多層復雜網絡上的滲流與級聯失效動力學

賈春曉，李 明，劉潤然*

(1. 杭州師范大學復雜科學研究中心 杭州 311121；2. 合肥工業大學物理學院 合肥 230009)

復雜網絡理論描述了真實世界事物之間的普遍聯系，而多層網絡則描述了復雜網絡或復雜系統之間的聯系。多層網絡在現實世界中有著廣泛的應用[1-2]，如因特網和電力網絡之間因互相依賴而組成的多層網絡[3-4]；一個生物細胞可以看成是代謝網絡，蛋白質相互作用網絡和基因轉錄網絡的相互依賴而形成的多層網絡[5]。這些聯系在保證每個復雜系統正常運行的同時，也給其帶來了系統性風險，如重大停電事故與大范圍的通信中斷[3,6]、嚴重的交通癱瘓[7-8]等。負責電力傳輸與分配的電力網絡依賴于信息傳輸網絡提供監控和調度等方面的支持，同時，信息傳輸網絡也依賴于電力網絡提供電力保障[3,9]。類似地，電力網絡和鐵路網絡也存在著雙向的依賴關系，電力網絡的故障會影響鐵路交通的正常運轉，而鐵路的非正常運轉又會影響發電站燃料和物資的供應。因此，研究復雜系統的魯棒性，需要考慮它們之間的相互依賴性，并基于這種依賴性對復雜系統進行分析和建模，以了解這種相互依賴性導致系統大規模癱瘓的發生機理，從而為減少和干預級聯失效提供預防、應急和控制措施[2]。

除了相互依賴的關系之外，多層網絡還可以描述復雜系統之間其他性質的耦合或聯系，如協作[10]、競爭[11-12]和對抗[13]等。人們將網絡層間存在依賴關系的多層網絡稱為相依網絡，或網絡的網絡[14-16]。另外，多層網絡還可以表示同一組節點具有不同性質連接的網絡。在這樣的多層網絡中，每種類型的連接都可獨自形成一個網絡，但是它們共享同一個節點集合。如航空網絡可被視作一個多層網絡，每個機場為一個節點，不同航空公司的航線為不同類型的連接[17]。當然在多層網絡中并不一定每個節點都能夠出現在所有的網絡層中，但每層網絡中出現的節點都是系統節點的子集。如某些航空公司在某些機場并不一定有運營的航班，但是其包含的節點一定是航空網絡中所有節點(機場)的子集。類似地，多層網絡中的同一節點可在不同網絡層中扮演不同角色，如在交通網絡中，一個城市可能同時是航空網絡、鐵路網絡和公路網絡的交通樞紐[18]。在這種情況下，同一個節點的不同角色互為副本節點，類似的情況還存在于社交網絡中[19-21]。

文獻[3]于2010 年提出了雙層相依網絡上的滲流模型，用于研究網絡之間的相互依賴性對于級聯故障和網絡魯棒性的影響。在相依網絡中，一旦某個節點被刪除或者失效，與其互相依賴的其他網絡中的節點就會完全失效。這是一種非常強的依賴關系，在這種情況下，相依網絡和共享同一節點集的多層網絡等價。研究發現，雙層相依網絡上的滲流模型為一階不連續相變，這與單層網絡上的二階連續相變有著本質的不同。該結論證明了網絡的相互依賴性不但極大地降低了網絡魯棒性，而且影響了網絡的破碎方式。更令人驚訝的是，當相依網絡的度分布的異質性增強時，相依網絡對隨機故障的脆弱性也會增強，如兩個具有冪律度分布的相依無標度網絡會比兩個相依隨機網絡在隨機攻擊下更加脆弱，這與單個網絡的情況完全相反(單個無標度網絡對于隨機攻擊的魯棒性是非常高的)。從統計物理學的角度來看，多層相依網絡上的一階不連續相變本質上為混合相變(hybrid percolation)，即在網絡發生滲流相變的臨界點，網絡巨分支規模既存在二階連續相變所具備的臨界現象，也存在一階相變的不連續跳躍現象。系統的序參量(互聯巨分支規模S)與節點的保留概率p存在漸近關系S?Sc∝(p?pc)1/2，其中pc為網絡發生滲流相變的臨界點。這與單層網絡中k核滲流[22]、靴攀滲流[23]、關節節點滲流[24]及核滲流[25]中的混合相變完全相同[26]。

