基于學習路徑分析的“平行四邊形和梯形”單元整體教學

白常平 章勤瓊 羅嬌嫦

【摘? ?要】對“平行四邊形和梯形”的認識需要學生從邊的位置關系視角來認識四邊形。本單元要實現學生對四邊形的研究從整體感知到元素分析、從直觀水平到描述水平的跨越。基于學習路徑分析對單元教學進行整體思考，確定單元的核心目標有以下兩個，一是認識平行，有從直觀上不會相交以及平行線之間距離相等這兩個不同水平;二是利用平行的位置關系認識四邊形。根據對核心目標的理解水平進行劃分，確定學習起點和學習路徑。在此基礎上，對單元教學內容進行重新構架并設計相應的學習任務與教學活動。

【關鍵詞】學習路徑;單元整體教學;平行;平行四邊形和梯形

目前，單元整體教學已經成為小學數學教學與研究需要重點關注的內容，針對具體教學內容，對學生的學習路徑進行分析，可以為單元整體教學提供切實可行的思考框架（如圖1）。[1]

小學第二學段對圖形認識的要求是：對圖形自身特點的認識;對圖形元素之間、圖形與圖形之間關系的認識。具體到四邊形，學生需要經歷從整體直觀認知到從邊、角等元素進行分析的過程。對“平行四邊形和梯形”的認識是學生第一次從邊的位置關系視角來認識四邊形。那么，如何幫助學生建立對四邊形的研究，實現從整體感知到元素分析、從大小關系到位置關系、從圖形元素之間到圖形與圖形之間關系的跨越，達到對概念本質的理解呢？基于對學習路徑的分析，對“平行四邊形和梯形”單元進行整體思考和把握。

一、理解單元學習目標

（一）單元內容概述

人教版教材四年級上冊“平行四邊形和梯形”單元包括平行與垂直、平行四邊形和梯形的認識兩部分內容，關注平行、垂直與平行四邊形、梯形之間的內部邏輯關系。而北師大版教材則將這兩部分內容安排在四上和四下分開教學，更關注從線與形的區別來認識圖形。這兩個版本教材分別將目標定位如下。

人教版：通過觀察、操作等活動，使學生理解平行與垂直的概念;使學生經歷動手操作和自主探究的過程，掌握平行四邊形和梯形的特征;通過分類、比較、歸納等多種方式，理解平行四邊形、梯形、正方形、長方形之間的關系。

北師大版：（四上）結合生活情境，認識平面上兩條直線相交（垂直）和平行的位置關系。能借助三角尺、方格紙等工具或通過小實驗、折紙等方法獲得已知直線的垂線或平行線，發展空間觀念，積累數學活動經驗。（四下）經歷量、擺、拼等直觀操作活動，認識三角形、平行四邊形和梯形的特征，以及它們之間的聯系，進一步發展空間觀念。了解三角形、四邊形的分類情況。

通過對比得出，本單元的學習內容和要求主要有三個：理解平行與垂直的概念;掌握平行四邊形和梯形的特征;梳理四邊形之間的關系。

（二）單元核心目標

平行與垂直是兩條直線的特殊位置關系，是認識平行四邊形和梯形的基礎。平行四邊形和梯形之間的區別和聯系，它們與其他四邊形之間的關系，都取決于邊的位置關系，其本質特征是平行。同時，對平行概念的理解是幾何學習的開始，學好平行概念是為今后應用平行來解決問題打基礎，為后續進一步學習幾何推理、幾何證明等做鋪墊。[2]因此，建立平行概念是本單元學習的關鍵。

此前，學生已經積累了從邊和角的大小關系去認識圖形的經驗，對平行四邊形特征的研究是學生第一次從邊的位置關系（平行）去認識四邊形。對學生而言，邊的位置關系比大小、長度的關系更為抽象。從邊的位置關系來描述四邊形在教學中顯得尤為重要，因為有這個研究方法作為支撐，才有后面對梯形的研究，才能建立關鍵元素邊和角與圖形的聯結，掌握四邊形之間的關系。

因此，本單元的核心目標是認識平行和利用平行認識四邊形。

（三）核心目標具體化

1.認識平行

“平行”的定義為：在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線。平行概念具有直觀性，但不能僅憑直觀而確認，對于“不相交”，學生很難判定，需要進行相關的位置和度量分析。[3]也就是說，平行概念的建立需要將抽象的位置關系通過度量轉化為可測的具體表象：如果兩條直線間的垂直線段的長度處處相等，那么兩條直線平行;也可以從另一個角度看，如果兩條直線與第三條直線相交，形成的角度相等，這兩條直線平行，其中垂直于同一條直線的兩條直線互相平行是夾角相等的一種特殊情況。但利用角度對平行進行分析在小學階段不作要求。

因此，認識平行的內涵具體為：不僅要在直觀上理解不相交，還要能調用垂線、垂直線段、長方形等概念，形成“兩條直線之間的距離相等”的判定依據和方法。

2.利用平行認識四邊形

“利用平行認識四邊形”的內涵為：能關注四邊形中邊的位置關系，能利用不同的位置關系認識圖形，并對圖形進行分類。

對長方形的認識，能在角和邊大小關系認識的基礎上，利用垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，進一步認識長方形的兩組對邊互相平行，繼而理解長方形是特殊的平行四邊形。在對平行四邊形的研究中，能關注四邊形邊的位置關系，能從平行的角度去認識平行四邊形的本質特征是兩組對邊分別平行，并能運用特征進行判斷。能遷移運用研究平行四邊形的方法研究梯形的特征，能從平行的角度對平行四邊形和梯形進行分類。能用角和邊兩個關鍵元素構建四邊形之間的關系網絡圖。

