兩輪自平衡可移動機器人能耗最優(yōu)運動軌跡規(guī)劃方法

楊怡婷

(天津濱海職業(yè)學院 機電工程系,天津 300451)

通過兩輪自平衡可移動機器人電能轉(zhuǎn)換效率的提高，可保證機器人能夠在一定的電能供給條件下移動更長的距離并完成更多的動作[1-4].為此提出了一種能耗最優(yōu)運動軌跡規(guī)劃方法，考慮了電機的運動特性和軌跡跟蹤器的指令響應(yīng)過程，并分別建立了對應(yīng)的模型，與軌跡規(guī)劃相結(jié)合利用頻域分析創(chuàng)建了線性能耗模型，同時基于局部目標點間的最小能耗運動軌跡算法進行了整體最優(yōu)軌跡的規(guī)劃.對提出的方法進行了仿真實驗，驗證了所創(chuàng)建模型的正確性和方法的有效性.

1 能耗模型

為了能夠微觀地分析機器人行動過程中的能耗和運動軌跡，將機器人的運動軌跡劃分為由多個行動局部目標點連接而成的曲線段[5-6].機器人從當前軌跡運動到預(yù)定軌跡的能量消耗分為兩部分，即運動能耗和非運動能耗.由于軌跡控制器的動態(tài)響應(yīng)會引起機器人動作的超調(diào)或滯后，在軌跡變換過程中機器人的運動能耗不僅要用于驅(qū)動機器人運動克服地面摩擦力，還要用于機器人運動狀態(tài)的改變，所以運動能耗包含變狀態(tài)能耗Estate和穩(wěn)定狀態(tài)能耗Efri兩個部分.

1.1 變狀態(tài)能耗

機器人在運動過程中驅(qū)動電機的輸入電壓變化情況如圖1所示.機器人由當前軌跡運動到預(yù)定軌跡的前Ts秒時間為機器人行動的過渡階段，在這個時間段內(nèi)機器人進行運動狀態(tài)調(diào)整，電能消耗除了克服地面摩擦驅(qū)動機器人運動之外，還需實現(xiàn)機器人的速度加減，這兩部分的總體能耗為Estate.

圖1 機器人運動過程中電機電壓變化

(a)側(cè)視圖

(b)俯視圖

(1)

式中，A為機器人狀態(tài)參數(shù)所組成的矩陣，B為機器人控制器參數(shù)矩陣，u為左右兩側(cè)滾輪驅(qū)動電機的輸入電壓，C為6×6的單位矩陣.結(jié)合以上各運動角速度的計算方法和機器人PID控制器的控制增益可分別得到軌跡參數(shù)轉(zhuǎn)換模塊的傳遞函數(shù)矩陣T(s)和軌跡跟蹤器的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，通過拉普拉斯變換將式(1)轉(zhuǎn)換為機器人的傳遞函數(shù)矩陣H(s)，則機器人的運動狀態(tài)變化量Δr與電機輸入電壓Δu的傳遞函數(shù)表達式為：

(2)

考慮電機的實際電能消耗和移動時左右兩側(cè)滾輪的輸出電壓ul和ur，機器人在當前軌跡移動過程中的變狀態(tài)能耗在時域中的表達式為：

(3)

式中，Rm為驅(qū)動電機電阻值，Ts為變狀態(tài)持續(xù)時間，ul-和ur-分別為上一次運動過程中的輸出電壓.利用傅里葉變換將式(3)的時域表達式轉(zhuǎn)換為相同能量輸出的頻域表達式：

(4)

將式(4)展開，引入C=ul-×Δr、D=ur-×Δr替代多項式中的常數(shù)項.由于機器人移動速度變化量Δv、角速度變化量Δw以及運動方向的變化量σ均為固定值，所以機器人系統(tǒng)在頻域上的變狀態(tài)能耗總量表達式可轉(zhuǎn)化為：

(5)

由式(5)可見，機器人在變狀態(tài)階段的能耗取決于上一段運動軌跡的輸出功率P_和當前軌跡的運動狀態(tài)變化量Δr.

1.2 穩(wěn)定狀態(tài)能耗

Efri=[b1(υ-+Δυ)2+b2(w-+Δw)2](T-Ts),

(6)

式中，v_和w_分別為在前一段運動軌跡中機器人的位移速度和滾輪旋轉(zhuǎn)角速度，b1和b2均為常數(shù).

2 最優(yōu)運動軌跡規(guī)劃方法

一定數(shù)量的局部目標點劃分為多個曲線段的機器人運動軌跡中，每一條曲線段都呈圓弧形，設(shè)圓弧形軌跡的圓心角為γ，則機器人在該段軌跡運動的總能耗可通過機器人運動狀態(tài)的轉(zhuǎn)換變量γ與運動時間T來表示，因此，調(diào)整預(yù)定軌跡的變化量Δr和運動時間T即能獲得機器人的最優(yōu)運動軌跡.機器人在相鄰兩個局部目標點之間的運動軌跡如圖3所示.

圖3 相鄰局部目標點之間的運動軌跡

預(yù)定軌跡的起點即當前位置的坐標為(xi-1，yi-1)，運動目標位置的坐標為(xi，yi)，當前運動狀態(tài)向量為(vi-1，wi-1，φi-1).圖3中的粗實線曲線段為最優(yōu)預(yù)定軌跡，其右側(cè)細實線為機器人運動方向不變情況下的光滑軌跡，那么相對于前一段運動軌跡，當前預(yù)定軌跡的變化量應(yīng)為(Δvi，Δwi，σi)，運行時間為Ti，由此可通過相鄰兩個局部目標點之間的直線距離di和預(yù)定軌跡的圓心角?i分別推導(dǎo)出Δri中的Δvi、Δwi和σi，引入?yún)?shù)變量θ1、θ2，即可得到由變量γi和Ti所組成的預(yù)計軌跡總能耗表達式為：

(7)

為了獲得式(7)的最小值，求解以下偏導(dǎo)方程：

(8)

將結(jié)果代入Δvi、Δwi和σi的計算式，即可得到預(yù)定軌跡相對于前一段運動軌跡的最優(yōu)變化量.

