約束膜式空氣彈簧的剛度建模與分析

趙亞敏， 崔俊寧， 鄒麗敏， 邊星元 ， 程鐘義

(1.哈爾濱工業大學 超精密光電儀器工程研究所，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工業大學 超精密儀器技術及智能化工信部重點實驗室，哈爾濱 150080)

環境中的低頻微幅振動干擾逐漸成為限制各種大型精密/超精密儀器、尖端實驗系統性能的關鍵因素。例如，其會影響生物醫學顯微成像分辨力與成像質量[1]、移相干涉儀測量精度[2]、光刻機最小線寬與套刻精度[3]、衛星相機調心精度與成像質量[4]。此外，隨精度與性能需求的提升，大口徑天文望遠鏡、長焦距透鏡等大型光學系統的體積、重量及結構復雜度愈發增大，不僅要求隔振設備具有高隔振性能，還提出了大承載需求。因此，開發大承載、低剛度及超低頻隔振性能(<1 Hz)兼顧的高性能隔振器需求迫切[5]。

空氣彈簧因其承載大、固有頻率低等優點，廣泛應用于大型超精密加工設備[6-8]、測量系統[9-11]的隔振領域。空氣彈簧大承載、低剛度及超低頻隔振性能的實現依賴于指導結構優化設計與精密加工的理論模型。郭榮生[12]假設彈性膜總弧長保持不變及彈性膜變形不引起腔室體積變化，建立了空氣彈簧的剛度模型。該模型被列入隔振設計規范[13]，并沿用至今[14-15]。朱德庫等[16-18]建立了不同形式空氣彈簧的改進剛度模型。改進模型考慮了彈性膜變形引起的腔室體積變化，但仍假設彈性膜總弧長保持不變。夏超[19]考慮彈性膜弧長變化建立了約束膜式空氣彈簧的改進剛度模型，但改進模型忽略了彈性膜變形引起的腔室體積變化。空氣彈簧的結構變形及壓力變化必然導致彈性膜弧長發生變化，弧長的改變及其變形引起的腔室體積變化直接影響有效面積及腔室體積，進而導致實際剛度與理論值相差較大。對于由多個空氣彈簧并聯支撐的大型、超大型精密隔微振平臺，累計誤差將更加突出。

本文兼顧彈性膜弧長變化及其變形引起的腔室體積變化，建立約束膜式空氣彈簧的改進剛度模型。基于改進剛度模型研究幾何結構與材料參數對剛度的影響規律，實現大承載、低剛度隔振性能的優化設計。

1 理論建模

空氣彈簧是一種在彈性膜中充入壓縮氣體，利用氣體的可壓縮性實現彈性支撐的非金屬彈簧。由圖1所示的受力分析可得

F=(P-Pa)S

(1)

(2)

式中：F為負載；S為有效面積，指載荷與腔室內部充氣壓強相平衡時的斷面面積，或者說是彈性膜在載荷方向沒有分力的斷面面積，即通過彈性膜斷面自由圓弧做切面時的斷面面積；K為剛度；P、V為任意位置壓縮氣體的絕對壓強及腔室體積；Pa為大氣壓強；P0、V0、S0為靜平衡位置壓縮氣體的絕對壓強、腔室體積及有效面積；m為氣體多變指數，與運動速度有關；對于振幅幾至幾十μm/s的空氣彈簧，m取1；dV/dx為有效體積變化率；dS/dx為有效面積變化率。空氣彈簧的剛度與靜平衡位置的充氣壓強、腔室體積、有效體積變化率、有效面積變化率有關，且有效體積變化率與有效面積變化率是剛度計算的關鍵參數。

