回歸分析中內外符合精度指標研究

王仲鋒

(長春工程學院 勘查與測繪工程學院，長春 130021)

本研究將導出用檢驗數據的模型殘差計算單位權方差的無偏估計公式，并將其計算的單位權方差的無偏估值與建模時獲得的單位權方差無偏估值分別作為模型的外、內符合精度指標值。

1 內符合精度公式

設以L為觀測值的線性回歸的高斯-馬爾柯夫模型為：

(1)

(2)

現將L分為n1×1和n2×1的兩組向量L1和L2(對應的權矩陣分別為P1和P2，協因數陣分別為Q1和Q2，互協因數陣Q12=0，且Pi和Qi互為逆陣)，第一組用作建模，第二組用于外符合檢驗。相應地式(1)亦可分為兩組。

(3)

(4)

可見，對式(3)、式(4)兩邊求數學期望有：

(5)

(6)

將式(3)寫成誤差方程形式，即有：

(7)

(8)

對式(8)兩邊求數學期望，顧及式(5)可得：

(9)

顧及式(5)和(9)，可得：

(10)

另外由：

(11)

和協因數傳播率，可得：

(12)

考慮到P1和Q1互為逆陣，整理式(12)得：

(13)

其中，E1為n1×n1的單位矩陣。

(14)

其中r1稱為多余觀測數，且：

r1=n1-t.

(14a)

文獻[17]是根據概括平差模型導出單位權方差估計公式的，為了使讀者更加清晰地理解式(14)，以下按照論文的體系對式(14a)進行詳細推導。

(15)

去掉期望值符號即可得到式(14)。其中，Et為t×t的單位矩陣，t為參數的個數。

2 外符合精度公式

(16)

記基于L2(外符合檢驗數據)的回歸模型殘差向量為e2，即：

(17)

根據協因數傳播率，可得e2的協因數矩陣：

(18)

考慮到Q1和P1互為逆陣以及轉置矩陣的性質，整理后有：

(19)

對照式(13)和式(19)，式QV1V1和Qe2e2差異顯著，原因在于L1參加了建模平差計算，L2未參加平差計算。

(20)

同樣，考慮到式(6)和式(9)，對式(17)兩端求數學期望得：

(21)

可見，式(20)又可寫為：

(22)

將式(19)帶入式(22)，同樣考慮到P2和Q2互為逆陣以及矩陣跡的性質tr(AB)=tr(BA)得：

(23)

記：

(24)

(25)

需要說明的是，像坐標轉換、大地水準面擬合一類的問題，觀測值均視為等精度的獨立觀測值，上述有關公式中的權陣均取單位陣。

3 與經典公式的比較

根據經典方法，內符合精度的公式可以寫作：

(26)

外符合精度的公式可以寫作：

(27)

根據以上討論，并考慮到r1n2，可將式(14)與式(26)、式(25)與式(27)進行比較，結果列入表1。

由表1及誤差理論等相關知識可做如下分析：

表1 與經典公式的比較

4 實例分析

香港特別行政區共74個GNSS/水準控制點，其HK80和WGS84空間直角坐標見表2，點位分布見圖1。取表2中60-74號點作為建模點(如圖1中“口”形符號所示，共計15個)，1-59號點作為檢驗點(如圖1中“◇”形符號所示，共計59個)，現利用布爾沙模型進行HK80至WGS84的坐標轉換。

圖1 香港GNSS/水準點點位分布圖

表2 HK80及WGS84空間直角坐標(橢球上的投影點坐標)

續表2

續表2

可按照下列方式列立第i點的誤差方程。

(28)

其中，

圖2 建模數據在XYZ 3個方向的離差分布圖

圖3 檢驗數據在XYZ 3個方向的離差分布圖

表3 內外符合精度計算結果表

4 結 論