無限滯后測度泛函微分方程的Φ有界變差解的唯一性

丁利波

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1959年，MUSIELAKJ等[1-2]提出了Φ有界變差函數(shù)理論，這種理論是一般意義下的有界變差函數(shù)理論的發(fā)展與推廣，而且許多學(xué)者對Φ有界變差函數(shù)理論進(jìn)行了深入的研究.文獻(xiàn)[3-4]首次將Φ有界變差函數(shù)理論與Kurzweil方程理論結(jié)合起來，建立了Kurzweil方程的Φ有界變差解的唯一性定理和一類固定時刻脈沖微分系統(tǒng)Φ有界變差解的唯一性.盧金芳等[5]研究了滯后型泛函微分方程的Φ有界變差解的唯一性.Slavik在文獻(xiàn)[6]中介紹了一類無限滯后測度泛函微分方程：

(1)

無限滯后測度泛函微分方程已經(jīng)被許多學(xué)者所研究[7-11].

本文考慮無限滯后測度泛函微分方程初值問題

(2)

Φ有界變差解的唯一性，其中x是取值在Rn上的函數(shù)，xs(τ)=x(s+τ),τ∈(-∞,0]表示滯后的長度.

1 預(yù)備知識

定義1[12]函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn稱為在[a,b]上是Kurzweil可積的，如果存在I∈Rn，使得對任意ε>0，存在正值函數(shù)δ:[a,b]→R+，使得對[a,b]上的任何δ-精細(xì)分劃D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},其中τi∈[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi))， 有

設(shè)G是Rn+1中的開集，F(xiàn):G→Rn是對(x,t)∈G,x∈Rn,t∈R定義的Rn值函數(shù).

定義2[12]函數(shù)x:[α,β]→Rn稱為廣義常微分方程

在區(qū)間[α,β]?R上的解是指對所有的t∈[α,β]，(x(t),t)∈G，且對每個s1,s2∈[α,β]，有

成立.

設(shè)Φ(u)是對u≥0定義的連續(xù)不減函數(shù)，且滿足Φ(0)=0.對u>0，Φ(u)>0，本文假定Φ(u)滿足下列條件:

(c1)存在u0>0及L>0，使得對0

(c2)Φ(u)是凸函數(shù)，即

定義3[1]設(shè)[a,b]?R,-∞

并稱VΦ(x;[a,b])為函數(shù)x(t)在[a,b]上的Φ-變差.

定義4設(shè)t∈[t0,+∞)，稱x(t,t0,φ)是無限滯后測度泛函微分方程初值問題(2)的Φ有界變差解是指

2)xt0=φ；

3)x在[t0,+∞)的任何緊子區(qū)間上是Φ有界變差函數(shù)；

4)當(dāng)t∈[t0,+∞)時，(xt,t)∈Ω.

定義5設(shè)Ω=O×[t0,+∞)，函數(shù)f:Ω→X屬于函數(shù)族VΦ(Ω,h,ω)，如果f滿足以下條件.

H1) 存在一個正值函數(shù)δ(τ):[t0,+∞)→R，使得對每個區(qū)間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,+∞)及x∈O，有

‖f(xτ,τ)(g(v)-g(u))‖≤Φ(|h(v)-h(u)|).

(3)

H2) 對每個區(qū)間[u,v]，滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,+∞)及x,y∈O，有

‖f(xτ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(v)-g(u))≤ω(‖xτ-yτ‖)Φ(|h(v)-h(u)|).

(4)

其中h:[t0,+∞)→R是不減的左連續(xù)函數(shù)，ω:[0,+∞)→R是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

2 無限滯后測度泛函微分方程Φ有 界變差解的唯一性

下面主要介紹無限滯后測度泛函微分方程的Φ有界變差解及其唯一性定理的相關(guān)結(jié)果：

定義6無限滯后測度泛函微分方程(2)的Φ有界變差解x:(-∞,t0+η]→Rn稱為右行局部唯一解，如果對無限滯后測度泛函微分方程(2)的任何滿足xt0=yt0=φ的Φ有界變差解y:(-∞,t0+α]→Rn，存在η1>0,使得對t∈(-∞,t0+η]∩(-∞,t0+α]∩(-∞,t0+η1]，有x(t)=y(t).

