隨機地震作用下TMD等效附加阻尼比研究

2022-01-27 14:14:54林松偉

振動與沖擊 2022年1期

賀輝，譚平, 林松偉, 向越，蘭李

(1. 湖南工學院土木與建筑工程學院，湖南衡陽 421002;2. 廣州大學土木工程學院，廣州 510006； 3. 廣東省建筑設計研究院有限公司，廣州 510405)

調諧質量阻尼器(tuned mass damper, TMD)作為一種被動控制裝置，已被廣泛應用于高層高聳結構[1]。一般情況下，TMD由質量塊、彈簧以及阻尼元件組成[2]。高聳高層結構安裝TMD，主要是為了增加結構的阻尼，達到控制結構振動的目的[3]。TMD控制效果越好，結構增加的阻尼也就越大，結構增加的這部分阻尼比被稱為TMD等效附加阻尼比[4]。1977年，McNamara 基于高斯白噪聲外激勵以結構位移響應均方值相等為準則推導了TMD等效附加阻尼比理論公式[5]。Luft以TMD等效附加阻尼比最大作為優化條件給出了TMD最優設計參數[6]。王肇民以電視塔結構作為工程背景，給出了風荷載作用下TMD給結構第一階模態的等效附加阻尼比理論公式[7]。

目前，應用TMD來控制結構的風振響應已經得到了人們的廣泛認可[8]，但是地震作用下TMD的有效性還沒有統一的定論[9-10]。已有研究表明，TMD的減震性能很大程度上取決于地震動特性[11-13]。Villaverde等人假定結構-TMD體系前兩階模態阻尼比相等給出了地震作用下TMD等效附加阻尼比公式[14]。然而，文獻[14]給出的TMD等效附加阻尼比公式僅在TMD頻率比等于1且TMD阻尼比滿足一定條件的情況下成立[15]。更重要的是，它忽略了地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響，因此其計算精度有待驗證。鑒于此，有必要考慮地震動特性對TMD等效附加阻尼比進行更深入地研究。事實上，以往的TMD等效附加阻尼比研究多數是基于單自由度主結構展開，僅能得到TMD提供給結構第一階模態的附加阻尼比，無法準確評估TMD提供給結構高階模態的等效附加阻尼比。

在此背景下，本文將基于考慮場地因素的過濾高斯白噪聲Kanai-Tajimi功率譜模型，推導出一個能準確評估隨機地震作用下TMD提供給結構任意階模態的等效附加阻尼比理論公式。本文將從結構-TMD理論模型、結構隨機地震響應分析以及TMD等效附加阻尼比理論公式推導等方面逐一展開研究。

1 結構-TMD理論模型

假定結構有n個自由度，且TMD與第n個自由度相連，可將結構-TMD體系表示為圖1所示的理論模型。圖1中:mn、kn和cn分別表示結構第n個自由度的質量、剛度與阻尼系數；mt、kt和ct分別表示TMD質量、剛度和阻尼系數；xn表示結構第n個自由度相對于地面的位移，xt為TMD相對于結構第n個自由度的位移。

圖1 結構-TMD理論模型Fig.1 Theoretical models

{FTMD}

(1)

式中

(2)

(3)

結構阻尼矩陣采用Caughey阻尼矩陣，TMD對結構的作用力可表示為

(4)

TMD運動方程為

(5)

將TMD看作一個子結構，忽略TMD對主結構自振特性的影響，此時將主結構進行模態分解，考慮結構第j階模態φj時，引入表1所示的系統參數。

表1 系統參數定義

進一步可將結構-TMD體系的模態運動方程表示為

(6)

式中，uj表示結構第j階模態廣義坐標，此時

(7)

Hj(iλj)=

(8)

其中

(9a)

(9b)

2 結構隨機地震響應分析

地震動功率譜模型采用Kanai和Tajimi等提出的過濾白噪聲模型，其加速度功率譜密度函數為[16-17]

(10)

式中：S0為基巖白噪聲強度；ωg和ζg分別表示場地特征頻率與特征阻尼比；ωg和ζg的取值可通過實際地震記錄擬合得到，也可由表2直接確定。

表2 場地土參數設計值[18-19]

Kanai-Tajimi功率譜模型將場地視為單自由度線性濾波器，由基巖白噪聲通過土層過濾得到，由此可將場地的過濾效應表示成傳遞函數形式

(11)

將ω=λjωj代入式(11)，可得

(12)

