基于距離測度的三角模糊交互多屬性決策方法

李 霞，張紹林，逄格煒

（1.青島農業大學檔案館,山東 青島 266109；2.中南大學商學院,湖南 長沙 410083；3.青島農業大學動漫與傳媒學院,山東 青島 266109）

模糊多屬性決策能夠有效刻畫人們面對復雜決策問題時主觀認知的不確定性，在實際生產、生活中有著廣泛的應用，并相繼出現多種模糊變量類型。自VAN LAARHOVEN 等[1]首次使用三角模糊數表示模糊評價信息以來，國內外學者關于三角模糊多屬性決策問題進行了大量的研究，現階段已取得豐富的學術成果。例如，付沙等[2]針對屬性權重和決策矩陣均為三角模糊數的多屬性決策問題，提出了一種基于集對分析的多屬性決策方法。針對動態三角模糊多屬性決策問題，梅曉玲[3]以各時段屬性值與對應三角模糊屬性值均值水平的離差為研究對象，通過構建效用函數模型將離差值轉化為精確效用函數值，并由此得到方案排序。趙萌等[4]將策略權重操控問題的研究拓展到模糊多屬性決策，提出了基于可能度和貼近度公式的混合線性規劃模型來得出排名范圍，并建立決策者策略權重向量最優模型。此外，WANG 等[5]給出綜合模糊層次分析法和模糊VIKOR 法的混合多屬性決策方法來解決可持續供應鏈第三方物流供應商選擇問題。經文獻梳理發現，關于三角模糊多屬性決策問題的研究還存在一定局限性，如現有排序方法無法確定兩個不同三角模糊數的大小關系，已有三角模糊多屬性決策方法的研究主要是基于屬性相互獨立的前提下展開的，通常情況下，決策屬性指標體系應具有獨立性，但在實際問題中，屬性指標間的獨立性常常難以滿足。例如，若用價格、性能和售后3 個屬性指標選擇設備，一般來說，性能和售后好的設備價格高，這種屬性間存在的交互作用使得屬性權重不滿足可加性[6]。因此，本文對屬性間存在交互作用的三角模糊多屬性決策問題進一步展開研究。

1 預備知識

這里首先介紹一下關于三角模糊數及可信性分布的基本知識，以便進行后續探討。

定義1[1]定義在實數域 R上的模糊數=(aL,aM,aU),其中aL≤aM≤aU，稱為三角模糊數，其隸屬函數μa?:R →[0,1]表示為：

定義2[7]設 Θ是一個非空集合，P(Θ)為 Θ的冪集。Cr是定義在P(Θ)上的集函數。若Cr滿足以下四條公理，則稱Cr是一個可信性測度。

公理1（規范性）Cr{Θ}=1。

公理2（單調性）如果A?B，則有Cr{A}≤Cr{B}。

公理3（自對偶性）對于任意A∈P(Θ)，Cr{A}+Cr{AC}=1。

三元組(Θ,P(Θ),Cr)稱為可信性空間。

定義3[8]一個模糊變量就是指從可信性空間(Θ,P(Θ),Cr)到實數集上的函數。

定義4[9]對于一個模糊變量ξ，其可信性分布Ψ :R →[0,1]定義為

也就是說，可信性分布Ψ(x)反映的是模糊變量ξ取值小于或等于x的可信度。結合三角模糊數=(aL,aM,aU)隸屬函數表達式,我們可以得到其可信性分布

相應的直觀表示，如圖1 所示。

圖1 三角模糊數的可信性分布

2 三角模糊數的排序方法

甘庭聰等[12]利用可能度研究三角模糊數的排序方法，根據不同情況，分別給出了相應的可能度計算公式。對于三角模糊數=(0.1,0.4,0.5)和=(0.2,0.3,0.5)，按照文中的分類規則，應采用的可能度公式為

