換一種路徑 成就一片精彩

陸建英

【摘? ?要】“平行與垂直”的教學路徑有多條，最常見的是引導學生通過對任意兩條直線的分類，逐步抽象概括概念。教師基于對學生前測情況的分析，對常規教學路徑進行了調整，以“學生心目中的平行（垂直）”為起點展開教學，通過組織學生進行展示交流、辨析質疑等活動，逐步完善學生對概念內涵的理解，并最終引領學生實現對概念的關系化理解，為“平行與垂直”的教學提供了一條可實施的教學之路。

【關鍵詞】平行;垂直;學習起點;以學定教

【課前思考】

“平行與垂直”屬于“圖形與幾何”領域的內容，研究的是同一平面內兩條直線的特殊位置關系。教材提供的教學路徑是：①請學生嘗試在一張紙上任意畫出兩條直線;②引導學生通過觀察，對所畫圖形進行分類，引出相交和不相交兩個概念;③在不相交的基礎上建構平行概念;④通過測量兩條直線之間的距離學習垂直概念。這一路徑基于知識的邏輯起點展開，學生較充分地經歷了概念的形成過程。但知識的邏輯起點不等同于學生學習的序列起點，為了解學生對“平行與垂直”有哪些前概念，對某校四年級324名學生進行了前測，前測分A、B組進行，測試題和結果如表1。

從前測結果看，學生對這兩個概念有一定的認識，A組學生因為可以借助格子圖表達理解，所以整體表現略好于B組。對能正確畫出平行線的學生進行訪談發現：A組學生借助格子圖，能夠從距離的維度判斷兩條直線是否平行，描述比較規范。B組學生則更多地從方向的角度闡述兩條直線是否平行，在描述對平行的理解時很難做到表述清晰。同時發現，或許是受到日常生活經驗和舊有概念、字面意思等的影響，學生對“平行與垂直”存在著錯誤的前概念，如認為平行是一條平的線，垂直是一條豎直的線，等等。

根據前測分析得出，以下幾個問題值得關注：①學生表達心目中的平行和垂直，使用方格圖是否比使用白紙更有價值？②采用怎樣的方式，能讓學生對錯誤的前概念進行重點分析，構建正確的認知？③如何溝通垂直、平行、相交三者之間的關系，促進概念的內化？

結合課前思考，決定通過挖掘學生原有認知，調動學生多種感官，重新設計教學路徑：暴露學生心目中的平行與垂直—師生探討完善平行概念—學生自主建構垂直概念—練習中建構概念關系。以引導學生經歷嘗試、探究、發現的過程，讓學生成為學習的主人。

【教學實踐】

（一）基于學生前概念，完善平行線認知

1.引入

師：同學們，昨天請大家畫一畫自己心目中的平行線，主要有以下幾種畫法（出示圖1），誰來說說你畫的是哪一種，你是怎么想的？

2.交流

生1：我畫的和作品A一樣，我覺得平行就是一條平平的線。

生2：平行線應該有兩條吧，要不它和誰平行呢？

生3：你畫的是一條直線，如果它是平行線，那為什么還叫它直線呢？

師：看來大家對把這樣一條直線看成平行線有不同的意見。

生4：我畫的和作品B一樣，我覺得平行就是平行四邊形。

生5：我畫的和作品C一樣，我覺得平行就是兩條線，它們和操場上直直的跑道一樣，無論怎樣都不會碰到一起。

生6（明知故問）：你怎么證明這兩條線不會碰到一起呢？

生5：這兩條線之間一直保持一個格子的寬度，肯定不會碰到！

3.逐步完善平行線概念

師：你們覺得今天要研究的平行是哪個作品呢？（作品C）看來同學們對平行線已經有了自己的一些了解。（課件呈現一組平行線，如圖2）讓我們一起來想象一下，如果這兩條直線延長下去，它們會相交嗎？（不會）在數學上，像這樣不相交的兩條直線稱為平行線，也可以說這兩條直線互相平行。誰能說說，兩條平行線為何不會相交？

