基于前置 審辯說理 揭示本質

陳銀 邵虹

【摘? ?要】“三角形的三邊關系”是小學數學教學的重點內容之一，在實際教學過程中，學生常常出現只關注“圍成”或“圍不成”的外在形式，陷入重形式記憶、棄本質理解的怪圈。研究團隊嘗試發揮審辯式思維在數學教學中的作用，突破原有思維定式進行教學。形成的新設計基于前置性學情診斷，通過“曝光”學生的認知差異和分歧，聚焦“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的數學本質。教學中還應重視三邊關系結論的理性分析，構建遞進式的學習階梯，滲透確定三角形的充分且必要條件，促進學生數學思維水平的提升。

【關鍵詞】審辯式思維;小學數學;三角形的三邊關系

【課前慎思】

三角形相關知識是“圖形與幾何”領域的重要內容，是認識多邊形的基礎。三角形也是最簡單、最基本的幾何圖形，它的研究內容、研究路徑、研究方法具有一定的普適性。其中，對于“三角形的三邊關系”這一知識點，現行的各版本教材無一例外地都是先給出一組或幾組確定長度的材料，讓學生進行操作以確定三邊關系。而事實上，學生在操作判斷時多依靠直覺思維，只關注“圍成”或“圍不成”的外在形式，缺乏對三邊關系的理性分析。因此，落實“三角形的三邊關系”的教學目標，不僅要讓學生積極參與拼搭三角形的實踐操作，更應引導學生在反思質疑中明晰探究問題，在對比辨析中理解“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的性質，在推理論證中掌握“較短兩邊之和大于第三邊”的判定方法。

筆者所在的研究團隊試圖突破原有的思維定式進行教學設計，發揮審辯式思維在數學教學中的作用，基于前置性學情診斷，“曝光”學生的認知差異和分歧，聚焦“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的數學本質，重視三邊關系結論的理性分析，構建遞進式的學習階梯，滲透確定三角形的充分且必要條件，促進學生數學思維水平的提升。

【課堂寫真】

（一）基于前置，聚焦問題

1.出示任務：從學具袋中抽取三根拼條圍一圍，看能否圍成三角形。

生：我圍成了三角形。

生：我沒有圍成三角形。

2.揭示課題：什么樣的三條線段能圍成三角形呢？今天我們就來研究三角形的三邊關系。

3.展示前測材料。

（1）出示前測問題。

師：課前，我們做了一份調查卷（見圖1），一起來回顧。

（2）請學生猜想同學們的判斷結果，并出示數據（見圖2）。

師：哪幾組意見比較一致？

生：第④組和第⑤組大家都覺得能圍成。

（二）命題轉換，理性分析

1.引導學生觀察。

師：請大家看第④組小棒（5cm，5cm，5cm），它有什么特別的地方？

生：三條邊的長度一樣。

2.展示學生判斷的理由（如圖3）。

3.介紹學具。

師：“畫”確實是一種研究方法，但有一定困難，我們可以借助這樣的拼條來進行研究（見圖4）。

4.第一次審辯活動。

師：三邊相等就一定能圍成三角形嗎？是不是圍成三角形時三邊一定相等？

生：三邊相等一定能圍成三角形，比如都是4cm或8cm時一定可以圍成三角形。

生：但能圍成三角形時不一定三邊相等，我們的黑板上就有反例。

5.操作驗證。

師：請大家看前測中的第⑤組小棒（8cm，12cm，10cm），三條邊不一樣長，大家都覺得能圍成三角形，真的能圍成嗎？請你拼一拼。

生：能圍成，而且圍成的是形狀、大小一樣的三角形。

師：當圍成三角形的三條線段長度固定時，圍成的三角形的形狀、大小都是一樣的。

（三）設置沖突，審辯說理

1.提出猜想。

出示前測中學生對第⑤組小棒能否圍成三角形的判斷理由，并進行解釋（如圖5）。

猜想1：只要有兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形。

猜想2：任意兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形。

猜想3：較短兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形。

追問：任意是什么意思？

生：隨便選。

生：三組中兩邊的和跟第三邊比都要長。

師：同學們都在研究兩邊之和大于第三邊，有人認為是“只要有”，有人認為是“任意”，還有人認為是“較短”兩邊之和大于第三邊時，就能圍成三角形。這些都還只是我們的一種猜想，接下來我們來驗證。

