三原則整體最小二乘用于平面自由網平差計算

郭紹禹

(江西理工大學，江西 贛州 341000)

“整體最小二乘理論”應用到測繪領域是一種新理論，是近十年來許多學者的研究方向，并取得了算法和應用方面的研究成果[1-12]。但是，還缺少適用于平面自由網平差的研究成果。

由Adcock[13]提出的“系數矩陣A有誤差ΔA”需添加改正數VA的整體最小二乘模型可寫為：

(1)

(2)

文中在“平面網平差”中應用了“整體最小二乘理念”，獲得一種“三原則整體最小二乘”新方法，它能消除“系數誤差ΔA和參數系統誤差Δx”，適用于平面自由網平差。

1 最小二乘的模型和誤差

(3)

(4)

(5)

(6)

Δxj=xj-d=QjATPAd-d.

(7)

當XO的誤差ΔX=XO-XⅡ≈XⅠ-XⅡ=-d的絕對值小于0.3 m(作者實驗值)時，誤差ΔA對V沒有影響。

當誤差ΔX大時，用XO計算的系數矩陣A有誤差ΔA，其非線性誤差會影響平差而使V增加新誤差ΔV。為了去掉ΔV，應該消除系數誤差ΔA。

2 三原則整體最小二乘的模型

(8)

(9)

的三原則整體最小二乘即TPTLS新方法。

為了保持式(9)中各量的相同數量級，文中設定檢驗V，VA，VX末位數值的單位是：V單位(″)；在VA=VA×107之后VA=1；VX單位mm。

算例實驗容易實現VA，VX的絕對值小于0.01，明確規定0.5是檢驗數值標準。當由電腦檢驗VA，VX的Abs(V)<0.5時，則顯示VA=0，VX=0(注意這里的0不是數學0，而是顯示為0)，則分別消除了原先的誤差ΔA，Δxj。

由此觀念和經驗認識：TPTLS模型是“經過很多次的平差”，還要“多次的由電腦檢驗VA=0，VX=0”的模型式。

3 三原則整體最小二乘的解算方法

TPTLS解算方法不是唯一的，文中介紹兩種方法。

第一種TPTLS解算方法：靈活采用LS解算法，很多次循環運行LS，多次換用“參考點組”或“近似坐標”，逐次改變A等各種值趨近最終值，最后實現“VA=0，VX=0”而滿足三原則的準則。

逆陣Qj的計算式為：

(10)

(11)

協因數Qxx的計算式為：

Qxx=Qj(ATPA)Qj.

(12)

當平差運行到第2)大平差步驟時才需要計算改正數VA，VX，其計算式：

VA=Ai-Ai-1,

(13)

(14)

第i次運行VA，VX的檢驗過程如下：

4)檢驗絕對值：VA=VA×107， Abs(VA)<0.5,Abs(VX)<0.5 mm(在數組中分別保存VA，VX值供最后輸出用) 。

當檢驗絕對值均小于0.5時，即顯示VA，VX為0，結束循環運行；否則繼續。

穩定性檢驗用文獻[17]的單點檢驗，判別式為：

(15)

在文中，系數誤差是“系數矩陣A的誤差”的簡稱。因為是靈活采用LS解算法，因此不需要組成“系數矩陣誤差”。

4 TPTLS的平差步驟

TPTLS自由網平差的要求：

2)要消除→誤差ΔA，系統誤差Δxj，粗差值L；

3)要“各個參考系”都得出相同的“各種平差值”。

TPTLS自由網平差的兩大平差步驟為：

1)多次換用“參考點組”，選出w個穩定點：LS自由網平差多次循環運行；多次換用“參考點組”，利用式(10)—式(12)、式(15)求解；每次單點穩定性檢驗去掉一個參考點，最后選出w個穩定點的w號點組，結束循環。