針對上述一些排序方法的局限性，這里結合可信性分布理論給出新的排序方法。

期望值反映了模糊數的中心趨向，通常用來表示模糊數的大小。基于前面關于三角模糊數的可信性分布，LIU 等[7]給出了三角模糊數a?的期望值直觀上看，圖1 所示的可信性分布面積反映了三角模糊數的不確定性，當面積為0 時，三角模糊數退化為實數。對于三角模糊數容易得到其可信性分布的面積

按照本文的三角模糊數排序方法可以有效解決現有方法無法區分不同三角模糊數大小的問題。

證明充分性顯然成立。現證必要性，若，由以上比較規則，我們有

求解方程組，可得aL=bL，aM=bM，aU=bU。定理得證。

3 三角模糊數的距離測度

對于區間數IRPINO等[13]基于一維均勻分布視角，給出了以下距離公式：

4 考慮交互作用的模糊多屬性決策方法

4.1 基于Shapley 指數和2-可加測度的三角模糊信息集結算子

傳統的多屬性決策方法中的信息集結往往建立在屬性相互獨立、互不影響的假設前提之上，而現實問題中的多個決策屬性間往往是相互關聯的。為了應對屬性之間的交互作用現象，SUGENO[14]提出了模糊測度的概念。

定義5[14]有限集合N={1,2,···,n}上的一個模糊測度μ:P(N)→[0,1]滿足：

1)μ(φ)=0,μ(N)=1；

2)若A,B∈P(N)且A?B，則μ(A)≤μ(B)。

其中P(N)是N的冪集。

基于可加測度的集結算子不再適于模糊測度的情形，因此，可以采用Choquet 積分進行信息集結。

定義6[15]f是定義在X={x1,x2,···,xn}上的非負實值函數，μ是N上的一個模糊測度，函數f關于μ的Choquet 積分定義為：

其中 (·)表示X中元素下標的一個置換，使得f(x(1))≤f(x(2))≤···≤f(x(n)),且A(i)={x(i),x(i+1),···,x(n)}，A(n+1)=φ。

由定義5 可知，模糊測度定義在集合的冪集上，當決策屬性數量為n個時，需要確定 2n個參數，這種復雜性限制了其實際應用。為此，文獻[16]提出了k-可加模糊測度，隨著k的增加，模糊測度的參數也越多，其表現能力就越強，而2-可加測度只涉及到屬性的相對重要性和2 個屬性間交互性，較好解決了復雜性和表現能力之間的矛盾，在實際應用中得到了認可[17]。因此，我們進一步采用2-可加測度來代替一般的模糊測度。

定理2[16]設 μ為N={1,2,···,n}上的一個模糊測度,則 μ為一個2-可加測度，當且僅當對所有的i,j∈N，都存在 μ(i) 和 μ(i,j)滿足以下條件:

1)μ(i)≥0(?i∈N),

2)∑{i,j}?Nμ(i,j)?(|N|?2)∑i∈Nμ(i)=1,

3)∑i∈Sj(μ(i,j)?μ(i))≥(|S|?2)μ(j)(?S?N),其中j∈S且|S|≥2。

Shapley 函數是合作博弈論中一個重要的分配指標，根據各參與者對其所參與聯盟的邊際貢獻的期望值來確定最優收益分配方案。而在實際多屬性決策問題中，也存在屬性間相互關聯、相互依賴的現象。因此，文獻[18]將Shapley 函數引入到模糊測度中，用來反映多屬性決策問題的屬性權重。為方便使用，MENG 等[19]給出了如下關于2-可加測度的Shapley 指數表達式：

基于以上分析，我們給出如下2 可加Shapley三角模糊Choquet 積分集結(2ASTFCA)算子：

容易驗證，該算子滿足冪等、有界及單調性。

4.2 求解最優2-可加測度的規劃模型

對于一個三角模糊多屬性決策問題，令方案集A={a1,a2,···,am}，屬性集C={c1,c2,···,cn}。方案ai在屬性cj下的屬性值為定義在[0,1]上的三角模糊數即相應的決策矩陣記為R=當屬性權重完全已知時，可以利用集結算子求得方案綜合屬性值，而更多的情形是，只有關于屬性的部分權重信息，記為Wj(j=1,2,···,n)。