以上研究是基于網絡節點的強依賴假設，即多層網絡中相互依賴的一組節點，其中一個失效時，其余也立即失效。這種點對點的強相互依賴還被推廣到單層網絡中，用于描述節點之間的隱含依賴性[27-33]。強依賴雖然能夠刻畫一些現實系統之間的節點耦合機制，但在某些情況下網絡中某個節點的失效可能不會導致其他網絡中與之依賴的節點完全失效，而是造成一定程度的損害，從這個角度來說弱耦合機制更能夠描述復雜系統之間更為一般的耦合和聯系。在弱依賴的情形下，多層網絡的性質與強依賴的情況有明顯的不同。首先，網絡與網絡之間耦合拓撲結構會對網絡的級聯失效動力學有著強烈的影響。而對于強耦合的多層網絡中的一組相依節點，一旦其中一個節點失效，其余節點也就完全失效，它們之間的依賴結構不會對系統有顯著影響。此外，弱依賴多層網絡模型能夠描述復雜系統更為豐富的耦合機制，如依賴強度的異質性[34]、依賴強度的非對稱性[35]及依賴關系的拓撲結構[36]等。在弱依賴的情況下，多層網絡在級聯失效過程中會表現出更為豐富的相變現象。

多層網絡的研究已經吸引了物理學、數學、信息科學、管理學和計算機等多學科交叉領域學者的廣泛關注。經過十多年的發展，多層網絡級聯失效已在理論建模、實證分析和應用研究方面取得非常豐富的成果，國內相關學者已經在概念模型[37]、功能與動力學[38-39]、魯棒性優化[40]和級聯失效的預防[41]等方面進行了較為系統的綜述。在多層網絡的研究中，滲流理論扮演了非常重要的角色。為了介紹滲流理論對多層網絡模型的作用和相關進展，本文聚焦基于滲流理論的相依多層網絡上的級聯失效。首先介紹描述相依多層網絡級聯失效的理論模型，再分別介紹多層網絡跨層節點耦合特性、網絡層內連接結構特征、層內節點耦合特性、攻擊方式等幾個方面的特征對魯棒性和級聯失效動力學的作用，然后介紹具有弱耦合機制的多層網絡上的級聯失效動力學的特性，最后進行總結并展望未來可能的研究問題和相關方向。

1 理論模型

多層網絡模型始于相依雙層網絡級聯失效模型的研究[3]。隨后人們將雙層相依網絡推廣到了M個網絡，因此雙層相依網絡是多層網絡的一個特例[42-43]。這M個網絡都具有N個節點，將這M個網絡標記為A,B, ···，每個網絡中的N個節點按照自然數編號為1,2, ···,N。不同網絡中具有相同自然數編號的節點具有相互依賴性。第一個網絡中的某個節點Ai，第二個網絡中節點Bi等M個網絡中的M個節點之間存在相互依賴性。對于互相依賴的一組節點，如果其中一個節點失效，其余所有節點就會立即失效。這M個網絡中任意一個網絡X都可以擁有獨立或相關聯的拓撲結構。

多層網絡的級聯失效由隨機刪除網絡A中比例為1?p的節點觸發，其中p表示保留節點的比例。由于不同網絡中節點之間的互相依賴性，網絡A中的一個節點刪除會導致其余M?1 個網絡中依賴于該節點的節點也立即失效。當一個節點失效時，其所有邊也將會被刪除。各層網絡中一部分節點失效后，會破碎成一些規模不等的分支，這些分支被稱為分支集群。如果一些節點和它們所依賴的節點在各自所在的網絡層中都能形成同一個分支，則這樣的分支被稱為互連分支。但是，由于網絡連接方式的差異性，某個網絡中的一個分支中的節點在另一個網絡中所依賴的節點并不一定能夠形成同一個分支。因此，不能形成互連分支的節點將會被刪除，從而誘發網絡的進一步破碎，進而形成一個級聯失效的過程。經過一定步數的迭代，網絡最終會達到一個穩態。

