CVOFLS 方法在多渦剪切流場問題中的應用

崔立營 楊英歌

（1.西安歐亞學院，陜西 西安 710065； 2.西安北方光電股份有限公司，陜西 西安 710043）

現實生活中很多現象與運動界面密切相關，如水滴下落、氣體爆炸等問題[1]，因此，研究運動界面的數值模擬具有深遠意義。在歐拉方法中，Level Set 方法[2]和VOF 方法[3]因其內存占用小，易解決結構復雜的流體運動界面問題以及實現簡單等優點而被廣泛采用?；诖?，有學者提出了耦合兩類方法優點的CLSVOF 方法。

孫東亮等[4]于2010 年給出了一種新的CLSVOF方法，該方法雖然簡化了原始的CLSVOF 方法，但其方法理論以及重構界面的過程比較復雜。李強等[5]于2011 年創造了一種全新的CLSVOF 方法。該方法自帶質量校正公式，并且計算自由運動界面精度很好，但其計算效率不高。

Level Set 方法在模擬運動界面方面會計算得到更為準確界面法向和曲率,又考慮到VOF 方法具有計算效率高以及質量守恒性好的優點和界面法向與曲率較差的缺點；因此,若將Level Set 方法耦合到VOF 方法中，便可克服其缺陷。本文采用了耦合Level Set 與VOF 的新方法─CVOFLS 方法[6]，并通過對多渦剪切流場問題的模擬，驗證了CVOFLS 方法效率更高,界面守恒性更好。

1 輸運方程

CVOFLS方法是一種新的耦合VOF與Level Set方法。運動介質的速度場為u(u,v)，Level Set 函數φ(X,t)以及VOF 函數F(X,t)所滿足的輸運方程表達式分別如下：

CVOFLS 方法中采用周文等[7]的數值方法對方程（1）和（2）進行離散。

Level Set 函數的運算過程中需對函數φ(X,t)進行重新初始化，進而獲得新的點X 到界面 Γ (t)的符號距離函數；該方法可以保證Level Set 函數的數值穩定性，并使得其在求解域內具有優良的光滑性。

對方程（3）進行離散得到的穩態解來重新初始化符號距離函數。其中τ是偽時間，使用sign(φ0)=近似計算sign(φ0)，?x、?y為離散坐標下的x 軸與y 軸的空間步長。

2 數值方法

2.1 VOF 輸運方程的離散

為了計算方便，方程（2）可寫為守恒形式：

Sussman 和Puckett[8]提出用通量分裂算法來求解方程（4），其離散形式如下：

2.2 Level Set 輸運及重新初始化方程的離散

2.2.1 空間離散

方程（1）和方程（3）同屬于Hamilton-Jacobi 型方程。

其中Level Set 函數方程（1）可寫為：

Jiang和Peng[9]專門針對Hamilton-Jacobi型方程求解，給出了經典的五階WENO（Weighted Essentially Non-Os cillatory）格式。故本文空間離散采用該格式，進而可得該方程的離散形式[10]：

2.2.2 時間項離散

采用三階TVD-R-K(Total Variation Diminishing Runge-Kutta)格式對方程（1）、（3）進行離散，可以有效避免數值振蕩，其表達式為：

3 數值算例

為了驗證本文提出的CVOFLS 方法的有效性，下面以模擬多渦剪切流場的界面運動為例，檢驗CVOFLS方法的模擬效果，即考察圓心在（0.5，0.5）、半徑為0.15 的圓在速度場中的運動情況，整個流場計算區域為[0,1]×[0,1]，時間步長為0.002s。

其中t 為模擬時間，T 為多渦剪切流場的周期。

圖1、圖2 分別給出了周期T=1s 和T=2s 時采用CVOFLS方法模擬多渦剪切流場的數值結果。由圖可知，CVOFLS 方法在T=1s 時模擬的數值結果與初始時刻的結果基本重合，表明其具有很好的穩定性及守恒性。而在T=2s 時模擬的數值結果效果良好，具有較好的守恒性。

圖1 多渦剪切流場的模擬結果(T=1s)

圖2 多渦剪切流場的模擬結果(T=2s)

4 結論

數值結果表明：CVOFLS 方法對多渦剪切流場的數值模擬效果良好，其數值結果驗證了CVOFLS 方法的準確性，同時表明該方法在數值界面模擬方面，具有更高的計算效率以及更好的界面模擬精度。