聚焦問題解決過程 指向數(shù)學(xué)能力發(fā)展

曹冠軍

【摘? ?要】聚焦問題解決過程，引導(dǎo)學(xué)生采用“四自評(píng)價(jià)”的學(xué)習(xí)方式，明白所要解決的問題，找到解決問題的策略，反思解決問題的結(jié)果，總結(jié)解決問題的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】問題解決;四自評(píng)價(jià);能力發(fā)展

在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自問，學(xué)會(huì)自我評(píng)價(jià)，組織學(xué)生經(jīng)歷自理、自探、自省、自悟的“四自評(píng)價(jià)”學(xué)習(xí)過程，逐漸提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、“理”題意

能否正確理解題意是問題解決的關(guān)鍵，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自問：我知道了什么？通過自我評(píng)價(jià)學(xué)會(huì)簡化、提煉題目信息，對關(guān)鍵信息展開聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)信息的延伸。

（一）我會(huì)簡化

【案例1】分段收費(fèi)

某市出租車計(jì)費(fèi)方法如下：3km以內(nèi)10元;超過3km的部分，1km1.5元（不足1km的按1km計(jì)算）。媽媽打出租車行駛的里程是8km，需要付多少錢？

層次一：我會(huì)用列表法和圖示法簡化題目信息（如圖1）。

層次二：基價(jià)費(fèi)+超量計(jì)價(jià)費(fèi)=總金額，分段收費(fèi)和“部分+部分=總數(shù)”的結(jié)構(gòu)相似（如圖2）。

層次三：生活中的電費(fèi)、水費(fèi)、停車費(fèi)也會(huì)用到這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

學(xué)生用直觀的數(shù)學(xué)語言來理解和表述題意，還原知識(shí)的本意，概括出數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題模型的轉(zhuǎn)化。

（二）我能聯(lián)想

【案例2】圓柱與圓錐的練習(xí)

一個(gè)圓柱的體積和底面積分別于一個(gè)圓錐的體積和底面積相等，圓柱的高是9cm，圓錐的高是（? ? ）。

層次一：等底等高的圓柱和圓錐體積比是3∶1，圓錐的底面積不變，體積要擴(kuò)大3倍，只能高擴(kuò)大3倍（如圖3）。

層次二：我能用列表法（如圖4）解題，圓柱和圓錐的體積和底面積都相等，所以我用等號(hào)把它們連接起來，假設(shè)圓柱的底面積是1cm2，通過它們的關(guān)系可以求出其他未知的量。

通過梳理，將文字轉(zhuǎn)化成圖形和表格等形式，學(xué)生就能很快厘清圖形間的數(shù)量關(guān)系，很好地將關(guān)注點(diǎn)由“如何通過計(jì)算去求得未知數(shù)”轉(zhuǎn)向“相關(guān)信息之間的關(guān)系分析”。這樣通過信息間的聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算前“想圖形”的意識(shí)，發(fā)展空間觀念。

二、“探”策略

學(xué)生理解題意后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自問：我會(huì)怎么解答？通過自我評(píng)價(jià)把題目中的關(guān)系用線段圖等可視化工具表征出來，把內(nèi)隱的關(guān)系外顯化，厘清數(shù)量關(guān)系。

（一）我會(huì)用圖示表征

【案例3】小數(shù)加減法

有一筐蘋果，連筐重76千克，賣出一半后，連筐重38.8千克，原來蘋果和筐各重多少千克？

層次一：我知道76÷2表示什么。把一筐蘋果“劈”成兩半，76÷2表示半筐蘋果和半個(gè)筐的重量之和（如圖5）。

層次二：我會(huì)用圖示表征找到其中的數(shù)量關(guān)系（如圖6），我發(fā)現(xiàn)賣出的蘋果是原來蘋果的一半，剩下的蘋果也是原來的一半，賣出的蘋果的數(shù)量等于剩下的蘋果的數(shù)量。

層次三：我能借助圖式的有序變化發(fā)現(xiàn)新的數(shù)量關(guān)系，比較兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，通過相互抵消求出另一個(gè)量（如圖7）。

層次四：我會(huì)創(chuàng)編題目（如圖8），倒出前后的質(zhì)量差就是倒出的幾份，可以求出倒出的一份是多少。

學(xué)生通過自探，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，強(qiáng)化對單位“1”的理解。借助直觀圖式，厘清數(shù)量關(guān)系，從具體形象思維慢慢向抽象邏輯思維發(fā)展。

（二）我能多元表征

【案例4】分?jǐn)?shù)乘法的意義

3/4×1/3表示什么意思？

各層次表述如表1所示。

矩形圖、線段圖是常見的數(shù)量關(guān)系多元化的表征方法，教師需要引導(dǎo)學(xué)生圍繞相關(guān)概念的本質(zhì)，對不同的表征進(jìn)行合理、科學(xué)的分類和歸納，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

三、省“結(jié)果”

學(xué)生解決問題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自問：我解答得正確嗎？通過自我評(píng)價(jià)不斷強(qiáng)化學(xué)生自我檢驗(yàn)和反思的能力，從而積累大量的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，逐漸形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