圖1 受力分析圖Fig.1 Stress diagram

1.1 有效面積變化率

約束膜式空氣彈簧的半剖面視圖如圖2所示，R為承載半徑，r為彈性膜的圓弧半徑，O為彈性膜的圓弧中心。彈性膜與上蓋板交于點B2、與底座交于點C；過點O向直線DB2做垂線，垂足為點B；過點B的切線和鉛垂線的夾角β為外角；過點C的切線和鉛垂線的夾角α為內角；過點O的鉛垂線，與上蓋板交于點D。工作過程中，α發生變化，β保持不變；α和β的取值滿足：0°≤α<90°，0°≤β<90°。上蓋板承受載荷向下移動Δx，由MPB移至M1P1B3，過點O的鉛垂線與上蓋板的交點由D移至D1，彈性膜與上蓋板的交點由B2移至B1，與下蓋板的交點C保持不變。圓弧中心由O移至O1，沿垂向與水平向分別改變Δh、ΔR。過點O1向直線OD做垂線，垂足為點E；過點O1向直線P1B1做垂線，垂足為點B3。圓弧半徑改變Δr，內角改變Δα，總弧長改變Δl。弧長變化量和垂向位移的比值定義為弧長變化率e，即：e=Δl/Δx。考慮彈性膜材料及隔振器結構特性，e的取值滿足：0

eΔx=Δhcosβ-ΔRsinβ-Δxcosβ+

rΔα-(π+α+β)Δr

(3)

圖2中彈性膜的幾何結構滿足

ΔR=rcosα-(r-Δr)cos(α+Δα)

(4)

Δh=(r-Δr)sin(α+Δα)-rsinα

(5)

如圖3所示，過O點向直線O1B3做垂線，垂足為點b。Δr=OB-O1B3=BB1-O1b。其中，BB1=sinβΔx，O1b=O1a+ab=O1a+GO，O1a=O1Ecosβ=cosβΔR，GO=OEsinβ=sinβΔh，綜上可得：

Δr=sinβΔx-sinβΔh-cosβΔR

(6)

聯立式(3)～式(6)可得有效面積變化率

e(sinβ-sinα)+(π+α+β)sinαsinβ]

(7)

其中：A=2+2cos(α+β)+(π+α+β)sin(α+β)。

圖3 局部放大圖Fig.3 Partial enlarged view

1.2 有效體積變化率

空氣彈簧靜平衡位置的體積V0=Vb+V1+V2+V3；向下移動Δx后的體積V=Vb+V4+V5+V6。Vb、V1、V2、V3、V4、V5、V6分別為多邊形M1P1B1OCN、多邊形M1MPDD1P1、梯形D1DBB1、扇形BOC、梯形OB1B3O1、扇形B3O1C與三角形COO1繞x軸旋轉一周構成的回轉體體積。

1.2.1 體積V0

多邊形M1MPDD1P1繞x軸旋轉一周構成的回轉體積V1

V1=πR2Δx

(8)

V2=2πS1(R+y1)=πrcosβΔx(2R+rcosβ)

(9)

圖4 梯形D1DBB1回轉體Fig.4 Rotation of trapezoidal D1DBB1

圖5中扇形BOC的面積S2=0.5(π+α+β)r2，質心Z2到x軸的距離R+y2=R+OZ2sin[(β-α)/2]，其中OZ2=4/3r(π+α+β)×sin[(π+α+β)/2]，由巴普斯定理可得V3

(10)

圖5 扇形BOC回轉體Fig.5 Rotation of sector BOC

聯立式(8)～(10)可得V0

V0=Vb+πRΔx(R+2rcosβ)+

(11)

1.2.2 體積V

y3=(OB1-Z3F)cosβ，Z3F=I3-B1Etanβ=

I3-(B1B3-d3)×tanβ

綜上，R+y3=R+OB1cosβ-[I3-(B1B3-d3)tanβ]×cosβ，由巴普斯定理可得V4

V4=2π(R+y3)S3=πrΔx(2R+rcosβ)×

(12)

圖6 梯形OB1B3O1回轉體Fig.6 Rotation of trapezoidal OB1B3O1

將r=r-Δr，R=R-ΔR，α=α-Δα代入式(10)可得V5

(13)

同理，圖7中三角形COO1的面積S4=0.5r2Δα，質心Z31到x軸的距離R-y4=R-(ΔR+rcosα)/3，由巴普斯定理可得V6

V6=2π(R-y4)S4=πr2(R-rcosα/3)Δα

(14)

