廣義分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing振子的動力學(xué)響應(yīng)與隔振效果研究

唐建花, 李向紅,3, 王 敏, 申永軍, 李壯壯

(1.石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系,石家莊 050043； 2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

非線性系統(tǒng)在各種擾動下會產(chǎn)生許多復(fù)雜的現(xiàn)象，如主共振、超諧共振、亞諧共振、內(nèi)共振等，求解該類系統(tǒng)的方法有很多，如平均法、增量諧波平衡法、改進(jìn)的諧波平衡法、改進(jìn)的多尺度法等[1-7]。當(dāng)激勵頻率和系統(tǒng)的固有頻率接近時，系統(tǒng)往往會發(fā)生共振。在工程設(shè)計過程中，如果合理設(shè)計參數(shù)，可有效避開共振帶來的危險因素；同時，在某些情況下，也可更好地利用有效振動。針對非線性系統(tǒng)共振的研究，許多學(xué)者已經(jīng)做了大量的工作，Nayfeh[8]針對單自由度系統(tǒng)，通過添加具有適當(dāng)振幅和相位的超諧波激勵來減少、消除或增強(qiáng)共振的響應(yīng)。Glebov等[9]討論了WKB法在主共振方程攝動問題中的適用性。Sun等[10]通過調(diào)制不同周期信號或噪聲水平來控制、激發(fā)或抑制雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的共振行為。毛曉曄等[11]用多尺度法研究了超臨界流速輸液管在3∶1內(nèi)共振條件下的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)。Xia等[12]揭示了在超臨界狀態(tài)下Timoshenko管道強(qiáng)迫振動的多重共振響應(yīng)。Mao等[13]提出了一種解決具有強(qiáng)非線性和非均勻邊界條件結(jié)構(gòu)振動的分析方法，并將其用到鋼筋的縱向振動和非線性扭轉(zhuǎn)邊梁中，發(fā)現(xiàn)該方法對具有非線性和非均勻邊界條件的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動分析具有很好的作用。胡宇達(dá)等[14-15]分別研究了軸向變速運動載流梁的聯(lián)合共振和旋轉(zhuǎn)運動圓環(huán)板、導(dǎo)電旋轉(zhuǎn)圓板在磁場環(huán)境下的動力學(xué)行為。

近年來，有些學(xué)者發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分更能描述材料分?jǐn)?shù)階黏彈性特征，因此，對系統(tǒng)主共振的研究逐漸由整數(shù)階向分?jǐn)?shù)階拓展。Shen等[16-18]用平均法和增量諧波平衡法計算了分?jǐn)?shù)階微分自激系統(tǒng)、非線性時滯分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和單自由度分?jǐn)?shù)階分段光滑系統(tǒng)的解析解并分析了其動力學(xué)行為。Chen等[19]使用廣義諧和變換法得到了隨機(jī)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的不含分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項的等價隨機(jī)系統(tǒng)，然后使用隨機(jī)平均法給出了系統(tǒng)的解析解。Leung等[20]提出了一種針對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)自治和非自治系統(tǒng)的改進(jìn)諧波平衡方法，并研究了激勵頻率、分?jǐn)?shù)階、幅度、相位角和頻率之間的相互作用。基于第一類傳遞函數(shù)的基本屬性，Malti等[21]根據(jù)Matignon穩(wěn)定性定理的推論給出了第二類傳遞函數(shù)的共振條件。為滿足工程需要，需用不同的方法對共振帶來的危害進(jìn)行抑制和控制，如隔振[22]、減振[23-24]、緩沖[25]等。含分?jǐn)?shù)階算子的動力學(xué)模型能夠準(zhǔn)確地描述黏彈性材料隔振器的動態(tài)特性。因此，為盡可能減少機(jī)械或工程結(jié)構(gòu)振動引起的危害，含分?jǐn)?shù)階項的隔振技術(shù)在工程中已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。周超等[26]用諧波平衡法研究了由基礎(chǔ)振動激勵、黏彈性材料隔離的被動隔振體的非線性動力響應(yīng)。Makris等[27]提出了可用于管道系統(tǒng)，鍛造錘和其它工業(yè)設(shè)備以及建筑結(jié)構(gòu)隔振的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Maxwell黏性阻尼器。Alberto等[28]給出了分?jǐn)?shù)階被動隔振系統(tǒng)模型，并分析了隔振器剛度和阻尼頻率的影響。