生1：這兩條直線之間始終是兩個格子的寬度，所以不會相交。

生2：如果兩條直線中間是3個格子，也是平行線，只要格子數量始終相同，就不會相交。

教師隱去格子圖，對上圖中的平行線進行旋轉（如圖3-1），追問：現在這兩條直線還平行嗎？現在呢（如圖3-2）？

生3：還是平行的，因為不管怎么旋轉，延長后它們始終不會相交。

師：你們的意思是只要這兩條直線永遠不相交，它們就是平行線了，對嗎？

生3：對！

師：一定是這樣嗎？

教師出示魔方和兩支鉛筆（如圖4-1），追問：把這兩支鉛筆想象成兩條直線，它們的位置關系屬于什么？

生4：互相平行。

師：轉動后（如圖4-2），現在這兩條直線會相交嗎？

生5：不會。

師：根據剛才的結論，兩條不相交的直線叫作平行線，那么這兩條直線也不相交，所以它們也是平行線，你們同意嗎？

生6：不同意，這肯定不能叫平行線。

生3：我明白了，這兩條直線現在不在同一個平面了，平行線必須在同一平面內。

（設計意圖：以上教學基于學生“心目中的平行”，先利用學生已有的認知，引導學生通過交流、辨析、質疑，去偽存真，引出平行線概念，再借助格子圖幫助學生獲得對平行線本質的直觀理解，接著通過旋轉變式促使學生對平行的理解由特殊走向一般，最后巧用魔方突破“同一平面”這一難點，使概念嚴謹化。）

4.在判斷平行中引出相交

教師呈現練習（圖5-1至圖5-4），在學生正確判斷的基礎上追問：

（1）如果改變圖5-3中一條直線的方向，這兩條直線之間會是什么關系？（兩條直線相交）

（2）圖5-4中的兩條直線平行嗎？如果不平行，它們大約會在什么位置相交？（課件演示延長后相交）

（設計意圖：概念的認識是一個逐步明晰、逐漸完善的過程，即時練習可以幫助學生自我修正、自我完善，是一種有效的學習方法。練習中變換平行線中一條直線的位置引出相交，過渡自然，并為后續垂直的學習做好了鋪墊。）

（二）基于學生自學力，建構垂直概念

1.引入垂直

教師呈現學生畫的“垂直”的作品（如圖6），提問：大家畫的“垂直”到底對不對呢？請自學書本（人教版教材四年級上冊第57頁），相信你們會有新的收獲！

反饋中明確：垂直是兩條直線相交成直角，所以只有作品C中的兩條直線互相垂直。

2.自學反饋

師：垂直中還有很多小秘密，誰來當當小老師，考考大家？

隨機請“小老師”提問，請其他同學回答：①你們知道什么是垂足嗎？②垂直的數學符號怎么寫？之后，請學生標注a，b，并請一位同學上來寫一寫。

3.練習

教師用課件動態演示“垂直”的變式情況，豐富學生對垂直的認識（如圖7）。

小結：垂直是要看兩條直線是否相交成直角，與擺放的方向和位置無關。

（設計意圖：讓“小老師”根據自學所得和同學進行互動，比簡單地問“你學到了什么”更能激勵學生。教師通過垂直的變式練習引導學生經歷想象、推理等過程，讓學生在運動變化中明晰垂直的本質屬性，助力學生建構空間觀念。）