圖7 三角形COO1回轉體Fig.7 Rotation of triangle COO1

聯立式(12)～(14)可得V

α+β)sinφ]}-πr3Δαcosα+2πRr2Δα-

πr2ΔR(π+α+β)-2πRrΔr(π+α+β)-

2πr2Δr(sinβ-sinα)

(15)

1.2.3 體積變化率dV/dx

由式(11)與(15)可得體積變化率

(16)

其中：

(2sinβ-sinα)sin(α+β)-(π+α+β)(sinα-

ρ=0對應的特征方程滿足式(17)。S0=0.283 m2、V0=0.046 m3、R=0.3 m、r=0.055 m，式(17)對應的特征曲面如圖8所示。弧長變化率、內角和外角在特征面上取值時，體積變化率模型與文獻[19]相同，且不受弧長變化率、內角與外角影響；取值低于特征面時，體積變化率大于文獻[19]，反之小于。

圖8 ρ=0對應的特征曲面Fig.8 Characteristic surface of ρ=0

(17)

其中：

cosβ)+(2sinβ-sinα)sin(α+β)-

(π+α+β)(sinα-sinβ)]

如圖9(a)所示，S0=0.283 m2、R=0.3 m、r=0.055 m，e=0時，κ>1，體積變化率大于文獻[19]，且隨內角和外角的增大而增大。對比圖9(b)～(d)可知，e≠0時，κ<1，體積變化率小于文獻[19]；α→90°，β→90°和α→0°，β→0°，κ增幅顯著；κ隨弧長變化率的增大逐漸減小至負數，即體積變化引入的正剛度變為負剛度。因此，彈性膜變形引起的腔室體積變化在剛度計算過程中不能忽略。

(a) e=0

(b) e=4

(c) e=8

(d) e=12圖9 不同弧長變化率下的κFig.9 κ at different arc length gradients

1.3 剛度

聯立式(2)、式(7)與式(16)可得剛度

sinα)sin(α+β)-(cosα+cosβ)-

(18)

K=0對應的特征方程如式(19)。S0=0.283 m2、V0=0.046 m3、P0=0.501 MPa、R=0.3 m、r=0.055 m，式(19)對應的特征曲面如圖10所示。由圖10與圖11可知，弧長變化率、內角和外角的取值高于圖10中的特征面時，剛度K>0，空氣彈簧穩定；反之不穩定。

[sin(α+β)+(π+α+β)sinαsinβ]+

(19)

其中：

cosβ)-(π+α+β)(sinα-sinβ)]

圖10 K=0的特征曲面Fig.10 Characteristic surface of K=0

圖11 T隨α、β的變化規律Fig.11 Variation of T with α and β

1.4 算例驗證

文獻[12]中，空氣彈簧的剛度理論模型假設e=0，dV/dS=-S0，即剛度K為

(20)

其中：

文獻[16]仍保持假設e=0成立，但是推導得到dV/dS=-S0(1+Ψ)，即剛度K為

(21)

其中：

A=2+2cos(α+β)+(π+α+β)sin(α+β)

文獻[19]仍沿用dV/dS=-S0，但是考慮了弧長變化率e對垂向剛度的影響。即剛度K為

(22)

將HIT300約束膜式空氣彈簧作為研究對象驗證所建理論模型的正確性。由文獻[19]可知，HIT300約束膜式空氣彈簧的參數α=0°、β=75°、S0=0.283 m2、V0=0.225 m3、P0=0.201 MPa、R=0.3 m、r=0.055 m，e=0.147，實測剛度為54.92 N/mm。將上述參數代入不同理論模型，計算得到的剛度值如表1所示。

表1 不同理論模型計算得到的剛度

由表1可知，由改進剛度理論模型計算得到的剛度值與實測剛度值的偏差為9.67%，比文獻[12]與[13]中的模型精度提高7.63%；相比文獻[16]與[19]，模型精度均有所提高；驗證了所建理論模型的正確性。