前人針對分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing 振子的研究大多在解析解方面，很少有學(xué)者考慮其隔振效果。因此，本文將提出具有非線性阻尼的分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing振子，稱之為廣義分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing振子，并重點分析在無量綱情況下該振子的動力學(xué)行為和隔振效果。類似的阻尼項已在模擬人體在剛性地板上行走的側(cè)向力和船舶的側(cè)傾運動中被討論過并取得了很好的效果[29-30]，但是這些系統(tǒng)均為整數(shù)階系統(tǒng)。本文在研究過程中，采用平均法得到該振子的一階解析解，進(jìn)而分析定常解的動力學(xué)行為，并討論無量綱化后各個參數(shù)對響應(yīng)和力傳遞率的影響，其分析方法和結(jié)論不僅能為該類振子的隔振設(shè)計和隔振效果評價提供一定的理論參考，而且可以使工程設(shè)計人員對分?jǐn)?shù)階振子的隔振特性有更進(jìn)一步的了解，同樣對系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究有著很重要的參考意義。

1 具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼的廣義 van der Pol-Duffing 振子

廣義分?jǐn)?shù)階 van der Pol-Duffing 振子可表示為

(1)

(2)

式(1)可變形為

(3)

2 廣義 van der Pol-Duffing 振子的近似周期解

本節(jié)用平均法研究激勵頻率接近固有頻率時廣義分?jǐn)?shù)階van der Pol-Duffing振子的一階解析解。

2ωσx(t)+qcosωt}

(4)

設(shè)式(4)有如下解

x=acosφ

(5a)

(5b)

假定φ=ωt+θ,a和φ為幅值和相位。對式(5)求導(dǎo)可得

(6a)

(6b)

因為振幅a和相位φ變化緩慢, 可令

θ(t)]=0

(7)

將式(5a)和(6b)代入式(4)中,用平均法在一個周期上進(jìn)行平均, 可得

(8a)

(8b)

其中

Y1(a,θ)=ε[qcos(φ-θ)+2aωσcosφ-a3γ1cos3φ]+

(-8aεωsinφ+a3εc1ωsinφ+3a3εc2ω3sinφ+

a3εc1ωsin 3φ-a3εc2ω3sin 3φ)/4

(9a)

(9b)

式中：t∈[0,T],如果被積函數(shù)為周期函數(shù), 則T=2π；如果被積函數(shù)非周期,則T=∞。因此式(8)可化簡為

a1+a2

(10a)

(10b)

其中

(11a)

(11b)

因為

所以

(11d)

因此

(12a)

(12b)

將原系統(tǒng)參數(shù)代入式(12)可得

(13a)

(13b)

3 定常解及其穩(wěn)定性

(14a)

(14b)

其中

(15a)

(15b)

由式(15)可得,如果分?jǐn)?shù)階階次α→1時,C(α)=2μ-μ2ωα-1,K(α)=k,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項只表現(xiàn)阻尼特性而不呈現(xiàn)剛度特性。當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次α→0時,C(α)=2μ,K(α)=k+μ2ωα,分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項只呈現(xiàn)剛度特性, 這說明了分?jǐn)?shù)階器件與整數(shù)階的不同之處, 即通過適當(dāng)控制分?jǐn)?shù)階階次可使分?jǐn)?shù)階器件同時表現(xiàn)阻尼和剛度特性。因此, 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項可以分解為線性彈性恢復(fù)力和線性阻尼之和,也即

(16)

(17a)

(17b)

因為

(18a)

(18b)

所以

(19a)

(19b)

特征方程為

λ2-(b11+b22)λ+b11b22-b21b12=0

(20)

其中

當(dāng)P=b11+b22≤0,Q=b11b22-b21b12>0時,特征值的實部為負(fù),即定常解是穩(wěn)定的,反之亦然。

為驗證解析解的正確性,令參數(shù)m=5、k=15、μ=0.5、c1=3、c2=2、μ1=15、μ2=0.5、α=0.3,f分別為0.2、0.5和1.2, 對式(14a)和式(4)進(jìn)行數(shù)值模擬, 結(jié)果如圖1所示, 其中實線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定解析解, “+”表示數(shù)值模擬結(jié)果。數(shù)值模擬結(jié)果采用文獻(xiàn)[31]中提出的分?jǐn)?shù)冪級數(shù)法處理, 其中步長為0.003, 計算時間為800 s,將后640 s響應(yīng)的最大幅值視為穩(wěn)定幅值。根據(jù)圖1可得, 數(shù)值結(jié)果和穩(wěn)定解析解吻合很好。因此, 本文采用平均法得到的解析解精確度較高, 可用于實際工程的參數(shù)設(shè)計或分析中。