二、確定學習起點

為了解學生對核心目標的理解水平，對一所學校四年級兩個班的44名學生進行前測。根據目標，設計評價任務，制定評分標準，并結合調查數據對學生的理解水平進行統計分析。

學生對“平行概念”的理解可以分成以下不同水平：水平0，不能正確判斷平行線，概念不清;水平1，能正確判斷最基本的平行線，不能說明理由;水平2，能正確判斷基本的平行線，能從直觀視角說明不相交;水平3，能正確判斷平行線，并能從等距視角說明不相交;水平4，能正確判斷平行線，并能從方向、角度上說明不相交。通過測試題（如圖2）對學生進行前測。

通過前測發現處于水平0的學生不理解平行的概念，不清楚平行是表示兩條直線的位置關系，認為只要是平的線就是平行線而選擇了所有選項，還有學生將平行與垂直概念混淆而選擇了②和⑦。大多數學生能理解直線無限延長，能判斷最基本的平行線。學生對平行的理解大多處于直觀水平，只有12%的學生能從等距視角證明不相交。從角度上說明不相交，學生難以理解，因此沒有出現。對長方形和平行四邊形的判斷中，學生大多選擇長方形而非名字中含有平行的平行四邊形，這也正說明學生對于利用平行認識圖形的經驗和認知欠缺。

基于學生對“利用平行認識平行四邊形”的理解，可借助測試題“給出多種圖形讓學生判斷是否平行四邊形，并說明理由”進行前測。

通過前測發現幾乎所有學生都能判斷最基本的平行四邊形，但能判斷出長方形和正方形也是平行四邊形的學生很少。這說明學生對平行四邊形的判斷多停留在最基礎的直觀水平。在寫判斷理由時，學生大多能關注邊和角的特征，但不能關注它們之間的關系。如很多學生能寫出“都有兩個銳角和兩個鈍角”等判斷方法，但只有15.9%的學生能從位置關系的角度來說明判斷理由。

因此，對平行的直觀判斷和利用邊和角的大小關系研究四邊形是學生的認知起點;對平行的描述分析和利用平行去認識四邊形是學生的認知難點。

三、分析學習路徑

基于以上分析，從整體教學來看，本單元教學應分為兩個階段：一是認識平行，二是利用平行認識四邊形。利用平行認識四邊形要求學生先建立平行概念，而整體認識平行又要求以垂直作為基礎。因此，將單元學習路徑確定為：相交與垂直—認識平行—平行四邊形的認識—梯形的認識—四邊形之間的關系。

之所以要先認識相交與垂直，首先，是因為學生對角度的理解比對平行關系的理解更為容易。在學習垂直之前，學生已經有了相交、直角等前概念，有了畫直角的經驗，它們都與垂直聯系緊密，這為學生理解垂直概念奠定了基礎。其次，理解平行概念除了直觀感知，還要借助“平行線之間的距離處處相等”和“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”等概念，進一步從方向、等距、角度等視角進行度量分析，利用定義、性質、判定等角度對平行概念進行全面構建，垂直是理解平行的基礎。需要注意的是，在垂直、距離等概念和畫圖技能建立后，學習平行的概念時還要教學畫平行線的內容。畫平行線不僅是操作的技能，更是從等距視角深入理解平行的腳手架。畫平行線可以為后面畫長方形提供方法支撐，為平行四邊形和梯形的研究積累基本活動經驗，為幾何推理奠定基礎。[4]

平行概念建立后，通過教學畫長方形喚醒學生研究圖形特征的活動經驗。學生已經經歷了從邊與角兩個維度去認識圖形特征的過程，在這里再回顧對長（正）方形的認識，主要是看邊與邊之間的長度關系，拓展“從邊的位置關系去認識長方形”的內容。

接著學習平行四邊形的特征，讓學生自覺關注從邊的位置關系去考慮圖形的特征，并且能利用本質特征去判斷平行四邊形。在此基礎上學習梯形特征，引導學生運用認識平行四邊形特征的基本方法，即要認識一個四邊形就要觀察、探索這個圖形邊的關系與角的關系，進而認識梯形的本質屬性[5]，這也是對研究圖形方法的鞏固。

學生對于這幾種圖形的并列、從屬等關系的理解其實是非常困難的，因此在基本概念建立后再來學習圖形之間的聯系，幫助學生真正建立起關鍵元素與圖形的聯結，經歷從知識到方法再到數學思想的提升。

四、單元整體教學思考

基于以上的學習路徑，“平行四邊形和梯形”單元的教學可以進行如下的重新架構：相交與垂直—畫垂線—點到直線的距離—平行—畫平行線—解決問題（畫長方形）—平行四邊形的認識—梯形的認識—四邊形之間的關系。這樣，把原來的平行與垂直分成兩課時，將相交與垂直、畫垂線安排在一個課時，先認識垂直，在畫垂線、距離的基礎上學習平行，同時增加畫平行線的內容，將四邊形之間的關系單獨列為一課時。以下為每課時的學習目標和學習任務（如表1）。

參考文獻：

[1]章勤瓊，陳錫成.基于學習路徑分析的小學數學單元整體教學思考框架[J].小學教學（數學版），2021（3）.

[2]李冬冬.學生對平行概念認知的調查研究[D].杭州：杭州師范大學，2018.

[3]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：華東師范大學出版社，2009.

[4]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.“平行與垂直”的教學內涵與設想：基于教材編寫的幾點討論[J].小學數學教師，2017（3）.

[5]朱樂平.讓學生經歷概念的定義過程：談認識梯形的教學[J].小學教學（數學版），2019（7/8）.

（1.浙江省溫州市道爾頓小學? ?325000 2.溫州大學教育學院? ?325035）