圖1 展示了相依網絡級聯失效示意圖。在圖1a中，級聯失效由初始失效的A3節點觸發；在圖1b中，A網絡破碎成兩個分支{A1,A2}和{A4,A5,A6,A7}，B網絡破碎成3 個分支{B1,B2}，{B4}和{B5,B6,B7}，由于{A1,A2}和{B1,B2}分支在網絡A和B中同時存在， 構成一個互聯分支集群。同時由于{B4}分支獨立，將會導致節點A4的連接被刪除，導致網絡A分支{A4,A5,A6,A7}進一步破碎為{A4},{A5}和{A6,A7}。在圖1c 中，{A5}為獨立分支，將會導致B5節點的連接被刪除。在圖1d 中，網絡B進一步發生破碎，最終又會導致A6和A7之間的連接被刪除，并達到AB兩個網絡中的互聯分支都一致的穩態。

圖1 雙層相依網絡級聯失效示意圖

在達到穩態的時候，只有網絡互連巨分支中的節點才能保存下來，用互連巨分支的規模S來度量網絡的魯棒性。理論和數值模擬研究的結果發現，如果保留節點的比例大于一個臨界值pc，在級聯故障過程結束時，網絡的互連巨分支就能夠存在，即S>0，相依網絡的功能就能保留下來；反之如果p

多層網絡上的級聯失效的臨界點可用概率生成函數的方法來求解。定義RX為網絡X中的一條隨機邊能夠連接到穩態時互連巨分支的概率，其中X∈{A,B,···}。同時定義為網絡X的度分布的生成函數，為網絡X的余度分布的生成函數，其中為網絡X的度分布。當網絡X中的一條隨機邊能夠連接到巨分支時，在沿著這條隨機邊所到達的一個節點的其余邊中，需要至少有一條能夠連接到網絡的巨分支。這條隨機邊所到達節點的度值k服從概率分布，因此網絡X中的一條隨機邊能夠連接到巨分支的概率為，寫成生成函數的形式為。類似地，對于度為k的節點，屬于互連巨分支則需要在所有k條邊中至少有一條能夠通向互連巨分支，其概率可以表示為1?(1?RX)k。考慮網絡度分布，一個隨機節點屬于網絡X巨分支的概率為，寫成生成函數的形式為1 ?。因此，對于任意一個RX滿足方程：

網絡互聯巨分支的規模S可以寫成：

隨著節點保留比例p的變化，當 ψX首次與RX相等的時候，系統將發生滲流相變。考慮系統中所有的網絡，系統發生滲流相變的臨界點可由如下方程組給出：

式中，I為單位矩陣；J表示雅克比矩陣，其元素JAB=?ψA/?RB。在臨界點將 ψX展開，在式(1)和式(2)被同時滿足的情況下可得：

這一結果表明多層網絡上的不連續相變為混合相變，同時具備二階相變的臨界特性也具有一階不連續相變的跳躍[44]。這與k核滲流、靴攀滲流、核滲流和關節節點滲流中的混合相變的類型完全相同。文獻[24,45]的研究也說明，這種混合相變只存在于級聯失效的穩態中，如果強行使級聯過程在任何有限次停止，都只能觀察到與經典滲流一樣的臨界現象。文獻[46]研究了具備動力學過程的多層網絡上的魯棒性，發現不連續相變在耦合動力學系統上仍然存在。

代入網絡的度分布，可通過式(1)和式(2)求出網絡的滲流相變點pc和網絡巨分支的大小S。有關多層網絡模型的概率生成函數求解的方法，文獻[26,42]已經進行了綜述。對于單個網絡的情況下，網絡度分布的異質性越強，其滲流臨界值pc就越小。與此相反的是，相互依賴的網絡度分布的異質性越強，網絡的臨界值pc就會越大。這說明在平均度相同的情況下，度分布異質性較強的多層網絡更脆弱，這一結果與單層網絡的情況截然相反。