2.第二次審辯活動。

（1）選擇：任選一個猜想進行研究（見圖6）。

（2）驗證說理：拼一拼、算一算。

（3）結論：猜想是否成立？

3.交流討論，發現結論。

（1）研究“任意兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形”。

生：我研究了“4cm，5cm，8cm”和“8cm，10cm，4cm”這兩組數據，發現都能圍成三角形，因此猜想2是成立的（見圖7）。

師：是不是其他能圍成三角形的三條邊之間也都具有這樣的關系呢？請你選擇一個圍成的三角形，像這樣寫一寫，并在四人小組中進行交流。（生寫并交流）

師：看來圍成的三角形一定是任意兩邊之和大于第三邊。如果一個三角形的三條邊的長度分別是a、b、c（如圖8），你還能用算式表示三條邊之間的關系嗎？

生：a+b>c，a+c>b，b+c>a。

（2）研究“較短兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形”。

生：我研究了“4cm，5cm，8cm”和“10cm，8cm，5cm”這兩組數據，前一組數據中最短兩邊是4cm和5cm，4+5>8，后一組數據中8+5>10，發現它們都能圍成三角形，因此猜想3是成立的。

師：為什么剛才我們比了3次，現在只要比1次就可以了呢？

生：短的兩邊之和比最長的邊還要長，那么剩下的兩組肯定比第三邊長。

總結：看來滿足“較短兩邊之和大于第三邊”一定滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。

（3）研究“只要有兩邊之和大于第三邊，就能圍成三角形”。

生：我研究了“3cm，5cm，10cm”這一組數據，發現它是圍不成三角形的，因為3+5<10，只要有一個條件不符合就說明這個猜想是不成立的。

師：還有不同的例子嗎？

生：“4cm，8cm，12cm”這一組也是圍不成的，因為4+8=12。

師：真的圍不成三角形嗎？

生：兩條短的邊加起來正好等于最長的邊，重合在一起了。

師：大家聽明白他的意思了嗎？在操作中我們的觀察有可能沒有這么細微，借助幾何畫板再來觀察一下（見圖9）。

師：只要有一組不符合兩邊之和大于第三邊的判定原理，也就不符合任意兩邊之和大于第三邊，是圍不成三角形的。

4.驗證思辨。

師：通過剛才的研究，我們發現有些猜想是成立的，有些猜想是不成立的，哪個結論適用于所有的三角形呢？

生：我覺得圍成的三角形，一定滿足“任意兩邊的和大于第三邊”，因為“任意”包含了“較短”的情況。

生：三邊相等的情況也符合這個原理，我們可以用算式來說明5+5>5。

師：通過研究我們發現圍成的三角形一定滿足“任意兩邊之和大于第三邊”。再思考一下，如果三條線段滿足“任意兩邊之和大于第三邊”，就一定能圍成三角形嗎？請你自主選擇三個數據來驗證一下。

生：我研究了“12cm，8cm，10cm”這一組數據，8+10>12，3+5>4，4+5>3，用拼條確實能拼成三角形。

生：我研究了“3cm，4cm，5cm”這一組數據，3+4>5，3+5>4，4+5>3，用拼條確實能拼成三角形。

師：如果是“15cm，20cm，18cm”這一組數據，能圍成嗎？

生：15+20>18，15+18>20，20+18>15，可以圍成。

（教師借助幾何畫板進行驗證）

師：真的能圍成三角形。還有嗎？四人小組交流你們的發現。

總結：看來圍成的三角形一定滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊時一定能圍成三角形。“任意”很重要，它包含了所有的情況，把這個結論說給你的同桌聽一聽。