如果無限滯后測度泛函微分方程(2)的每個解x滿足xt0=φ是右行局部唯一的，則點(diǎn)(t0,φ)∈Ω稱為方程(2)的右行局部唯一點(diǎn).進(jìn)一步講，如果每個(t0,φ)∈Ω是無限滯后測度泛函微分方程(2)的唯一點(diǎn)，則無限滯后測度泛函微分方程(2)具有右行局部唯一性質(zhì).

引理1[12]設(shè)ψ:[a,b]→[0,+∞)是區(qū)間[a,b]上的有界變差函數(shù)，h:[t0,+∞)→R是不減的左連續(xù)函數(shù)，ω:[0,+∞)→R是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

如果F(k)+h(b)-h(a)<β，則對任意的ξ∈[a,b]，有ψ(ξ)≤F-(F(k)+h(ξ)-h(a))成立，其中F-:(α,β)→R是函數(shù)F的反函數(shù).

定理 1設(shè)f∈VΦ(Ω,h,ω)，其中h是不減的左連續(xù)函數(shù)，ω:[0,+∞)→R是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.對每一個u>0，有

(5)

則無限滯后測度泛函微分方程(2)的每個滿足xt0=φ,(t0,φ)∈Ω的Φ有界變差解x是右行局部唯一的.

證明設(shè)x,y:(-∞,t0+η]→Rn無限滯后測度泛函微分方程(2)的滿足初始xt0=yt0=φ的兩個Φ有界變差解，其中η>0，則

對任意的ε>0，存在正值函數(shù)δ(τ):[t0,t]→[0,+∞)，使得對[t0,t]的任何δ-精細(xì)分化

D={τi,[αi-1,αi],i=1,2,…,k},

由定義1及定義5的條件H2，有

由文獻(xiàn)[1]，有

(6)

令v(t)=VΦ(h,[t0,s]),t0

由ε>0的任意性，有

(7)

其中0<δ

(8)

‖x(t)-y(t)‖≤F-(F(A(δ))+v(t)-v(t0+δ))，

(9)

顯然有

F(A(δ))+v(t0+η)-v(t0+δ)≤F(A(δ))+v(t0+η)-v(t0+).

因此，存在δ0>0，使得對δ∈(0,δ0)，不等式F(A(δ))+v(t0+η)-v(t0+)<β成立，由式(9)有

F(‖x(s)-y(s)‖)≤F(A(δ))+v(s)-v(t0+δ).

進(jìn)一步，有

F(‖x(t)-y(t)‖)-F(A(δ))≤v(t)-v(t0+δ)≤v(t)-v(t0+).

由函數(shù)F的定義，對t∈[t0+δ,t0+η]，δ∈(0,δ0)，有

如果對某個t*∈(t0,t0+η]，有‖x(t)-y(t)‖=k>0，對δ∈(0,δ0)，使得δ

這與定理中有關(guān)函數(shù)ω的條件相矛盾，故對任意的t∈(-∞,t0+η)，有‖x(t)-y(t)‖=0，因此定理結(jié)論成立.

定理 2設(shè)f∈VΦ(Ω,h,ω)，x:[α1,β1]→Rn,y:[α2,β2]→Rn是無限滯后測度泛函微分方程(2)的兩個Φ有界變差解，如果條件(5)成立，且對s∈[α1,β1]∩[α2,β2]，有x(s)=y(s)，則對所有的t∈[α1,β1]∩[α2,β2]∩[s,b]，有x(t)=y(t).

證明因為相交部分[α1,β1]∩[α2,β2]∩[s,b]是形如[s,c],c0，對所有的σ∈[β,β+η]有x(σ)=y(σ).這與β的定義互相矛盾，故M=[s,c].

3 結(jié)語

本文在之前學(xué)者工作的基礎(chǔ)上，借助Φ有界變差函數(shù)理論和Henstock-Kurzweil 積分的有關(guān)結(jié)果，討論了無限滯后測度泛函微分方程的Φ有界變差解的唯一性定理，并對其進(jìn)行了證明，將有界變差解的相關(guān)結(jié)論推廣到Φ有界變差解.因此，接下來的工作可以繼續(xù)討論無限滯后測度泛函微分方程的Φ有界變差解的Lipschitz穩(wěn)定性和周期性.