多層網絡中這種不連續相變的產生機理可由多層網絡中的“臨界節點”來解釋。臨界節點被定義為滿足如下兩個條件的節點：1) 其自身或其任意依賴節點有且只有一條邊能夠連接到所在網絡的巨分支，這條邊被稱為臨界邊；2) 其自身和其所有依賴節點都能夠連接到它們所在網絡的巨分支。這條臨界邊至關重要，一旦它所連接的鄰居被刪除，臨界節點和它的依賴節點都會被刪除。在此失效傳播過程中，這條邊具有指向性，從臨界節點的一個鄰居指向該臨界節點。當臨界節點通過這些臨界邊能夠連接在一起的時候，就形成了一個“臨界分支”。一旦其中一個臨界節點被刪除，雪崩就會沿著一定方向在臨界分支中傳播，處在臨界分支最頂端的節點被稱為“基石節點”，它的刪除會導致整個臨界分支的崩潰。當p從大至小接近臨界點時，臨界分支的發散會導致網絡巨分支的不連續跳躍[44]。

2 跨層節點耦合特性

一些真實復雜系統中可能存在一些不依賴其他任何節點的“自治節點”，一個網絡中的某個節點也可能依賴于另一個網絡中的多個節點。此外，網絡間的依賴性不但有雙向的，還有單向的。圍繞雙向依賴或單向依賴、一對一依賴或一對多依賴的問題，已涌現出許多研究成果。文獻[48]研究了一個由兩個相互依賴的網絡A和B組成的系統，其中網絡A中的一部分節點qA依賴于網絡B中的節點，同時網絡B中的一部分節點qB依賴于網絡A中的節點。與多層網絡的原始模型相同，一個網絡中的一個節點最多只有一條有向的依賴邊。因此參數qA、qB或qA=qB≡q控制著網絡間的依賴強度，這一方法在后續的研究中被廣泛借鑒[49-52]。當一個網絡中的節點發生故障時，它們會導致另一個網絡中依賴于它們的節點也發生故障。當臨界占據概率p達到臨界點pc時，穩態滲流巨分支就能夠出現。理論分析和數值模擬顯示，降低網絡之間耦合節點的比例qA和qB會導致網絡的相變形式在一個臨界點處從一階滲流相變轉變到二階滲流相變[48]。另外出于保護中心節點的目的，將其設置為“自治節點”可以有效提升網絡的魯棒性[50-51]。

文獻[53]研究了一對多的有向依賴的多層網絡模型，發現當網絡之間的依賴邊平均度趨向于無限或存在自治節點時，網絡穩態的巨分支以連續相變的形式涌現，而在其他情況下，網絡巨分支以不連續相變的形式涌現。文獻[54]研究了非對稱依賴的相依網絡模型，即A網絡中的節點對B網絡中的節點是一對多的雙向依賴，而B網絡中的節點對A網絡是一對一的雙向依賴。在這種情況下，網絡A在隨著保留節點p的變化會出現多重相變現象，即網絡巨分支首先以二階連續相變的形式涌現，隨后會再發生一次一階不連續相變，而網絡B的巨分支以一階不連續相變的形式涌現。在部分節點存在耦合的情況下，多層網絡的每個網絡層都在其他網絡中隨機選擇一定數量的節點作為相互依賴的節點時，系統隨著攻擊強度的增大會出現多重相變的現象，即會發生多次崩潰[49]。此外，文獻[55]基于依賴邊在描述節點跨網絡耦合時連接和依賴的雙重作用，研究了雙層相依網絡多對多依賴時的魯棒性，發現增加網絡之間的耦合邊密度時會增加網絡的部分連通性，導致部分網絡的魯棒性增強。

真實網絡之間的互相依賴關系不是隨機的，而是根據節點的某些特性進行耦合的。跨層相依節點的度度相關性也受到廣泛關注，即在正相關的時候，一個網絡中度值大(小)的節點更容易依賴于另一個網絡中度值大(小)的節點，反之則是負相關。如度值較大的港口往往與具有較多航班的機場之間存在較為緊密的耦合。文獻[56]研究了網間度度相關性和網間聚類系數對相依網絡魯棒性的影響，發現當兩個網絡之間依賴節點相似性較強時，系統在面對隨機故障時就會變得更加穩健。類似地，文獻[57]的研究結果表明相同度值節點的耦合使得網絡的魯棒性會變得更強。同樣，當從兩個網絡挑選度值最大的部分節點進行耦合匹配時[58-59]，或降低互相依賴節點的不平衡性時[60]，網絡的魯棒性也可以顯著提高。另外，在網絡存在模塊度[61]、依賴簇[62]時，跨網絡節點的正相關耦合對網絡魯棒性仍有較強的促進作用。文獻[63]借助于Bako-Tang-Wiesenfeld 沙堆模型，發現節點連接度的無標度分布，層內同配性和跨網絡中心節點之間的耦合可以顯著提升網絡的魯棒性。文獻[64]研究了多層網絡上的鍵滲流模型，發現當多層網絡中某一層網絡與其他網絡層節點耦合方式為反相關時，多層網絡上的鍵滲流存在多重相變的現象，即會發生多次相變，相變的次數與網絡的層數有關。隨后文獻[65]發現在多層網絡魯棒性優化的過程中，增強度度相關性雖然可以提高網絡破碎時的攻擊閾值，但是也在網絡破碎的過程中引入了多重不連續相變的現象。