2 剛度分析

2.1 弧長變化率的影響分析

弧長變化率對剛度的影響規律如圖12所示。S0=0.283 m2、V0=0.046 m3、P0=0.501 MPa、R=0.3 m、r=0.055 m，剛度隨內角、外角以及弧長變化率的增大而減小，因此適當增大內角、外角和弧長變化率可降低剛度，實現環境微振動的低頻/超低頻隔振效果。

2.2 其他影響因素分析

參數e=1，α=0°，β=80°下，充氣壓強、腔室體積、有效面積、負載及彈性膜的圓弧半徑對剛度的影響規律如圖13～圖16所示。由圖13可知，剛度隨充氣壓強的減小而減小，隨腔室體積的增大而減小。腔室體積較小時，剛度隨腔室體積的增大而顯著降低；超過拐點0.4 m3，增大腔室體積對剛度的衰減效果甚微。此外，較大的腔室體積也對安裝空間提出了較高的要求。

(a) e=0

(b) e=4

(c) e=8

(d) e=12圖12 不同弧長變化率下的剛度Fig.12 Stiffness at different arc length gradients

(a) K-V0曲線

(b) dK/dV0-V0曲線圖13 不同充氣壓強下的K-V0曲線Fig.13 K-V0 curves at different pressures

(a) 不同充氣壓強下的K-S0曲線

(b) 不同有效面積下的K-P0曲線圖14 剛度的影響因素Fig.14 Influencing factors of stiffness

如圖14所示，最佳腔室體積0.4 m3下，剛度隨有效面積呈指數規律增大，隨充氣壓強線性增大。將S0=F/(P0-Pa)代入式(18)可得剛度與負載滿足如式(24)。由圖15所示的特征曲面可知，相同充氣壓強下，剛度隨負載的增大而增大；相同負載下，高充氣壓強的工作方式及小有效面積的結構設計更有利于實現低頻/超低頻隔振效果。由圖16可知，彈性膜的圓弧半徑越大，相同負載下的剛度越小；且彈性膜的圓弧半徑剛度的影響效果隨充氣壓強的增大而增大。

β)[sin(α+β)+(π+α+β)sinαsinβ]+

(23)

[(2sinβ-sinα)sin(α+β)-(cosα+cosβ)-

(24)

其中：

圖15 不同負載下的K-P0曲線Fig.15 K-P0 curves at different loads

圖16 不同充氣壓強下K-r曲線Fig.16 K-r curves at different pressures

3 結 論

本文兼顧彈性膜弧長變化及其變形引起腔室體積變化，建立了約束膜式空氣彈簧的改進剛度模型，有效解決了空氣彈簧實際剛度與理論值相差較大的問題。仿真分析彈性膜弧長變化率及幾何結構參數對剛度的影響規律，進而針對環境微振動的低頻/超低頻隔振需求，提出實現低剛度隔振特性的結構及材料參數。通過研究得出以下結論：

(1) 彈性膜弧長變化及其變形引起的腔室體積變化對剛度的影響均不能忽略。

(2) 弧長變化率e=0時，體積變化率隨α和β的增大而增大。弧長變化率e≠0時，體積變化率隨弧長變化率的增大而減小，弧長變化率增大到一定程度，腔室體積變化引入的正剛度變為負剛度特性。

(3) 剛度隨弧長變化率、內角、外角、圓弧半徑與腔室體積的增大而減小。腔室體積較小時，剛度隨腔室體積的增大顯著減小，超過拐點0.4 m3，增大腔室體積對降低剛度的效果甚微。

(4) 剛度隨充氣壓強線性增大，隨有效面積呈指數規律增大。定負載下，高充氣壓強的工作方式及小有效面積的結構設計有利于實現低頻/超低頻隔振效果。

本文的研究為超精密加工與測量、光學加工與裝配、高精度慣導器件加工和設備裝配、超大規模集成電路制造等領域中低頻/超低頻空氣彈簧的結構優化設計及精密加工提供了有效的理論依據。