2)多次換用“近似坐標”，消除誤差ΔA，Δxj：LS自由網平差多次循環運行；多次換用“新近似坐標”，w號點組不變，利用式(10)—式(14)求解；每次檢驗是否Abs(VX)<0.5 mm，當滿足此式時結束循環。然后運行“粗差檢驗”；最后按指定的參考點組利用式(10)～式(12)、式(15)求解一次后輸出成果。

5 模擬算例

模擬算例的數據來源：假設Ⅰ，Ⅱ期的真坐標XⅠ，XⅡ，計算真位移d=(XⅡ-XⅠ)，d作為Ⅱ期檢驗系統誤差的依據；反算出真觀測值LⅠ，LⅡ，添加隨機誤差得出觀測值LⅠ，LⅡ。

模擬算例說明(用Basic 6.0 企業版編制的通用程序)：

1)權P=1未打印，成果是最后一次的，進行粗差檢驗；

2)新Xo是最后的Xo；VA是VA；Vx是VX；Δx是Δxj；

3)VX全部輸出；VA因太多而只輸出兩個方程的VA值。

5.1 證明TPTLS消除誤差ΔA，Δxj

理論上證明“誤差ΔA， 系統誤差Δxj”是否消除的最好方法是：采用真坐標X，真觀測值L，近似坐標XO，分別運行各種平差方法：

2)運行TPTLS，得改正數V=0，平差值L′=L，平差坐標X′=X，則證明誤差ΔA，Δxj已消除。

因真觀測值無誤差，應該是V=0 ，X′=X。

表1是用真觀測值的TPTLS自由網平差算例：真觀測值L，S是與真坐標X配套的，近似坐標XO是前期的，平差能得出改正數V=0、平差坐標X′=X，這是從理論上嚴密證明：TPTLS消除了誤差ΔA，Δxj。

表1 用真觀測值三原則整體最小二乘平面自由網平差

表2是用真觀測值的LS自由網平差算例：原始數據同于表1，平差得出V≠0、平差坐標X′≠X，這是從理論上證明：LS結果含有誤差ΔA，Δxj影響。該算例是用來對比表1，證明TPTLS消除了誤差ΔA，Δxj。

表1可看出：平差值L′=真觀測值L；V=0；VA=0；穩定點的位移x=0；X′=X；Vx=0；Δx=0。

表2 用真觀測值最小二乘平面自由網平差

表2可看出：L′≠L，V是增加新誤差，證明有ΔA影響；穩定點位移x≠0；X′≠X；Δx≠0，證明有Δxj影響。

5.2 TPTLS的各個參考系均得出相同結果

表3、表4是用觀測值的TPTLS自由網平差算例：原始數據相同，參考系不同，即表3的參考點組(ABDEFG )與表4的(ADF)不同，平差均能得出“各種平差值”完全相同，這也證明：TPTLS消除了誤差ΔA，Δxj。

表3 三原則整體最小二乘平面自由網平差(ABDEFG)

表4 三原則整體最小二乘平面自由網平差(ADF)

表3、表4可看出：V，X′,位移x等“各種平差值”完全相同。

含有位移點的不同點組共有(26-23)=56組，定義56個不同參考系，采用TPTLS均能得出相同的“各種平差值”結果，即與參考系的選擇無關。

表5為表1—表4的平差方法結果對比。采用LS則得出不同的結果；采用滿足式(2)的TLS則得出V相同、位移x不同的結果。

表5 平差方法結果對比

6 結束語

2)TPTLS解算方法不是唯一的。文中采用LS解算法：先多次換用參考點組，后換用近似坐標，用LS的很多次平差運行來滿足三原則的準則式(9)。這種解算方法能夠消除“系數誤差ΔA和參數系統誤差Δxj”，各個參考系均能得出相同的“各種平差值”，且符合實際的無偏估計。

3)TPTLS方法適用于平面自由網平差，其最大的優點是：Ⅱ期選用“各個參考系”均能得出相同的“各種平差值”(即與參考系的選擇無關)，且能得出真位移d的無偏估計的位移x。經典的LS方法存在有“多個參考系得出多套位移x”的系統誤差問題，TPTLS方法有效解決了此類問題。