重疊邊在多層網絡中也是常見的。如在社交網絡中，兩個朋友通過電子郵件和電話兩種途徑進行通信的現象很常見；在交通網絡中，通過公路連接的兩個城市也可能通過鐵路或航班連接。文獻[66-67]幾乎同時研究了連接的重疊性對于相依網絡魯棒性的影響，重疊邊的存在也能有效促進多層網絡魯棒性的提升。對這種現象的一個直觀解釋是，重疊邊的存在減弱了兩個相依網絡巨分支節點分布的隨機性，導致網絡的互聯巨分支更容易涌現。

真實多層網絡并不是單層網絡的隨機組合，網絡層間的耦合會存在一些空間相關性[68-70]。這種空間相關性可以有效提升網絡魯棒性，使網絡在遭受蓄意攻擊時可能會以連續相變的形式崩潰[71]。文獻[72]研究了雙層相依規則網格上的滲流，在模型中，互相依賴的兩個節點的最大距離被限制在r之內，當rqmax時是非常差的，刪除一個節點就會導致整個系統的崩潰，qmax會隨著隨機規則網絡平均度的降低而降低。這些結果說明相依節點之間的距離對于網絡的魯棒性和破碎形式起著非常重要的作用。當取消節點跨層依賴距離的限制時(相依節點隨機連接)，相依規則網格就非常脆弱，只要跨層耦合節點的比例q≠0時，系統就會發生一階不連續相變的現象。

文獻[74]提出了一種冗余滲流模型，該模型假設一個節點能夠保持功能的條件是至少還有另外一個相依節點能夠在其他網絡層中保持功能[74-75]。當層數等于2 時，該模型簡化為文獻[3]中最初的相依網絡模型。該模型描述了向多層網絡中添加新層可以增強系統的穩健性，這一情況與網絡的網絡中隨著網絡數的增加系統的魯棒性降低的情況相反[42-43]。

3 網絡層內連接結構特征

自從多層網絡的模型被提出以后，一些網絡性質，如簇系數、同配性、模塊度、有向性和空間嵌入特性等，對于網絡魯棒性和級聯失效動力學的影響也得到了廣泛關注。這些研究對于理解真實復雜系統的一些結構特性對于魯棒性的影響有重要的意義。

文獻[76]研究了網絡的簇結構對于相依多層網絡魯棒性的影響，發現簇結構能夠導致網絡的魯棒性的降低，表現為網絡滲流相變臨界點pc的顯著增大。文獻[52]通過兩種方式來調節網絡的簇系數，第一種是保證網絡平均度的不變的情況下改變網絡的簇系數；第二種方法是保證網絡度分布不變來調整網絡的簇系數，并研究了兩種簇系數的調整方式對部分節點存在依賴的多層網絡魯棒性的影響，同樣發現簇系數的增加能夠降低網絡的魯棒性并增加網絡的滲流閾值。隨著依賴節點比例的降低，簇系數對網絡魯棒性的影響會逐漸下降。同時，網絡從一階相變到二階相變的臨界點qc也會隨著簇系數的增加而增大。類似的發現可以在支持-依賴的雙層網絡中發現，即降低網絡間的耦合或網絡的簇系數都可以增加網絡的魯棒性[77]。