（三）練習中溝通概念關系

1.基本練習，明確關系

教師呈現幾組直線，請學生判斷哪幾組互相平行，哪幾組互相垂直，并在練習紙上填一填。學生填寫后，教師引導學生邊反饋邊分類，并用集合圈表示出來（如圖8）。

師：請你根據集合圖說說平行、相交和垂直之間的關系。

生1：垂直是相交的一部分，相交的圖形中包含了垂直。

生2：同一平面內兩條直線的關系可以分成平行和相交，兩條直線相交不一定互相垂直，但是兩條直線互相垂直，就一定是相交。

（設計意圖：這一練習的設計不僅讓學生判斷平行與垂直，鞏固基本概念，還借助材料幫助學生自主發現相交、垂直、平行之間的聯系和區別，促進學生對概念的理解從分析水平走向關系水平。）

2.活動練習，豐富經驗

數學小游戲：用兩根手指比畫平行與垂直。

3.觀察練習，建立聯系

教師課件演示，先出示一組平行線，然后旋轉其中的一條直線，讓兩條直線之間的關系逐步變為相交，特殊相交（垂直），再重回平行。學生在觀察的過程中，感受兩條直線位置之間的關系。

（設計意圖：以上練習能夠培養學生“用數學的眼光觀察現實世界”的意識，有效發展學生的空間觀念，幫助學生加強概念之間的聯系。）

【教學反思】

（一）改造“平行與垂直”前概念，推動自主學習

本節課的教學，通過前測摸準了學生學習的現實起點，充分關注學生已有的生活經驗和知識基礎，培養了學生的學習自主性。主要體現在：第一，以“學生心目中的平行（垂直）”為教學切入點，充分暴露學生的原有認知。學生的前概念雖然有不完備之處，但卻是學生的真實認知，與學生的心理距離很近，而前概念的不完備性恰恰又是學生相互交流、辨析、質疑的有效素材，能最終促進其概念的完善。第二，整個教學過程中，教師注重發揮學生的主體地位，強調學生學習的自主性和獨立性，通過自學和“小老師”的介紹引發所有學生的共鳴和疑惑，讓學生經歷思維的碰撞，從而獲得對平行與垂直的深度理解。第三，幾項練習既幫助學生建立了知識與生活間的聯結，又激發了學生學習的主動性和創造性，促進學生的概念理解走向深入。

（二）重視空間想象，促進能力培養

在數學教學活動中教師應當重視并通過多種途徑培養學生的空間想象能力。本節課中教師引導學生進行了多次積極的實踐嘗試：①對平行線延長后不相交的情況進行想象;②利用魔方引導學生進行觀察、對比，想象同一平面與不同平面中兩條直線的位置關系，認識到不相交的兩條直線不一定是平行線，一定要補上“同一平面內”這個條件;③對看似沒有相交、實際卻相交的兩條直線進行想象，推測并驗證它們延長后的交點;④對相互平行或垂直的兩條線進行旋轉或變化，通過對變式圖形與標準圖形的比較，深化對概念的本質理解。由此，學生的空間想象能力得到了進一步的提升。

在“圖形與幾何”領域的學習中，教師要積極調動學生的多種感官參與學習，既要重視學生的實踐操作，更要引導學生觀察、比較、想象和進行數學抽象;既要為學生提供標準圖式，又要呈現各種變式，把培養學生的空間想象能力落到實處。

（三）夯實概念內涵，建構概念聯系

從前測情況看，大部分學生對“平行與垂直”的概念理解停留在直觀水平。教師以此為教學起點，通過展示、交流、辨析、質疑等活動，逐步完善學生對概念的理解，使學生對概念的理解走向要素水平。但明確概念內涵、分化相關概念并非本課教學的最終追求，求異的目的實為求聯，學生通過學習實現對概念的關系化理解。教學中設計的一系列練習活動，在豐富學生對概念內涵理解的同時，最終建構了三個概念間的并列、包含關系，切實促進學生的認知從要素水平走向關系水平。

參考文獻：

[1]朱國榮.教無定法 殊途同歸：《平行與垂直》同課異構的對比分析[J].小學教學設計，2015（10）.

[2]鄭水忠.小學兒童學幾何[M].上海：上海教育出版社，2017.

（浙江省寧波國家高新區外國語學校? ?315048）