圖1 解析解和數(shù)值解對比Fig.1 Comparison of analytical solution and numerical solution

4 系統(tǒng)參數(shù)對響應(yīng)特性的影響

為深入分析該系統(tǒng)的響應(yīng)特性, 引入下列無量綱量

其中,ξ、A0、ζ、κ1、F和κ2分別代表阻尼比、振幅、頻率比、非線性剛度系數(shù)、激勵幅值和分?jǐn)?shù)階項系數(shù),χ1和χ2為非線性參數(shù)。式(14a)可變?yōu)?/p>

(21)

由式(21)得, 幅值最大值滿足的方程為

(22)

無量綱化后, 判別解穩(wěn)定性的特征方程為

λ2-P1λ+Q1=0

(23)

令基本參數(shù)κ1=5、κ2=0.3、χ1=0.05、χ2=0.854、α=0.3、F=0.5、ξ=0.5。假設(shè)其余參數(shù)保持基本參數(shù)值不變,只改變其中某個參數(shù)并討論其對響應(yīng)的影響,如圖2～8所示。由圖2～8可得, 在給定參數(shù)范圍內(nèi),隨著κ1、κ2、χ1、χ2、α、F和ξ的變化, 解的穩(wěn)定性、解的個數(shù)、共振區(qū)域、共振頻率、曲線彎曲程度和共振峰峰值均有變化, 多值解穩(wěn)定性的變化使得解產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象, 其中最大支、中間支、最小支分別被稱為穩(wěn)定共振支, 不穩(wěn)定支、非共振支。設(shè)計系統(tǒng)時, 應(yīng)當(dāng)避免或減小不穩(wěn)定區(qū)域的出現(xiàn)。

圖2 非線性剛度系數(shù)κ1

圖3 分?jǐn)?shù)階項系數(shù)κ2 對響應(yīng)的影響

圖4 參數(shù)χ1對響應(yīng)的影響

圖5 參數(shù)χ2對響應(yīng)的影響

圖6 分?jǐn)?shù)階階次α對響應(yīng)的影響

圖7 幅值F對響應(yīng)的影響Fig.7 Effect of amplitude F on response

圖8 阻尼比ξ對響應(yīng)的影響Fig.8 Effect of damping ratio ξ on response

當(dāng)非線性剛度系數(shù)κ1分別為1、5、15,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,作出幅頻曲線圖,如圖2所示。由圖2可得,隨著κ1的增大,閉合曲線逐漸形成且離光滑曲線越來越遠(yuǎn),多值解和跳躍現(xiàn)象一直存在,穩(wěn)定共振支區(qū)域增大,非共振支一直不穩(wěn)定,共振頻率增大,共振峰向頻率增大方向移動,幅值減小,因此,非線性剛度系數(shù)對響應(yīng)的共振峰峰值有抑制作用。

當(dāng)分?jǐn)?shù)階項系數(shù)κ2分別取0、1.3、3,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,系統(tǒng)幅頻曲線的變化圖,如圖3所示。由圖3可得,隨κ2的增大,閉合曲線逐漸破裂而形成一條平滑曲線,曲線彎曲程度和幅值逐漸減小,共振區(qū)域、穩(wěn)定解區(qū)域和共振頻率增大,共振峰向頻率增大方向移動,多值解逐漸消失,穩(wěn)定單值解區(qū)域漸漸增大,因此,在選取κ2時需稍大一些,但頻率不要太大。

當(dāng)χ1的取值分別為0.001、2.5和8,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,其幅頻曲線變化圖如圖4所示,同時給出χ2分別為0.854、1.3和2.5時的幅頻曲線變化圖,如圖5所示。圖4和圖5的動力學(xué)行為類似，但它們對接下來力傳遞率的影響稍有不同,因此,在這里同時討論了圖4和圖5的動力學(xué)行為。由圖4和圖5可得,隨參數(shù)的增大,閉合曲線消失,曲線逐漸平緩,多值解范圍漸漸減小,共振區(qū)域變大且共振峰向頻率減小方向移動,共振頻率和幅值減小,穩(wěn)定解基本保持在共振區(qū)域內(nèi),因此,χ1,χ2的增大會抑制共振峰值增大,但跳躍行為減弱。