文獻[78]研究了多層有向網絡上的級聯失效。雙層相依有向隨機網絡的崩潰過程分為兩個階段，即網絡巨分支以連續相變的形式涌現，隨后再發生一次不連續相變。同時也發現，當網絡度分布異質性較強時，網絡層內的出度和入度的相關性可以增強相依網絡的魯棒性，而網絡度分布異質性較弱而網絡間耦合強度較強時，網絡層內的出度和入度的相關性可以減弱相依網絡的魯棒性。對于多個有向網絡的耦合，隨著網絡保留節點比例p變化，網絡在破碎時可能會表現為二階相變、多重相變(先發生二級相變，然后再次發生一階相變)、一階相變以及不穩定崩潰(在p=1 時，系統仍處于崩潰狀態)等幾種不同的形式。崩潰的形式取決于網絡之間耦合節點比例q的大小[79]。

網絡社團結構對于多層網絡的魯棒性的作用也受到關注，文獻[80]發現一個多層網絡的魯棒性可以通過調整不同網絡層社團結構之間的相關性來控制。文獻[81]發現當網絡的社團結構特征增強時，相互依賴的網絡會更脆弱，這一結果與單一網絡的情況相反。當一個網絡層的社團結構非常強且社團間的連接非常稀疏時，另一層網絡社團強度的微小變化會引起整個系統魯棒性的突變。文獻[82]研究了具有社團結構的網絡的魯棒性，他們發現跨社團的連接邊在影響網絡魯棒性的同時，還扮演著類似于鐵磁-順磁自旋系統中外場的作用。

文獻[83]發現存在階層結構的相依網絡在受到攻擊時會出現多重相變的現象，網絡的魯棒性與每個階層中的社團數，階層的連接度和網絡間的依賴強度有關。具有模塊度的多層網絡在遭受攻擊時也會發生雙重相變的現象，其中一個相變發生在模塊分離的地方，另一個相變發生在各個模塊崩潰的時候。兩個相變的類型取決于多層網絡之間的依賴強度和依賴的結構[84]。

4 層內節點耦合特性

理解多層網絡上的k核滲流對于研究網絡上的傳播動力學十分重要，如識別有影響力的傳播者和理解網絡局部化現象。文獻[85]研究了多層網絡上的k ≡(kA,kB,···,kM)核滲流，多層網絡上的k核巨分支比單個網絡A上kA核巨分支更難出現。對于雙層網絡A和B，單個網絡kA+kB核的滲流閾值比相應的多層網絡中的(kA,kB)核的滲流閾值更高。文獻[86]通過調整節點對鄰居局域依賴閾值k和網絡間的耦合節點比例q，發現節點保留概率p增大時，網絡可能會出現二階相變、多重相變和一階相變。文獻[87]研究了真實多層網絡層間的關聯性(如度關聯、節點相似性等)與多層網絡k核大小的關系。在網絡度分布的異質性較強時，正的度度相關性與網絡中強k核結構有很強的關聯性。如果網絡度分布均勻時，節點相似性水平上的正相關與網絡中強k核結構有較強的相關性。類似地，對于跨層節點存在度相關的多層網絡的度度相關性會導致多層網絡的k核巨分支更容易涌現[88]。這些研究為真實多層網絡k核結構的識別和預測提供了理論基礎[89]。

文獻[90]研究了多層網絡上的核滲流，反復刪除每層網絡上度值為1 的葉節點及其最近鄰節點，發現多層網絡上的核滲流具有一階不連續相變的特性，這與單層網絡上核滲流的連續相變有著本質的不同。文獻[91]將葉節點的定義推廣到度值小于k的節點，并通過反復刪除度值小于k的葉節點及其最近鄰節點的剪枝過程來研究多層網絡上的核滲流，這一模型被用于真實多層網絡的分解。

