一種基于虛功原理的懸架運動學快速分析方法

摘 要：本文基于虛功原理，推導了通過力學平衡方程計算運動學特性的方法，并將該方法的計算結(jié)果與數(shù)值分析法做了對比，驗證了其可靠性。該方法原理簡單，可以快速直觀地分析硬點位置與運動學特性的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：懸架 運動學 硬點

Abstract：Based on the principle of virtual work， this paper deduces the method of calculating kinematic characteristics by mechanical equilibrium equation， and compares the calculation results of this method with the numerical analysis method to verify its reliability. This method is simple in principle and can quickly and intuitively analyze the relationship between hard point position and kinematic characteristics.

Key words：suspension， kinematics， hard point

在懸架硬點的設計工作中，設計者需要獲取硬點參數(shù)對應的懸架運動學性能，用以優(yōu)化硬點設計。目前，基于數(shù)值方法求解的計算機運動學仿真工具已得到廣泛運用，能夠根據(jù)硬點位置較準確地預測對應的懸架運動學特性，適合作為設計凍結(jié)前的準確分析手段。但在初期的硬點布置方案確定時，采用圖解法可以更快速直觀地分析硬點位置與運動學特性的關(guān)系，適合進行總體硬點布置方案的規(guī)劃。

但圖解法的適用范圍比較有限，只能適用于麥弗遜、雙橫臂懸架以及從這兩種懸架形式衍生的，布置方式接近麥弗遜、雙橫臂的多連桿懸架。對于很多特殊形式的多連桿懸架，例如E型多連桿，H臂型多連桿等，無法使用圖解法進行分析。另外，圖解法對于跳動轉(zhuǎn)向性能的分析也十分局限。

本文提供一種簡單的運動學計算方法，不需要通過數(shù)值方法求解，僅通過矩陣計算，即可根據(jù)已知硬點參數(shù)獲取對應懸架姿態(tài)下各項運動學參數(shù)及其變化率，可以像圖解法一樣快速直觀地分析硬點位置與運動學特性的關(guān)系，同時能適應絕大部分獨立懸架形式。原理上，基于虛功原理，不需要深刻的運動學知識，只需要掌握基本的力學平衡方程，即可建立硬點參數(shù)與運動學特性間的關(guān)聯(lián)。

1 計算方法

下面以H臂型多連桿懸架為例，分析其彈簧杠桿比，跳動轉(zhuǎn)向和外傾角變化三項運動學特性。

如圖所示為H臂型多連桿懸架的一般形式，其桿件包括一根前束拉桿，一根外傾拉桿，兩者沿車身Y向布置，一端與轉(zhuǎn)向節(jié)通過柔性襯套連接，另一端與車身或副車架通過柔性襯套連接;H形控制臂，與副車架（或車身）通過兩個襯套鉸點連接，形成一個內(nèi)樞軸，另一端與轉(zhuǎn)向節(jié)之間除了有一個直接連接的襯套鉸點外，還通過一根沿車身Z向布置的小連桿連接，該小連桿通過兩個襯套分別較與H形控制臂和轉(zhuǎn)向節(jié)。

這類懸架可以以緊湊的縱向布置實現(xiàn)較理想的側(cè)視圖運動學特性，其H形控制臂的受力情況較復雜。

1.1 力學平衡方程

如圖，硬點坐標系OXYZ取車身后方為X軸正方向，車身右側(cè)為Y軸正方向，豎直上方為Z軸正方向。

設外側(cè)（轉(zhuǎn)向節(jié)側(cè)）硬點坐標：

取輪心O坐標為原點;外傾拉桿外點D1坐標為XD1，YD1，ZD1。

前束拉桿外點D2坐標為XD2，YD2，ZD2。

H形控制臂連接轉(zhuǎn)向節(jié)的外鉸點D3坐標為XD3，YD3，ZD3。

轉(zhuǎn)向節(jié)連接小連桿的鉸點D4坐標為XD4，YD4，ZD4。

由內(nèi)側(cè)和外側(cè)（車身/副車架側(cè)）硬點坐標，可計算外傾拉桿、前束拉桿和小連桿的內(nèi)外硬點連線矢量，由于這三根連桿內(nèi)外鉸點可等效為球鉸，忽略其慣量，連桿可視為二力桿，該連線矢量也即連桿的受力方向。

簡明起見，此處直接設連桿的內(nèi)外硬點連線單位矢量：

外傾拉桿內(nèi)外硬點連線（由內(nèi)點指向外點）單位矢量f1=[f1X;f1Y;f3Z];

前束拉桿內(nèi)外硬點連線（由內(nèi)點指向外點）單位矢量f2=[f2X;f2Y;f2Z];