當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次α分別為0、0.5和1,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,圖6給出α對幅頻曲線的影響。由圖6可得,共振區(qū)域、共振峰、共振頻率和幅值的變化規(guī)律與圖4和5相似,剛度特性隨α的增大而減小,這導(dǎo)致共振頻率逐漸減小且曲線逐漸平緩,阻尼特性隨α的增大而增大,因此系統(tǒng)共振振幅逐漸減小,多值區(qū)穩(wěn)定共振解、不穩(wěn)定解、不穩(wěn)定非共振解一直存在,整體而言不穩(wěn)定區(qū)域相對較大。

當(dāng)參數(shù)F分別為0.45、1.4和3.5,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,幅頻曲線變化圖,如圖7所示。幅值隨F的增大而增大,解的多值性逐漸消失,不穩(wěn)定區(qū)域隨F的增大逐漸減小,當(dāng)F達(dá)到一定值時,系統(tǒng)幅頻曲線不再發(fā)生跳躍現(xiàn)象,因此,可通過加大F來抑制系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域的產(chǎn)生,但會放大系統(tǒng)的幅值。

然而共振區(qū)域的大小并不都會隨參數(shù)的變化而變化,如圖8所示。阻尼比ξ(ξ=0.007、0.02和0.5)的變化對共振區(qū)域大小的影響較小,但多值區(qū)非共振支穩(wěn)定,共振峰左移且共振頻率減小。

綜上所述可得,隨參數(shù)的變化,在多值區(qū),如果跳躍現(xiàn)象存在,則穩(wěn)定共振解、不穩(wěn)定解和不穩(wěn)定非共振解一定存在，ξ變化除外。κ1的增大會使閉合曲線逐漸形成,然而其余參數(shù)增大閉合曲線消失。共振區(qū)域隨κ2、χ1、χ2、α和F的減小而減小。共振峰因κ1和κ2的增大而右移且共振頻率增大其余參數(shù)的變化規(guī)律則相反。除κ1影響外曲線的彎曲程度均減小。振幅會隨著其它參數(shù)的增大而減小，f影響除外。因此,在實際應(yīng)用中,可通過增大其它參數(shù)減小激勵幅值來抑制共振峰峰值,但要避開跳躍點和不穩(wěn)定狀態(tài)。

5 力傳遞率

如果振源是被隔振物體本身,在隔振的研究中常常用通過隔振裝置傳遞到基礎(chǔ)上力的幅值與作用于振動系統(tǒng)上激勵力的幅值之比,即力傳遞率Tf,來驗證隔振系統(tǒng)對動態(tài)力的消減程度。在這里頻率比小于共振頻率比的區(qū)域稱為低頻區(qū),頻率比大于共振頻率比的區(qū)域稱為高頻區(qū)。

下面分析系統(tǒng)的隔振效果。由式(1)和式(5)可得,傳遞到基礎(chǔ)上的動荷載為

μ2K1(α)x(t)=K(α)x(t)-[C(α)-μc1x2(t)-

(24)

由于高次諧波分量對力傳遞率的影響很小[32],因此,這里只考慮頻率為ω的力傳遞率,則

f(t)=f0cos(φ+φ)

(25)

其中

(26a)

(26b)

因此,力的傳遞率為

(27)

隔振器參數(shù)合理的選擇既可使傳遞到基礎(chǔ)上的力最小,也是降低振動傳遞的關(guān)鍵。當(dāng)振子處于非線性振動時,分別以非線性剛度系數(shù)k1、分?jǐn)?shù)階項系數(shù)k2、非線性參數(shù)χ1和χ2、分?jǐn)?shù)階階次α、激勵幅值F、阻尼比ξ、頻率比ζ為設(shè)計變量。將圖2～8的數(shù)據(jù)代入式(22)和式(27)中得到不同設(shè)計參數(shù)影響下力傳遞率Tf與頻率比ζ之間的關(guān)系圖,如圖9～15所示。從圖9～15可得,力傳遞率從初始值1開始逐漸增大,達(dá)到共振頻率時,產(chǎn)生共振峰,力傳遞率達(dá)到最大值,然后再逐漸減小。力傳遞率Tf>1時,系統(tǒng)不發(fā)生隔振作用,會使振動放大,若Tf<1,則說明產(chǎn)生隔振效果,該區(qū)域為隔振區(qū),在隔振區(qū)Tf的值越小,隔振效果越好。

