一類非線性演化不等方程弱解的不存在性

李鈺強

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541006)

0 引言

在歐氏空間RN上，關(guān)于橢圓型、拋物型和雙曲型的不等方程解的存在性以及應(yīng)用已經(jīng)有了許多研究[1-4].在RN中，橢圓不等方程為

-?·(|?u|p-2?u)≥uq,u≥0,u≡0,

(1)

以及在RN×[0,∞)中，拋物型方程：

(2)

對于含有Baouendi-Grushin算子不等方程也有如下的結(jié)果：

(3)

(4)

其中：ΔG定義為：ΔG:=Δx+|x|γΔy；a是有界可測函數(shù)；γ,δ1,δ2≥0.由準均勻條件誘導(dǎo)出的距離為

(5)

在文獻[6]中已經(jīng)證明不等方程(3)和(4)的非平凡弱解的不存在性.

根據(jù)文獻[6]，文獻[7]研究了某類p-Laplace型Baouendi-Grushin算子不等方程弱解的存在性.文獻[8]研究了含p-Laplace型Baouendi-Grushin算子方程解的梯度估計.

本文根據(jù)參考文獻[9]，在Rn×Rm×[0,∞)中，對含p-Laplace型Baouendi-Grushin算子的拋物型不等方程：

(6)

1 預(yù)備知識

Baouendi-Grushin向量場?G定義為(參考文獻[11])：

設(shè)A=|?Gu|p-2?Gu:RN×R×RN→RN，則A滿足

(A,?Gu)=|A|p′,

(7)

其中：(·,·)為歐式空間的內(nèi)積；p′為p的共軛指數(shù).

定義1一個非負函數(shù)u∈W1,p(RN×[0,∞))

(8)

則稱u是方程(6)的弱解.

2 主要結(jié)果及證明

(9)

(10)

由(7)和(10)，利用Young不等式可得

其中ε>0.

整理得

引理2(先驗估計)假設(shè)引理1成立，設(shè)q>max{1,p-1}，α<0，且

(11)

其中：Ci′>0,i=1,2,3；κ′,η′,μ′分別是κ,η,μ的共軛指數(shù)，κ,η,μ分別為

(12)

由Holder不等式得

(13)

由(9)可推出

于是由(13)可得

由Holder不等式得

(14)

令

由Young不等式得

其中εi>0,i=1,2,3.

因此，由(14)可得

整理得

其中

即

定理1設(shè)q>max{1,p-1}，且

(15)

若

(16)

則方程(6)不存在非平凡弱解.

令

(17)

其中

則有

(18)

其中

(19)

(20)

其中，

由于u∈Lq(RN×(0,∞))，則存在一個序列{Rl}→∞,l→∞，使得

結(jié)合這個極限關(guān)系和式(20)得

進一步考慮這樣的方程：在Rn×Rm×[0,∞)中，設(shè)k>0,q>max{k,p-1},p>1，拋物型不等方程：

(21)

同樣有以下結(jié)果.

(22)

其中C5>0,C6>0.

推論2(先驗估計) 假設(shè)推論1成立，設(shè)

q>max{k,p-1}，α<0,

且

(23)

(24)

定理2設(shè)q>max{k,p-1}，且

(25)

若

(26)

則方程(21)不存在非平凡弱解.

定理2的證明類似于定理1的證明.

3 結(jié)語

本文利用一種先驗估計的方法，通過試驗函數(shù)法，研究了一類非線性演化不等方程弱解不存在性問題，可進一步應(yīng)用到含有p-Laplace型Baouendi-Grushin算子不等方程弱解不存在性的研究中.本文改進了試驗函數(shù)的選取，控制p的范圍，根據(jù)q的取值范圍對方程(6)弱解的不存在性進行分析，將方程(6)拓展到方程(21).本文的證明方法與過程可為某類拋物型不等方程弱解的不存在性提供一些研究思路.