數學思考，從提出“有意義的問題”開始

李紅紅

【摘? ?要】讓學生“會用數學的思維思考現實世界”是數學教育的目標之一。圍繞數學內容，讓學生自己提出“有意義的問題”是發展學生數學思考的重要手段。“有意義的問題”可以是在“What、Why、How”（3W）框架引領下，圍繞具體內容所提出的數學問題。以人教版四年級上冊“大數的認識”單元復習為例，教師通過聯結“3W”框架與數學內容，借助知識歸類與合情推理等手段，引導學生圍繞整個單元的內容提出有意義的問題，促進學生的數學思考。

【關鍵詞】數學思考;有意義的問題;大數的認識

“會用數學的思維思考現實世界”是學生具備數學素養的重要表現。教學時，教師引導學生用數學的思維方式進行思考，要落實到可操作的具體環節中。問題是驅動學生數學思考的重要支架，讓學生參與問題提出的生成性教學活動，可以幫助學生直擊數學本質，慢慢地想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。[1]因此，讓學生學會“數學思考”，要從提出有意義的問題開始。

一、什么是有意義的問題

“有意義的問題”是一個比較模糊、寬泛的概念。本文中“有意義的問題”指的是在“What、Why、How”（3W）框架引領下，圍繞具體內容所提出的數學問題。“3W”是界定、分析和解決問題的框架。“What”主要用來界定是什么問題;“Why”主要指向產生問題的本質原因;“How”側重問題的解決方法。學生針對某一數學內容從這三個方面進行質疑，往往能夠反映他們真實的學習起點與認知障礙。他們在提出問題并嘗試解決的過程中，能夠積累數學經驗，提升批判性思維和創新性思維。提出有意義的問題是數學思考的起點。

“有意義”的問題有三個方面的特征：（1）指向問題本質，體現思辨性。（2）聚焦實際意義，驅動問題解決。（3）促進整體建構，形成結構化思維。也就是說，“有意義的問題”往往能夠直擊數學的本質，幫助學生理解數學內部的邏輯關系;能夠真實展現學生的認知沖突，激發他們解決問題的欲望;能夠指向內容的整體性，讓學生看到知識的基本元素、思想方法之間的關聯，形成結構化思維。

二、如何引導學生提出有意義的問題

“What、Why、How”為學生提出有意義的問題提供了腳手架。引導學生根據“3W”的問題框架提出問題，教師需要注意以下幾點。

（一）聯結“3W”問題框架與數學內容

問題提出的認知過程是聯結。[2] 提出“有意義的問題”關鍵在于將問題框架與數學內容進行聯結，從而引發學生產生認知沖突，發現或建構新的數學問題。在提出問題之前，需要確定問題的對象，也就是數學內容。提出的問題往往是與數、數量關系或空間形式相關聯的未知內容，也可以是與已知信息相關的關鍵內容。教師要幫助學生逐步學會將問題框架與數學內容進行聯結，借助3W原則形成問題，并用恰當的數學語言表達問題。如在學習“求一個數的近似數”時，學生提出“怎么用四舍五入法求大數的近似數”，就是將“How”和“四舍五入”這一方法進行聯結產生數學思考之后提出的數學問題。

在將問題框架與數學內容進行關聯的同時，學生需要了解不同知識的類型側重于研究的是“What”“Why”還是“How”。一般情況下，“What”指向陳述性知識，即對數學概念、定義、規則等的描述;“How”指向程序性知識即思想方法與技能，或是數學概念、經驗的形成過程;“Why”指向與反省相關的內容，即規則背后的原因。上述例子中，“四舍五入法求近似數”屬于程序性知識，一般與“How”聯結。

雖然實際學習中問題和內容聯結時會有所側重，但教師也應鼓勵學生沿著單元內容的概念主軸進行層層剖析，對某一個知識同時進行“3W”的探索，完善知識的建構。例如學生在閱讀中初步了解了四舍五入法（解決了“How”的問題）后會更關注“Why”，去尋找這個方法形成的源頭，從而提出“為什么是五入，而不是六入”“為什么一定要四舍五入”“四舍五入為什么只要看某一位上的數，舍去的卻是后面所有數”等問題。通過提出問題實現對知識的理解與建構，批判性地檢查方法形成的邏輯性，這是學生進行深度學習的基本表現之一。聯結“3W”問題框架提出問題，能夠幫助學生思考得更深刻，更全面。

（二）基于知識歸類與合情推理提出問題

學習者不能為了提問而提問，提出有深度的問題本身就是深度思考的表現。學生怎樣才能提出有深度的問題呢？教師需要引導學生對相關知識進行分類整理，在更大范圍內、更高層次上明確各知識點之間的縱橫聯系。在此基礎上通過比較、歸納發現異同點，從而產生疑問，形成數學問題。例如，在學習“三位數乘兩位數”單元時，學生在整理了兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數的計算方法后，用“以此類推”的方式表達對方法的總結。此時，教師可提出支架性問題“你還有什么疑問”，引導學生從數學知識的內在邏輯角度提出“為什么這些方法都差不多”“以后還學習四位數乘三位數的筆算乘法嗎”“小數乘法、分數乘法的計算也會跟整數乘法差不多嗎”等問題。在這個過程中，學生進一步將視角落到“核心概念”上，在歸納的基礎上主動思考計算技能背后的核心概念、數學規定的合理性和必要性等問題，進一步理解數學的本質。也就是說，教師要經常引導學生梳理知識，以形成結構網絡，將內容、問題結構與數學推理三者相融合，使得歸納和類比成為學生發現問題、提出問題的有效途徑。 [3]