取與圖2完全相同的參數(shù),得到力傳遞率Tf與非線性剛度系數(shù)k1的關(guān)系,如圖9所示,隨著k1的減小,共振頻率朝低頻方向移動,在高頻隔振區(qū)相同頻率對應(yīng)的力傳遞率值也變小。因此,減小剛度k1有利于提高隔振效果和增大有效隔振頻率范圍。根據(jù)k1與質(zhì)量m、線性剛度k、系統(tǒng)(1)的非線性剛度μ1的關(guān)系可得,在其它參數(shù)不變的情況下減小m或μ1,增大k同樣能提高隔振效果和增大有效隔振頻率范圍。

圖9 非線性剛度系數(shù)κ1對 力傳遞率的影響

圖10 分?jǐn)?shù)階項系數(shù)κ2對 力傳遞率的影響

圖11 參數(shù)χ1對力傳遞 率的影響

圖12 參數(shù)χ2對力傳遞 率的影響

圖13 分?jǐn)?shù)階階次α對力傳遞率的影響Fig.13 Influence of fractional order α on force transmissibility

圖14 激勵幅值F對力傳遞率的影響Fig.14 Influence of amplitude F on force transmissibility

圖15 阻尼比ξ對力傳遞率的影響Fig.15 Influence of damping ratio ξ on force transmissibility

改變分?jǐn)?shù)階項系數(shù)k2,將圖3的參數(shù)代入式(22)和(27)中計算Tf,得到圖10所示關(guān)系。由圖10可得,增大k2,共振頻率朝高頻方向移動,共振峰峰值減小,在高頻隔振區(qū)相同頻率對應(yīng)的力傳遞率值也變大,這說明k2在一定程度上會抑制共振峰和傳遞率。因而增大k2不利于提高隔振效果,也即其他參數(shù)不變,減小μ1或增大m對隔振效果有促進(jìn)作用。

選取與圖4和圖5相同的參數(shù),給出非線性參數(shù)χ1和χ2影響下的力傳遞率Tf與頻率比ζ的關(guān)系圖,如圖11和12所示,隨著χ1和χ2的增大,共振峰峰值減小,共振頻率朝低頻方向移動,高頻隔振區(qū)對應(yīng)的頻率比減小,因此,產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大。低頻隔振區(qū)χ1、χ2越小隔振效果越好,高頻隔振區(qū)相同頻率對應(yīng)的力傳遞率隨χ1和χ2的增加而變小,也即增大χ1和χ2的值有助于提高隔振效果。考慮系統(tǒng)(1)中的參數(shù),在其它參數(shù)不變時,增加c1和c2,或者增大m、減小k對提高隔振效果抑制共振峰有一定的幫助。

改變分?jǐn)?shù)階階次α,取圖6的參數(shù)得到不同α對應(yīng)的力傳遞率,如圖13所示。由圖13可得,隨著α的增大,共振峰峰值減小,低頻隔振區(qū)α=0.5時隔振效果最好,高頻隔振區(qū)較短頻率比范圍內(nèi)α=0.5時隔振效果最好,過大頻率范圍內(nèi)增大α?xí)焕诟粽裥Ч奶岣摺Ｒ虼?增大α有利于抑制共振峰,但在大頻率范圍內(nèi)不利于增強(qiáng)高頻隔振區(qū)的隔振效果。

選取與圖7相同的參數(shù)考慮F對力傳遞率的影響,如圖14所示。由圖14可得,與F對幅頻曲線的影響不同的是隨著F的增大,共振峰時Tf減小,低頻隔振區(qū)F越小隔振效果越好,高頻隔振區(qū)當(dāng)頻率比超過一定值后F越大Tf變小隔振效果越好,考慮到F與m的關(guān)系,在系統(tǒng)(1)中,低頻隔振區(qū)增大m,高頻隔振區(qū)減小m在一定程度上能提高隔振效果。