（四）揭示本質，拓寬應用

1.第一層次：判斷是否能圍成三角形。

出示題目（見圖10）：

師：有人能很快地判斷，你們是怎么想的？

生：只要最短的兩條邊的和與第三邊進行比較就可以了。

師：第③組為什么不能圍成三角形？

生：因為2+9<15，所以圍不成。

2.第二層次：想象觀察三角形的形狀。

師：請你想象一下它們分別圍成了一個怎樣的三角形。

生：第①組中有兩條邊一樣長，是等腰三角形。

生：第②組有點像直角三角形。

師：真的是這樣嗎？我們用三角尺中的直角來比一比，真的是直角三角形。

師：這三個三角形之間有什么聯系嗎（見圖11）？

生：一條邊都是10cm，另外兩條邊之和都是14cm。

3.第三層次：你還能畫出符合要求的三角形嗎？

師：像這樣一條邊是10cm，另外兩條邊的和是14cm的三角形還有嗎？

生：另外兩條邊可以是4cm和10cm，3cm和11cm，2cm和12cm，1cm和13cm。

生：2cm和12cm，1cm和13cm不可以，因為2+10=12，1+10<13，不符合任意兩邊之和大于第三邊。

4.第四層次：最短是幾厘米？

師：如果邊長是整厘米數，三角形的邊最短可以是幾厘米？

生：最短是3厘米。

師：如果邊長不是整厘米數，三角形的邊最短又可以是幾厘米呢？

生：可以是2.1cm，還可以是2.01cm，只要比2cm大都可以。

根據學生的反饋，借助幾何畫板分別畫出圖形（如圖12）。

5.第五層次：感受橢圓的產生。

師：如果把這些三角形的頂點連起來，會形成一個怎么樣的圖形呢？請你用手描一描（見圖13）。

總結：三角形的三邊關系跟數學中的某些圖形也是有聯系的。

【課堂評析】

（一）基于前置任務，曝光真實思維，聚焦核心問題

本課教學前，學生已經學過三角形的概念、三角形的穩定性及其應用，會根據表象判斷小棒能否圍成三角形。但是，這些判斷多數屬于直覺思維，缺乏科學依據與理性分析。比如，學生對“5cm，5cm，5cm”這組小棒圍成三角形的識別率高，很大程度是受到了等邊三角形的直觀影響，而對“4cm，12cm，8cm”這組小棒能否圍成三角形的判斷就存在較大分歧，原因在于對“三邊關系”的誤解，缺乏空間想象和推理能力。

課始，教師借助前測數據，將學生的思維可視化，“曝光”了學生的真實思維狀態。順勢提出富有挑戰性的問題：“三邊相等就一定能圍成三角形嗎？是不是能圍成三角形時三邊一定相等？”引導學生評估結論的可靠性，通過應用和命題轉換，來識別結論中的偏見和漏洞。學生通過找反例的方式進行說理：“8cm，12cm，10cm三條邊不一樣長，但是也能圍成三角形。”滲透三邊關系結論的理性分析、確定圍成三角形的充分且必要條件，創設探究空間，促進學生數學思維水平的提升。

（二）制造認知沖突，經歷三次審辯，凸顯概念本質

“為什么三角形任意兩邊之和大于第三邊”，在以往的教學中，教師大多給定小棒請學生圍三角形，有的能圍成，有的不能圍成，進而采用不完全歸納法得出三邊關系的結論。本課教學中，教師則是通過學生自主提出的三個結論制造沖突，增強學生的審辯意識。通過三邊能否圍成三角形的實踐操作和課件動畫演示，引導學生尋找理據，理性分析“三邊的長度與能否圍成三角形之間具有怎樣的聯系”，探究當“較短兩條線段的和小于或等于第三條線段”時，這三條線段不能圍成一個三角形，并進一步認識三角形的三邊關系，即“較短兩邊之和大于第三邊”“任意兩邊之和大于第三邊”。這一過程打破了思維定式，避免探究的形式化，通過審辯結論的真偽或部分為真的方式，掌握“三角形三邊關系”的判定方法，培養了學生的辨異能力、反駁能力和元認知能力，進而發展了學生的數學審辯思維能力。

此外，執教教師精心設計了分類任務卡，不同的顏色代表不同的研究任務。這些任務卡既提供了研究素材，又給出了研究方法——猜想、舉例、驗證、說理，給予學生足夠的自主探究空間，使其不斷豐富和積累數學活動經驗。

（三）設計變式練習，開闊數學視野，發展空間觀念

在“揭示本質，拓寬應用”環節，教師設計了變式練習，以““7cm，7cm，10cm”“6cm，10cm，8cm”“15cm，2cm，9cm”“5cm，9cm，10cm”這四組小棒能否圍成三角形為起點，首先引導學生掌握“兩條短邊之和大于第三邊”的判定方法;接著觀察想象圍成的三角形的形狀，感悟三角形的穩定性（唯一性）;然后固定一邊長度，推算其余兩邊長度來反向思考三邊關系，建立三邊關系與兩點間線段最短的實質性關聯;最后通過動態演示引導學生發現符合條件的三角形頂點連接后會形成一個橢圓，拓寬了知識面。在這個環節中，教師不斷變化問題情境，對一道習題進行優化組合，一題多用，一題多解，呈現性質的正例、反例，引導學生進行辨別判斷，點燃了學生的思維火花。設置開放的數學問題，既豐富了學生對三角形三邊關系的認識，又加深了學生對三角形三邊關系的理解，還發展了學生的空間想象和應用能力。

（1.浙江省杭州市天長小學? ?310006 2.浙江省杭州市上城區教育學院? ?310002）