5 攻擊方式

文獻[92-93]研究了多層網絡在蓄意攻擊下的魯棒性，當度值較大的節點有較大的概率被攻擊時，網絡的魯棒性會顯著下降。同時當度大的節點受到保護，被攻擊概率降低時，多層網絡的滲流閾值并不能降低至0，這說明保護度值較大的節點不能阻止網絡的崩潰，這一結果與單層網絡有著本質的不同。文獻[94-95]研究了網絡的網絡在蓄意攻擊下的魯棒性，同樣發現蓄意攻擊能夠使相依網絡和多層網絡的魯棒性降低。蓄意攻擊可以讓多層網絡崩潰的更加迅速，探討多層網絡在蓄意攻擊下的魯棒性的極限是一個重要問題。因此，如何找到能夠迅速破壞多層網絡的最小節點集是一個計算代價高昂同時難以優化的問題。文獻[96]提出了多層網絡有效度的指標作為蓄意攻擊目標節點的選擇依據，該策略考慮了多層網絡中節點的刪除所帶來的間接損傷，從而獲得了一個比現有的非計算密集型算法所得到的更小的初始攻擊目標節點集。

局域攻擊策略[97-99]是一種在現實中廣泛存在的攻擊策略，在多層網絡魯棒性的研究中也受到了廣泛關注[100-101]。文獻[102]研究了局域攻擊下空間耦合網絡上的級聯失效動力學，他們發現當局域攻擊大于臨界尺寸時，級聯故障會擴散到整個系統，導致系統崩潰。此外，局域攻擊和隨機攻擊對不同度分布的相依網絡的破壞性也在文獻[103]中有對比研究，不同組合攻擊策略在相依網絡的研究中也受到關注[104]。

6 弱依賴多層網絡上的級聯失效

在前文所述的多層網絡模型中，一個節點的失效會導致其依賴節點完全失效，這是一種點對點的強依賴。這一假設雖然能夠刻畫一些現實系統之間的節點耦合機制，如因特網中的節點對電力網絡中節點的依賴。但是在存在緩沖或應急機制的情況下，這一假設就會顯得過于簡單而直接，如一些基礎設施的節點可能存在備用電源，當電網故障時，它可能會因電力供應的減少而維持部分主要功能；類似地，在經濟社會中，金融網絡和企業間的貿易網絡存在依賴性，金融機構通過向企業借貸而獲得利息和收益，而企業依靠金融網絡提供資金流來維持運作，當企業倒閉時，可能會對金融機構造成影響，而金融機構的倒閉也可能會對企業造成沖擊。由于風險的分散，這種沖擊可能不會非常強，一個企業倒閉可能不會造成與之相互依賴的金融機構的完全破產，反之亦然。因此，存在弱依賴節點的多層網絡更具有一般性[105]。

為了描述這種弱耦合機制，文獻[105]提出了一種點對邊的相互作用機制。當一個節點失效的時候，其依賴節點的部分功能會受到損害而失去一些連接。具體而言，假如A網絡中的一個節點Ai依賴于B網絡的節點Bi，如果節點Ai失效，節點Bi的每一條邊都有1?α 的概率被刪除(α 的概率保留)，反之亦然。當α=1 時，網絡之間的依賴性最弱，而當α=0 時，網絡的依賴性最強，此時等價于強依賴的多層網絡。當某個網絡層X中的一部分節點失效時，與這些失效節點有依賴性的節點就會受到影響而損失一些邊，從而導致它們所在的網絡破碎，使某些節點脫離網絡而失效。這些失效的節點又會導致其他網絡層(包括X)中相互依賴的節點受到損害。在這種依賴失效和破碎失效的交替作用下，級聯失效隨之產生。當網絡到達穩態時，用每個網絡層中存活節點的比例來評估網絡的魯棒性。

圖2 給出了雙層相依網絡的級聯失效示意圖。在圖2a 中，級聯失效由初始失效的A3和B3節點觸發， 導致網絡A和B的同時破碎。在圖2b 中，B網絡中的B4節點因脫離巨分支而失效，進而會對A網絡中的A4節點造成損害而損失一條邊，進一步導致A5節點的失效。在圖2c 中，A網絡中的A5節點的失效會對B網絡中的B5節點造成損害而損失一條邊。進而導致B7節點的失效。在圖2d中，B網絡中B7失效后對網絡A中的A7造成影響，由于這種影響以一定概率發生而未造成實際損害，此時網絡達到穩態。

