[17]給出了多層雙向層內耦合的星形網絡，并對星形圓環狀網絡在同步域無界和有界2 種情況下各參數與網絡同步能力的關系進行了分析。

由于實際的復雜網絡更接近于有向網絡，因此，本文研究更貼近實際的多層層間有向耦合星形網絡的特征值譜及同步能力。首先，根據主穩定性函數方法給出4 層層間單向耦合星形網絡的超拉普拉斯矩陣，得到反映網絡同步能力的重要指標λ2和r；然后，給出K層層間單向耦合的星形網絡的特征值多項式以及特征值譜；在同步域無界和有界2 種情況下，分析各參數與K層層間單向耦合的星形網絡同步能力的關系；最后，給出K層層間單向耦合星形網絡同步能力的仿真圖像（K=15），討論網絡同步能力與各參數之間的關系。

1 基礎知識

K層網絡中第M層第i個節點的動力學方程為

結合層內與層間相關矩陣，定義超拉普拉斯矩陣Ψ=ΨI+ΨL，其中矩陣ΨI=LI?IN，LI=?dD，IN為N×N單位矩陣，?為Kronecker 積。

多層網絡的同步能力由超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值 λ2和最大特征值r決定：當同步域無界時，多層網絡的同步能力由超拉普拉斯矩陣的非零最小特征值 λ2決定，此時網絡的同步能力與 λ2成正比；當同步域有界時，多層網絡的同步能力由r=λmax/λ2決定,此時多層網絡的同步能力與r成反比[17]。

2 K 層層間單向耦合星形網絡的特征值譜及同步能力分析

首先，考慮4 層層間單向耦合星形網絡，如圖1 所示，黑色有向虛線代表葉子節點鄰接，紅色有向虛線代表中心節點鄰接。其中每層網絡的結構一致，且高層的中心節點、葉子節點與低層相對應的中心節點、葉子節點存在有向鄰接，則4 層層間單向耦合星形網絡的超拉普拉斯矩陣為

圖1 4 層層間單向耦合星形網絡

其全部特征根為：

其中i=1,2,3。通過對比分析，i=3時，式（2）取到最大值；i=1時，式（3）取到最小值。比較全部特征值的大小，可得

因此：在同步域無界的情況下，4 層層間單向耦合星形網絡的同步能力由λ2=min{a,d}決定；在同步域有界的情況下，4 層層間單向耦合星形網絡的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+3d0)/min{d,a}決定。

類似地，考慮K層層間單向耦合星形網絡，可得K層層間單向耦合星形網絡的超拉普拉斯矩陣為

其全部特征根為：

其中i=1,2,···,K?1。為了便于比較它們之間的大小關系，設

于是

類似地，λ1i→Na+(K?i)d0,N?a,d,d0,K。i=1,2,···,K?1。

因此λ2i<λ1i。

比較全部特征值的大小，可得λ2=min{λ2(K?1),a}→min{d,a}，λmax→Na+(K?1)d0。

由此可以推出：在同步域無界的情況下，K層層間單向耦合星形網絡的同步能力由λ2=min{d,a}決定；在同步域有界的情況下，K層層間單向耦合星形網絡的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+(K?1)d0)/min{d,a}決定。即 λ2越大，同步能力越強；r越大，同步能力反而越弱。

3 數值模擬實驗與分析

采用MATLAB 進行數值模擬實驗，討論各參數與同步能力之間的關系。仿真實驗的主要步驟為：首先根據第2 節得到的在同步域無界和有界2 種情況下的重要指標進行數值模擬，給定符合實際的5 個參數中的4 個參數，變化剩下的1 個參數，數值模擬仿真出同步域無界時λ2變化情況和同步域有界時r的變化情況。以下實驗中：a為層內耦合強度；d為葉子節點間的層間耦合強度；d0為中心節點間耦合強度；K為層數；N為節點數。

由圖2 可知，在同步域為無界或有界的情況下，網絡的同步能力都隨葉子節點的層間耦合強度d的增加而增大，其同步能力增大到一定程度后同步能力基本不變，也就是說，在這種情況下要使網絡同步能力達到最大，一直增加葉子節點的層間耦合強度d是不行的。

圖2 在不同同步域下，同步能力隨葉子節點間的層間耦合強度d的變化（N=300，a=3，d0=2，K=15）

由圖3 可知：在同步域無界的情況下，網絡的同步能力隨中心節點的層間耦合強度d0的增加而保持不變；在同步域有界的情況下（a

圖3 在不同同步域下，同步能力隨中心節點間的層間耦合強度 d0的變化（N=300，a=3，d=4，K=15，a

由圖4 可知：在同步域無界的情況下，網絡的同步能力隨中心節點的層間耦合強度d0的增加而保持不變；在同步域有界的情況下（a>d），網絡的同步能力隨中心節點的層間耦合強度d0的增加而緩慢減小。

圖4 在不同同步域下，同步能力隨中心節點間的層間耦合強度 d0的變化（N=300，a=3，d=1，K=15，a>d）

由圖5 可知：在同步域無界的情況下，網絡的同步能力隨層內耦合強度a的增加而增大，但增大到一定程度后保持不變；在同步域有界的情況下，網絡的同步能力隨層內耦合強度a的增加先增強后減弱。

圖5 在不同同步域下，同步能力隨層內耦合強度a的變化（N=300，d0=2，d=1，K=15）

由圖6 可知：在同步域無界（a

圖6 在不同同步域下，同步能力隨網絡規模N的變化（a=0.5，d0=2，d=1，K=15，a

由圖7 可知：在同步域無界（a>d）的情況下，網絡的同步能力隨節點數N的增加而保持不變；在同步域有界的情況下，網絡的同步能力隨節點數N的增加而減弱。

圖7 在不同同步域下，同步能力隨網絡規模N的變化（a=0.5，d0=2,d=1，K=15，a>d）

由圖8 可知：在同步域無界的情況下，網絡的同步能力隨網絡層數K的增加而保持不變；在同步域有界的情況下，網絡的同步能力隨網絡層數K的增加而減弱。

圖8 在不同同步域下，同步能力隨星形網絡層數的變化（a=3，d0=2，d=1，N=300）

多層網絡的同步能力隨a，d0，d，K，N的變化情況如表1 所示。

表1 λ2,r=λmax/λ2隨a，d0，d，K，N的變化

4 結論

綜合以上的分析可知：在同步域為無界的情況下，K層層間單向耦合星形網絡的同步能力只與層內耦合強度、葉子節點間的層間耦合強度有關，而且同步能力取決于層內耦合強度、葉子點之間的層間耦合強度較小的一個；在同步域為有界的情形下，K層層間單向耦合星形網絡的同步能力與層內耦合強度、葉子節點的層間耦合強度、層數及中心節點耦合強度都有關。

同時，本文結論與文獻[17]給出的同條件下的星形網絡的結果既有區別又有聯系。在同步域無界時的相同點是2 種結構的星形網絡同步能力都與層內耦合強度、葉子節點的層間耦合強度有關；不同之處在于本文的結果與層數無關，文獻[17]的結果與層數有關。在同步域無界時本文與文獻[17]的結果完全不同。

多層層間單向耦合星形網絡的研究依然有很多問題需要解決，比如：在本文的多層層間單向耦合星形網絡改變層內耦合強度時，怎樣改變其他參數來使同步能力保持不變；改變其中一個參數時，怎樣改變其他參數來使同步能力保持不變。