（一）我會(huì)一題多解

【案例5】組合圖形的面積

老師計(jì)劃在客廳（如圖9）鋪地板。請幫老師計(jì)算需要多少平方米的地板。

層次一：我知道求組合圖形面積的一般方法——割和補(bǔ)。我能找到轉(zhuǎn)化后圖形的條件，并利用面積公式求出其面積（如圖10）。

層次二：我還能利用倍積變形方法來求組合圖形的面積（如圖11）。

層次三：我能利用分割后兩個(gè)圖形的寬相等，把兩個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成一個(gè)大長方形（如圖12）。

學(xué)生通過自省，不僅能夠檢驗(yàn)答案的合理性，也可以發(fā)現(xiàn)解題策略的多樣性。學(xué)生不僅掌握了求組合圖形面積一般的方法，還想到了倍積變形，充分利用條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化。最后完成對思路的整合：不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。

（二）我能解釋答案

【案例6】用字母表示數(shù)

三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，最小的是N，最大的是（? ? ），這三個(gè)數(shù)的和是（? ? ），它們的平均數(shù)是（? ? ）。

第三個(gè)填空學(xué)生利用平均數(shù)=總數(shù)÷個(gè)數(shù)，列出了算式（3N+3）÷3，教師引導(dǎo)學(xué)生自問：還能繼續(xù)化簡（3N+3）÷3嗎？

層次一：我能夠利用圖示法，移多補(bǔ)少，求平均數(shù)（如圖13）。

層次二：我把3N和3看作兩部分：字母和數(shù)字，結(jié)合圖式，先把3N平均分成3份是N，再把3平均分成3份是1（如圖14）。

層次三：結(jié)合圖式，3N+3相當(dāng)于3個(gè)N+1，相當(dāng)于利用乘法分配律提取公因數(shù)3（如圖15）。

學(xué)生能夠借助求平均數(shù)最原始的方法——移多補(bǔ)少，直觀形象地展示出結(jié)果，借助圖示表征，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)、運(yùn)算定律和直觀的圖形結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)多角度分析數(shù)學(xué)知識(shí)，從不同層次進(jìn)行數(shù)學(xué)理解，驗(yàn)證結(jié)果的合理性。

四、“悟”思想

學(xué)生解決問題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自問：我解決了什么問題？幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)背后的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，讓知識(shí)變薄，讓思維變厚。

（一）我會(huì)舉三反一

【案例7】列方程解決問題（如圖16）

層次一：我可以將①②題轉(zhuǎn)化成類似④⑤題中的矩形圖和線段圖來進(jìn)行表征。

層次二：我把①②④⑤歸為一類，可以用ax+bx=c的模型表示，x表示a和b兩者之間相同的量。

層次三：我認(rèn)為它們的數(shù)量關(guān)系都是“部分+部分=總量”，可以用ax+by=c的模型表示，只是有些x和y相等，有些x和y不相等。

學(xué)生通過自悟，加強(qiáng)知識(shí)和方法間的聯(lián)系，將知識(shí)和方法進(jìn)行分類，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法整體性的建構(gòu)，完成了從特殊到一般模型ax+by=c的歸一，很好地揭示了知識(shí)的本質(zhì)，有效地鍛煉了學(xué)生整體把握知識(shí)和方法的能力。

（二）我能舉一反三

【案例8】組合

甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行乒乓球比賽，每兩人之間只比一場，一共要進(jìn)行多少場比賽？

層次一：我能用連線、枚舉、搭配等方法（如圖17）計(jì)算出3+2+1=6（場），發(fā)現(xiàn)總場次數(shù)等于每人比的場次數(shù)依次連加（如表2）。

層次二：如果有32人進(jìn)行比賽，計(jì)算過于麻煩。用表格法記錄比賽場次（如表3），我發(fā)現(xiàn)其中有一半是重復(fù)的，所以4×3÷2=6（場），我可以歸納出簡潔的方法：總場次=人數(shù)×場次÷2（如表4），4個(gè)量中只要知道其中1個(gè)量就能推導(dǎo)出其他3個(gè)量。

層次三：這個(gè)規(guī)律與打電話問題、握手問題以及“圖形與幾何”中有幾個(gè)頂點(diǎn)可以連幾條線的現(xiàn)象是一樣的（如圖18）。

層次四：數(shù)線段、數(shù)角、等差數(shù)列等問題也可以用這種方法解決（如圖19）。

鏈接1：數(shù)線段問題? 鏈接2：排列問題? 鏈接3：等差數(shù)列

借助“同構(gòu)關(guān)系”的算式，讓隱性的計(jì)算方法顯性化。借助直觀的列表法，通過觀察、分析，歸納出簡潔的方法：總場次=人數(shù)×場次÷2，并發(fā)現(xiàn)4個(gè)量之間的關(guān)系，深化對規(guī)律的理解。激活鏈接，體會(huì)知識(shí)方法、策略中的不變，實(shí)現(xiàn)舊認(rèn)知到新認(rèn)知的自然貫通，幫助學(xué)生及時(shí)總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

總之，在問題解決的過程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自問，學(xué)會(huì)自我評(píng)價(jià)自己的思維過程和結(jié)果，及時(shí)地進(jìn)行反思和總結(jié)，不斷地提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生學(xué)會(huì)自問、學(xué)會(huì)自我評(píng)價(jià)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，只要教師在教學(xué)中足夠重視，并不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，完善策略，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力一定會(huì)得到長足的發(fā)展。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)臨江新城實(shí)驗(yàn)小學(xué)? ?311200）