圖2 弱依賴情況下，雙層相依網絡級聯失效示意圖

在弱依賴的情況下，一些互相依賴的復雜系統可能通過它們之間的聯系而具有某種結構。有一些復雜系統依賴的系統較多，而另外一些系統所依賴的系統較少。即不同系統的“超級度”存在差異。對于超級度不同的網絡層，它們的滲流閾值和滲流相變的類型也不相同。網絡層的超級度越大，其滲流閾值就越大，魯棒性也就越差。同時，一些超級度較大的網絡層在滲流時可能表現為一階不連續相變，而一些超級度較小的網絡層的滲流相變類型為二階連續相變，在超級度較大的網絡發生滲流時，會導致其已經發生滲流的最近鄰網絡再次發生相變，從而導致系統中出現多重相變現象[106]。

多層網絡的雪崩過程本質上可以分解為兩個微觀動力學過程：深度滲透(層間級聯)和廣度擴展(層內級聯)。在深度滲透的過程中，失效在跨層傳播過程中能夠逐步放大。在這些跨層耦合的節點中，一個節點的失效會引起另外一個甚至更多節點的失效，失效的節點越多，對剩余節點產生的破壞力就越大。在范圍擴展的過程中，故障會隨著各網絡層中連接的移除而在各層網絡的內部傳播。在兩個過程的協同作用下，整個多層網絡會逐漸走向崩潰，同時系統滲流相變的類型會隨著網絡耦合強度的下降從一階不連續相變轉變為二階連續相變，這意味著層間的級聯過程控制著層內的級聯過程，并且對整個系統的魯棒性有著較強的控制力[107]。

弱依賴機制的引入使得多層網絡模型能夠較為自然地使用非對稱依賴的概念，這一特點在現實中也廣泛存在。對于互相依賴網絡中的兩個節點，一個重要的節點對次要的節點的依賴強度可能會不等于次要的節點對重要的節點的依賴強度。文獻[35]研究了節點與節點的非對稱依賴對于網絡魯棒性的影響，當調整跨網絡節點依賴強度的時候，網絡發生滲流相變的類型也能夠從一階相變轉變為二階相變。文獻[108]研究了具有派系的弱依賴相依網絡上的級聯失效，網絡在從不連續相變到連續相變的過程中呈現出混合相變現象：具有派系大的層發生連續滲流相變，具有派系小的層發生不連續滲流相變。

7 結束語

多層網絡上的級聯失效是復雜網絡動力學研究的重要問題。這一問題的研究與網絡科學諸多細分領域共同推動了多層網絡動力學研究的發展，如多層網絡的同步[38,109-116]、多層網絡上的信息傳播[117-120]、疾病傳播[121-129]和免疫[130-133]、多層網絡上演化博弈[134-139]和交通流[7-8,17]等。本文綜述了多層網絡滲流的基礎理論和級聯失效動力學研究，包含跨層節點的耦合特性、網絡層內連接結構特征、層內節點耦合特性和攻擊方式等幾個方面的研究。這些研究成果的推廣不但豐富了人們對多層網絡魯棒性和級聯失效動力學的認識，為多層網絡級聯失效的預防[41,140-141]和魯棒性的提升[40,142]等方面的應用研究提供了理論支撐，同時為多層網絡其他動力學的研究提供了借鑒。

在當前信息和人工智能飛速發展的今天，基礎設施系統的資源能夠得到及時有效的調度，從而實現系統容量的最優化和負荷的最大化，如在交通網絡中，交通流可以通過實時大數據和智能算法實現最高效率的流轉，任意一個系統和環節發生故障就會引起整個系統的功能受到較大的損失。在這樣的背景下，多層網絡之間的相互作用機理也變得越來越復雜，因此對多層網絡耦合機理進行實證調研并進一步建模將是未來一個重要且具有挑戰性的問題。其次，真實的多層網絡系統十分復雜，一些大系統中還存在一些子系統，在各個系統之間存在不同層次的相互作用，如節點與節點存在耦合、子系統與子系統也存在耦合、相互作用的層次性對于多層網絡級聯失效動力學的影響也需要進一步考慮。此外，由于真實多層網絡各個子系統的功能是互相配合的，節點之間的相互依賴性是動態的，調研各個系統節點功能的時間相關性以及耦合結構的時間特性也是一個非常值得關注的問題。最后，多層網絡研究的發展需要在理論方法上有更進一步的突破，深挖和拓展現有理論及研究方法以解決以上問題也具有非常大的挑戰。