參考圖8的參數(shù),變化阻尼比ξ的值,得到不同阻尼比對應(yīng)的力傳遞率,如圖15所示。由圖15可得,隨著隔振器阻尼比ξ增大,共振峰時力傳遞率明顯減小,共振頻率朝低頻方向移動,高頻隔振區(qū)對應(yīng)的頻率比減小,因此,產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大。但在低頻區(qū),系統(tǒng)不起隔振作用。高頻隔振區(qū)阻尼比ξ越大Tf變小隔振效果越好,因此,與阻尼比ξ對幅頻曲線的影響一樣,增大阻尼比ξ能有效抑制共振峰,但阻尼比對低頻區(qū)的力傳遞率沒有影響,對共振區(qū)和高頻隔振區(qū)的力傳遞率有影響,阻尼比越大力傳遞率越小。考慮系統(tǒng)(1)其他參數(shù)不變的情況下,增大μ或減小m、k在高頻隔振區(qū)能提高隔振效果。

總之,在低頻隔振區(qū)χ1、χ2和F越小隔振效果越好,ξ對力傳遞率的影響幾乎可以忽略。共振區(qū)除κ1的影響外,只改變其它參數(shù)中的一個,增大參數(shù)均能抑制共振峰時的力傳遞率,特別地,隨ξ、α、χ1和χ2的增加,共振頻率朝低頻方向移動,高頻隔振區(qū)對應(yīng)的頻率比減小,這說明產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大,然而隨κ1、κ2和F的增加,共振頻率朝低高頻方向移動,共振頻率比增大,高頻隔振區(qū)對應(yīng)的頻率比增大,說明有效隔振頻率范圍變小。在高頻隔振區(qū)相同頻率對應(yīng)的力傳遞率隨ξ、χ1和χ2的增加而變小,F變化時當(dāng)頻率比達(dá)到一定值后也有相同規(guī)律,但增大κ1、κ2結(jié)果明顯相反,因此,增大ξ、χ1、χ2和F的值,減小κ1、κ2的值有利于提高隔振效果。

6 結(jié) 論

本文用平均法給出了改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階 van der Pol-Duffing 隔振振子的主共振響應(yīng),在此基礎(chǔ)上計算了力傳遞率,進(jìn)一步分析了不同參數(shù)對幅頻曲線和力傳遞率的影響,為該類隔振振子的設(shè)計和應(yīng)用提供一定的參考。主要結(jié)論如下

(1) 將數(shù)值解與解析解進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果吻合良好,證明了解析解的正確性。

(2) 分析了無量綱化后非線性剛度系數(shù)、分?jǐn)?shù)階項系數(shù)、非線性參數(shù)、分?jǐn)?shù)階階次、激勵幅值和阻尼比對幅頻曲線的影響。結(jié)果表明,解的穩(wěn)定性、解的個數(shù)、共振區(qū)域、共振頻率、跳躍性、彎曲程度、共振峰峰值均受這些參數(shù)的影響,且除激勵幅值影響外,共振峰峰值隨其它參數(shù)的增大而減小,也即增大其它參數(shù)可達(dá)到抑制共振峰峰值的目的。

(3) 在幅頻曲線的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步討論了不同頻率區(qū)段的力傳遞率受非線性剛度系數(shù)、分?jǐn)?shù)階項系數(shù)、非線性參數(shù)、分?jǐn)?shù)階階次、激勵幅值和阻尼比的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn),在低頻隔振區(qū),非線性參數(shù)和激勵幅值對隔振效果的影響十分明顯,阻尼比對隔振效果影響不大。在共振區(qū),除非線性剛度系數(shù)外其它參數(shù)均抑制力傳遞率的峰值且隨阻尼比、分?jǐn)?shù)階階次和非線性參數(shù)的增加,共振峰逐漸向頻率比減小方向移動,共振頻率比減小。在高頻隔振區(qū),阻尼比、分?jǐn)?shù)階階次和非線性參數(shù)的增大在一定頻率比范圍內(nèi)有利于擴(kuò)大有效隔振頻率范圍,增大阻尼比,非線性參數(shù)和激勵幅值的值減小非線性剛度系數(shù),分?jǐn)?shù)階項系數(shù)的值有助于提高隔振效果。本文的研究過程和結(jié)果對于多自由度類似系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解或者單自由度類似系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析具有一定的借鑒價值。