小連桿內(nèi)外硬點連線（由控制臂較點指向轉(zhuǎn)向節(jié)較點）單位矢量f4=[f4X;f4Y;f4Z]。

設連接H形控制臂的彈簧下點S坐標為XS，YS，ZS;

H形控制臂內(nèi)樞軸上的某點E坐標為XE，YE，ZE;

H形控制臂連接小連桿的外鉸點D5坐標為XD5，YD5，ZD5;

彈簧軸線單位矢量（由上點指向下點）為fS=[fSX;fSY;fSZ];

H形控制臂內(nèi)樞軸單位矢量為I=[IX;IY;IZ]。

以輪心為參考點，設車輪（轉(zhuǎn)向節(jié)）受到的外部作用力為F=[FX;FY;FZ];

外部作用力矩為M=[MX;MY;MZ]。

設車輪（轉(zhuǎn)向節(jié)）受到懸架桿件的作用力：

轉(zhuǎn)向節(jié)受到外傾拉桿作用力大小為F1（力由桿件指向轉(zhuǎn)向節(jié)方向為正）;

轉(zhuǎn)向節(jié)受到前束拉桿作用力大小為F2（力由桿件指向轉(zhuǎn)向節(jié)方向為正）;

轉(zhuǎn)向節(jié)在其與H形控制臂的鉸點處受力為F3=[F3X F3Y F3Z];

轉(zhuǎn)向節(jié)受到小連桿作用力大小為F4（力由桿件指向轉(zhuǎn)向節(jié)方向為正）。

則關(guān)于轉(zhuǎn)向節(jié)有受力平衡方程：

FT=AH2TFH

其中FH為硬點力向量，F(xiàn)T為輪胎外力向量，AT2H為轉(zhuǎn)化矩陣，對應有：

則可根據(jù)硬點受力求車輪受力情況，反之亦然 。

當根據(jù)車輪受力求得硬點力時，可進一步求得彈簧受力。分析方法與轉(zhuǎn)向節(jié)受力分析相同：設彈簧力為Fs（彈簧受壓縮力為正）;以H形控制臂內(nèi)樞軸上任一點E為參考點，將車身/副車架對控制臂的作用力和力矩設為對該點的FE=[FEX;FEY;FEZ]和ME =[MEX;MEY;MEZ]，則有ME×I=0，結(jié)合以求得的F3=[F3X F3Y F3Z]與F4，以及H形控制臂相關(guān)硬點位置，對控制臂做受力分析得平衡方程：

FI=AH2IFH2

其中FH2為控制臂外硬點受力向量，F(xiàn)I為內(nèi)樞軸及彈簧力向量，AH2I為轉(zhuǎn)化矩陣，對應有：

簡明起見，略去AH2I表達式。

1.2 彈簧杠桿比分析

彈簧杠桿比為單位車輪跳動量對應的彈簧壓縮量，同時也等效于懸架靜態(tài)壓縮時單位彈簧彈力變化對應的車輪垂向力變化。則根據(jù)前面的力學平衡方程求出加載車輪垂向力時，產(chǎn)生的彈簧力Fs與車輪垂向力Fz的對應關(guān)系，即可求出杠桿比。

可以看到，杠桿比表達式中的系數(shù)都是僅由硬點位置決定的參數(shù)，因此可由硬點參數(shù)直接導出杠桿比。

1.3 跳動轉(zhuǎn)向/外傾角增益分析

跳動轉(zhuǎn)向為單位車輪跳動量對應的前束角變化。根據(jù)虛功原理，可以知道，其等效于車輪受到單位回正力矩對應的車輪垂向力變化。因此根據(jù)力學平衡方程，求出加載車輪回正力矩時，產(chǎn)生的垂向力Fz與回正力矩Mz的對應關(guān)系，即可求出跳動轉(zhuǎn)向值。

由前面的平衡方程可知，如果轉(zhuǎn)向節(jié)硬點處受力都是未知量，根據(jù)現(xiàn)有的平衡方程數(shù)量不足以直接求出Fz與Mz的關(guān)系，因此需要增加一個約束條件：加載回正力矩Mz時，彈簧受力Fs不產(chǎn)生變化。

這樣，若要直接求Fz與Mz的關(guān)系，就需要將前面的方程（1）和（5）聯(lián)立，計算較復雜;為簡化方程，我們可以分三步計算：①求僅加載垂向力Fz時，產(chǎn)生的彈簧力Fs變化與Fz的關(guān)系;②求僅加載回正力矩Mz時，產(chǎn)生的彈簧力Fs變化與Mz的關(guān)系;③最后將前兩步的計算結(jié)果聯(lián)立，求Fs不變時垂向力Fz變化與Mz的關(guān)系。