三、如何圍繞“提出有意義的問題”組織教學

讓學生提出有意義的問題并自主整理單元內容，能夠提高學生的學習動機，促使其主動思考、交流、展示，有助于學生的全面發展。筆者以南欲曉老師執教的“大數的認識復習課”為例，談談如何引導學生圍繞整個單元內容提出有意義的問題，學會數學的思考。

（一）確定學習內容和問題框架

1.教師首先引導學生回顧“這一單元學了哪些內容，你覺得這個單元中的哪些內容讓你印象深刻”，然后組織全班進行交流，對本單元的知識進行梳理，提煉出本單元的主要學習內容有計數工具、億以內的數、億以上的數;具體的知識點有數位、計數單位、數級、改寫、近似數……

2.教師出示活動任務：我們要通過提出問題來對本單元的內容進行整理，可以圍繞What（是什么）、How（怎么樣）、Why（為什么）進行提問。教師同時在黑板上呈現“3W”和“內容”兩個獨立板塊，幫助學生區分問題框架和數學內容。

（二）關聯問題框架與數學內容

在關聯問題框架與數學內容時，教師可以采用先示范方法再引導遷移的方式進行教學，以促進學生深入思考。如以下教學片段。

1.示范方法。

師：如果圍繞大數的寫法提問，你會提出“3W”框架中的哪類問題？

生：提出“How”類問題，如“大數怎么寫”。

師：還有哪些內容也可以用“How”來提問并研究？

學生思考后相互交流：大數怎么讀？怎么找近似數？怎么用“億”或“萬”改寫一個大數……

2.引導遷移。

師：哪些內容我們要用“What”來研究？

學生同樣在思考后交流各自提出的問題：數級是什么？數位是什么？計數單位是什么？十進制是什么……

教師提出“這個單元的內容很多也很復雜，咱們可否把它們整理到表格中”這一問題，引導學生根據數位順序表整理所學內容，并進行比較與歸納。之后教師再次提問：“觀察每級的數位與計數單位的組成，你還能用What提出問題嗎？”有學生提出了“它們有什么相同的地方嗎”這一問題。通過全班交流與歸納，找到了它們之間的共同點：①都是以個級為標準;②4位一級;③相鄰計數單位之間是十進制。

師：圍繞本單元的內容，你能提出“Why”類問題嗎？

學生思考后進一步提出：為什么這么強調分級，為什么要改寫成用“億”或“萬”作單位……

以上過程，教師借助思辨性問題框架，引領學生經歷了對內容進行分類的過程。其中，將問題框架中的“是什么”與內容進行關聯時又可分為三個層次：首先，通過“是什么”對目標內容進行分類，明確哪些能用“是什么”來解決;其次，引導學生用表格對內容進行梳理，使得概念之間的關系更加明晰;最后，在結構化思考的基礎上重新構想提出新的問題，明確“個級”在數級中的“標準”意義，體會分級方法以及“十進制”。當然，在教學中引導學生“重新構想提出問題”可以安排在原問題解決之前，也可以安排在問題解決的過程中，還可以像上面課堂實踐中那樣安排在問題解決之后。

（三）依據問題整理數學內容

在“3W”框架的幫助下，學生提出問題以后，還要將問題進行匯總、整理。整理問題的過程也是整理數學內容的過程。

1.師生合作，匯總提出的數學問題。

數學問題匯總如下：①每級的數位，計數單位的組成有什么相同點？②怎樣準確地讀出一個多位數？③怎樣準確地寫出一個多位數？④如何用“萬”或“億”作單位，寫出一個數的近似數？⑤為什么有時要把一個多位數改寫成一個用“萬”或“億”作單位的近似數？

2.通過任務驅動，整理數學內容。

教師布置任務：通過小組合作，借助上述問題整理單元內容，畫出結構圖。在此基礎上，進行小組匯報、全班交流。

從上述案例中可以看出，教師主要通過三個步驟引領學生在“大數的認識”單元復習中提出有意義的問題：（1）回顧單元的關鍵內容，明確“3W”問題框架。（2）關聯問題框架與內容，提出有意義的問題。（3）依據數學問題理內容，聚焦數學核心內容。通過提問，引發學生對單元知識進行整理，建立知識之間的關聯，讓學生的數學思考逐步走向深入。

數學是在不斷發現問題、提出問題并對問題加以解決的過程中前進的。讓學生“會用數學的思維思考現實世界”可以從引導他們“提出有意義的問題”開始。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”[J].數學教育學報，2016（3）：1-5.

[2]徐斌艷，等.數學核心能力研究[M].上海：華東師范大學出版社，2019：45-48.

[3]史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：46.

（浙江省杭州市賣魚橋小學? ?310015）