在多屬性決策中，方案之間的離差越大就越容易區分方案優劣關系。為得到屬性權重，需要先求得各屬性的2-可加測度。為此，基于前面定義的三角模糊數距離測度，我們以各個方案之間離差最大化為目標，構建規劃模型(M-1)：

其中，Φj(μ,C)為屬性cj的Shapley 值，μ為定義在屬性集C上的2-可加測度，d為三角模糊數之間的距離測度，Wj為屬性cj的部分權重信息。

通過求解模型(M-1)，可以得到關于屬性集的最優2-可加測度，然后由式(9)求得各屬性的Shapley 值并作為屬性權重。

4.3 決策步驟

基于上述分析，我們給出以下決策步驟。

第3 步：通過模型(M-1)確定屬性集C上的2-可加測度。

第4 步：由公式(9)計算各屬性cj的Shapley 值。

第5 步：應用2ASTFCA 算子得到各方案ai的綜合三角模糊評價值。

第6 步：采用本文給出的三角模糊數排序規則進行方案排序。

5 算例分析

作為深度開發農業資源潛力、增加農民收入的一種創新途徑，休閑農業近年來已經進入一個全面發展的時期。青島市作為傳統旅游城市，將休閑農業作為農業轉型升級突破口，取得了顯著的成效。已初步構建起“食、住、行、游、購、娛”為一體的休閑農業格局。但由于休閑農業項目呈個體小型化和區域分散性特點，存在著休閑農業旅游信息獲取難、不準確、無法滿足個性化需求，高峰時期不能提供導流分流及缺少及時有效的問題反饋機制等問題，極大地影響了游客旅游體驗，并在一定程度上制約了青島休閑農業的產業化發展。隨著第五代移動通訊(5G)及物聯網等現代信息技術的飛速發展，通過構建青島市休閑農業綜合信息服務平臺能夠有效解決上述問題。目前市場上能夠提供該平臺開發的軟件開發方較多，經過初步篩選，得到了4 家開發方以做進一步評價，記為A={a1,a2,a3,a4}。關于休閑農業綜合信息服務平臺的評價主要圍繞安全穩定性、功能完備性、兼容性、可維護性、經濟性5 個屬性，記為C={c1,c2,c3,c4,c5}，各屬性的重要性范圍為：W1=[0.2,0.25]，W2=[0.15,0.25]，W3=[0.15,0.2]，W4=[0.2,0.3]，W5=[0.1,0.2]。決策者以[0,1]上的三角模糊數對方案在各屬性下進行評價，并得到如下決策矩陣

由于所有屬性均為效益型，無需進行規范化處理。由模型(M-1)，可得到：

利用Lingo 軟件求解該模型，可得到屬性集上的最優2-可加測度：

再由公式(9)求得各屬性的Shapley 值：

然后通過2ASTFCA 算子集結得到各方案的綜合屬性值：

最后按照本文給出的三角模糊數排序方法，可得到4 個方案的排序結果為：a3?a1?a2?a4。

6 結束語

為確保三角模糊多屬性決策問題能夠得到更準確的決策結果，本文基于可信性分布理論提供了一種關于三角模糊數的新排序方法。通過擴展區間數的Wasserstein 距離，給出了三角模糊數的距離公式。針對屬性間的交互作用，定義了基于2-可加測度和Shapley 指數的集結算子對三角模糊決策信息進行集結，并給出在部分權重信息下通過構建規劃模型求解最優2-可加測度的方法。最后，結合青島市休閑農業綜合信息服務平臺開發方選擇問題，說明了所給方法的求解過程及有效性。