顯然，第①步在前面求杠桿比時已經(jīng)完成。按照同樣的方式進行第②步，求彈簧力隨回正力矩的變化率MAlign：

令FX，F(xiàn)Y，F(xiàn)Z，MX，MY為0，則

求跳動轉(zhuǎn)向（角度以弧度表示）：

同理，外傾角增益——單位車輪跳動量對應的外傾角變化，可以轉(zhuǎn)化為求加載車輪傾覆力矩時，保持彈簧力Fs不變，產(chǎn)生的垂向力Fz與傾覆力矩MX的對應關(guān)系。

可得外傾角增益（角度以弧度表示）：

1.4 小結(jié)

上面以三個常見運動學特性為例，進行了推導，它們都可以根據(jù)硬點參數(shù)直接計算。同理可推導出大部分運動學特性參數(shù)的表達式，包括側(cè)傾中心高度，抗制動點頭角，抗加速后蹲角，車輪跳動俯仰變化率等等（需要對輪胎接地點進行分析）。還可以方便地推導出一些不常見，但實用的運動學關(guān)系，例如外傾拉桿長度變化對車輪外傾角變化的影響、前束拉桿長度變化對車輪前束角變化的影響等，用于估算前束/外傾角調(diào)節(jié)機構(gòu)所需滿足的調(diào)節(jié)范圍。

注意這種方法推導出的變化率都是輸入的硬點參數(shù)對應懸架行程下，相應的變化率，不能體現(xiàn)整個跳動行程中運動學參數(shù)曲線的整體走向。

大部分常見獨立懸架形式，如麥弗遜，雙橫臂，E型多連桿，五連桿等等，都適用該分析方法。

2 與數(shù)值分析方法的計算結(jié)果對比

取同樣的H臂型多連桿懸架形式，設置同樣的硬點參數(shù)，對其運動學特性分別用數(shù)值方法做運動學求解，以及用上述力學分析方法計算，其結(jié)果如下。

表1是用數(shù)值方法分別在輪心位置為-2mm，0mm和2mm處求解得到的幾項懸架參數(shù)值，下面分別計算這幾項參數(shù)隨輪心垂向跳動的變化率，并將其與力學分析方法直接計算得到的變化率放在一起對比，如表2所示。

可以看到，受力分析法得到的變化率在數(shù)值方法求解得到的兩組值之間。可以預見，隨著數(shù)值分析步長的減小，其計算結(jié)果將越來越接近受力分析法的計算結(jié)果。

從前面的分析可以知道，受力分析法計算的變化率都是通過體現(xiàn)硬點參數(shù)的解析式直接計算得到的，不需要進行數(shù)值迭代，因此該方法雖然不能體現(xiàn)運動學參數(shù)曲線整體走向，但在求參數(shù)變化率時，一方面更節(jié)約計算資源，另一方面精度更高，其精度完全取決于四則運算的精度，不受迭代方法影響。

用數(shù)值分析法做運動學求解時，如果結(jié)合該分析方法，做不同懸架行程下的參數(shù)變化率計算，可以在采用較大步長時仍不影響精度。

3 總結(jié)

本文基于虛功原理，推導了通過力學平衡方程計算運動學特性的方法，并將該方法的計算結(jié)果與數(shù)值分析法做了對比，驗證了其可靠性。

3.1 該計算方法的優(yōu)點：

（1）通過解析式計算，速度快（編輯公式后可即時得到結(jié)果），精度高;

（2）原理簡單，便于實現(xiàn)。

3.2 該計算方法的缺點：

不能直接體現(xiàn)運動學參數(shù)曲線的整體走向。

3.3 該計算方法的適用場合：

（1）硬點初步設計時，代替圖解法，對較復雜的懸架形式做初期布置方案的確定（建議用Excel實現(xiàn)）;（2）估算前束/外傾角調(diào)節(jié)機構(gòu)所需滿足的調(diào)節(jié)范圍;（3）數(shù)值分析法做運動學仿真時，結(jié)合該分析方法求解，提高部分參數(shù)計算精度。

參考文獻：

[1]王霄峰.《汽車懸架和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)設計》.

[2]（美）E·J·豪格 著，劉興祥等譯.《機械系統(tǒng)的計算機輔助運動學和動力學》.

[3]《理論力學》.

作者簡介

呂近添：（1995.02—），男，湖南冷水江人，本科，試驗工程師。研究方向：汽車操縱穩(wěn)定性和車輛動力學。