3 仿真測試

3.1 能耗模型參數(shù)與最優(yōu)運動軌跡

以兩輪自平衡可移動機器人為測試對象，采用LQR-PID軌跡跟蹤控制器控制機器人的運動，為了保證控制精度，設(shè)定機器人的移動速度不大于1 m/s，為了避免滾輪空轉(zhuǎn)，設(shè)定旋轉(zhuǎn)角速度不大于0.35 rad/s，運動角度變化量不大于80°.

在各種設(shè)定值的范圍內(nèi)隨機選取1 000組機器人運動軌跡，其中700組用于訓練能耗模型，剩余300組用于仿真結(jié)果測試.運動軌跡的狀態(tài)量分別為r1=(v1，w1，φ0+σ1)T，…，ri=(vi，wi，φi-1+σi)T，在運動軌跡的起點位置將機器人的運動參數(shù)v1、w1和σ1輸入控制器，啟動機器人并運行10秒，記錄第10秒時的左右兩側(cè)滾輪驅(qū)動電機輸入電壓ul-和ur-，接下來將v2、w2和σ2輸入控制器再驅(qū)動機器人運行10秒，此時變狀態(tài)能耗Estate的對應(yīng)時間為第10-(10+Ts)秒，穩(wěn)定狀態(tài)能耗Efrie的對應(yīng)時間為第(10+Ts)-20秒，通過實驗可得Ts為5.82秒.利用最小二乘法計算能耗模型的參數(shù)，可分別獲得能耗模型的參數(shù)向量θ1(a1，…，a13)和θ2(b1，b2)，具體結(jié)果如表1所列.

表1 能耗模型參數(shù)

最后通過300組測試數(shù)據(jù)對表1中的模型參數(shù)進行驗證，通過這些參數(shù)所計算的運動能耗與實際能耗的誤差如圖4所示.通過測試集驗證，運動能耗的絕對誤差均不大于1 J，平均相對誤差為0.63%，可見通過本文方法創(chuàng)建的能耗模型是貼近實際的.

(a)測試集能耗對比絕對誤差

(b)測試集能耗對比相對誤差

機器人的預(yù)定運動軌跡如圖5虛線部分路徑，路徑上的各個拐點作為運動軌跡的局部目標點，并按照拐點將路徑劃分為4條局部預(yù)定軌跡，通過本文方法分別計算機器人通過各局部目標點時下一段預(yù)定軌跡和運行時間，在各段最優(yōu)軌跡中運行時機器人的狀態(tài)參數(shù)Etotal、T、v2、w2和σ2變化情況如表2所列.

由表2中的數(shù)據(jù)可見，機器人在第1段運動軌跡的能耗最大，而第2、3、4段軌跡的對應(yīng)能耗較為接近，與實際情況相符，由此可認為通過該能耗模型所獲得的預(yù)定最優(yōu)軌跡與實際最優(yōu)軌跡應(yīng)較為接近，為了驗證這一結(jié)論，將預(yù)定軌跡與實際軌跡進行了對比，結(jié)果如圖6所示.通過第4段曲線起點位置的預(yù)定軌跡與實際運動軌跡的對比可見，兩條曲線幾乎重合，本文方法對最優(yōu)軌跡的規(guī)劃有效.

圖5 機器人仿真運動軌跡

3.2 同類方法對比

為了進一步驗證本文所提最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法的優(yōu)越性，將該方法分別與運動距離最短軌跡規(guī)劃法和能量消耗最低的3次貝塞爾曲線規(guī)劃法進行綜合對比.3種規(guī)劃方法所對應(yīng)的機器人預(yù)定運行軌跡如圖7所示，各方法的最終運行數(shù)據(jù)如表3所列.

表2 最優(yōu)運動軌跡對應(yīng)的機器人狀態(tài)參數(shù)

圖6 能耗模型最優(yōu)軌跡驗證

圖7 不同規(guī)劃方法的預(yù)定運行軌跡

表3 不同規(guī)劃方法的最終運行數(shù)據(jù)

由表3中的數(shù)據(jù)可見，最短距離規(guī)劃法和最小能量規(guī)劃法的能耗比本文所提規(guī)劃方法的能耗分別高出1.51%和9.26%，且由于所提方法考慮了軌跡控制器的響應(yīng)過程，更貼近機器人的實際運行狀態(tài)，因此相較于其它兩種方法更為有效和實用.

4 結(jié)論

為了降低兩輪自平衡可移動機器人在運動過程中的電能消耗，以延長其運行時間和移動距離，提出了一種能耗最優(yōu)運動軌跡規(guī)劃方法.通過機器人運動時的變狀態(tài)能耗和穩(wěn)定狀態(tài)能耗分析創(chuàng)建了總能耗模型，利用最小二乘法確定了模型的狀態(tài)參數(shù)，基于圓弧預(yù)定軌跡的綜合變量選取了最優(yōu)運動軌跡.仿真實驗結(jié)果表明，本文所提出的最優(yōu)運動軌跡規(guī)劃方法切實有效，相較于其它同類方法具有明顯的低能耗優(yōu)勢，可在多個領(lǐng)域中推廣應(yīng)用.