式中，主結構第j階模態頻率與場地特征頻率比τj=ωj/ωg。進一步將土層看作一個與上部結構串聯的系統，由此可得結構相對于基巖白噪聲的位移動力放大系數為

Hg,j(iλj)=H(iλj)H′(λj)=

(13)

式中

(14a)

(14b)

采用SRSS方法計算地震作用下結構的位移響應均方值

(15)

其中

(16)

式中

(17)

3 TMD等效附加阻尼比

將結構-TMD體系等效為一個第j階模態阻尼比為ζe,j的等效結構，類似地，可將等效結構相對于基巖白噪聲的位移動力放大系數表示為

(18)

式中

(19)

等效結構位移響應均方值可表示為

(20)

其中

(21)

(22)

整理得

(23)

其中

(24)

則TMD提供給結構第j階模態的等效附加阻尼比理論公式為

(25)

其中

(26)

為了對式(25)的有效性進行驗證，定義以下三種TMD等效附加阻尼比計算方法：

方法一：使用本文所提理論公式計算TMD等效附加阻尼比；

方法二：使用文獻[5]的TMD等效附加阻尼比公式

(27)

方法三：使用文獻[14]的TMD等效附加阻尼比公式

(28)

事實上，ζs2,j與ζs3,j均是基于單自由度主結構推導而來，無法得到TMD提供給結構高階模態的等效附加阻尼比，因此方法二與方法三僅考慮TMD對結構第1階模態阻尼比的影響。

4 參數分析

考慮結構第一階模態(j=1)，令φ1,n=1和η1=1，假定TMD頻率比與阻尼比采用Den Hartog公式[20]，對ζs1,1進行如圖2所示參數分析。由圖2可以觀察到以下現象：

(1) 結構與場地特征頻率比τ1小于等于1時，特征阻尼比ζg越小，TMD等效附加阻尼比ζs1,1越大。然而，當τ1>1時，隨著ζg增大，ζs1,1卻會變小;

(2) 當τ1≤1時，τ1對ζs1,1的影響相對較小。但是，當τ1>1時，τ1的增大會使ζs1,1迅速變小;

(3)ζs1,1與結構阻尼比ζ1呈負相關關系；

(4) TMD質量比μ1存在一個臨界值|μ|，當μ1≤|μ|時，隨著μ1增大，ζs1,1會隨之增大。當μ1>|μ|時，隨著μ1增大，ζs1,1會迅速減小。值得一提的是，隨著μ1增大，ζs1,1可能會小于0。也就是說， TMD質量比太大可能會放大結構響應。

為了進一步研究地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響規律，令ζ1=0以及ζg=0.80，將TMD等效附加阻尼比進行如圖3所示的對比分析。從圖3中可以看出：

(1) TMD質量比μ1小于1%時，三種方法計算出來的TMD等效附加阻尼比ζs,1基本一致；

(2) 方法二得到的TMD等效附加阻尼比大于方法一與方法三，這是由于方法二的TMD等效附加阻尼比公式是基于外荷載激勵形式推導而來，無法適用于地震作用下TMD等效附加阻尼比的計算。這一現象也說明相對于結構地震響應控制而言，TMD更有利于控制結構的風振響應。

(3) 方法二與方法三得到的TMD等效附加阻尼比與TMD質量比μ1成正相關關系，不存在一個臨界值|μ|，因此隨著TMD質量比μ1的增大，與方法一會存在很大的差異。

(4) 當τ1較小時(如τ1=1)，方法一與方法三的計算結果相近。但是，當τ1較大時(如τ1=10)，隨著μ1的增大，方法一與方法三計算結果的差距也會越來越大，且方法三計算出來的TMD等效附加阻尼比偏大。這是因為方法三忽略了地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響，導致計算過程中夸大了TMD提供給結構的等效附加阻尼比。

(a) μ1=0.1，ζ1=0

(b) τ1=10，ζg=0.80圖2 TMD等效附加阻尼比分析Fig.2 Analysis results of the equivalent additional damping ratio of TMD

圖3 TMD等效附加阻尼比對比分析Fig.3 Comparison analysis results of the equivalent additional damping ratio of TMD

為了對上述現象進行更深入地研究，對結構位移放大系數進行分析。方法三假定結構-TMD體系前兩階模態阻尼比一致，本質上是直接從結構相對于地面的位移放大系數H1(iλ1)出發求解TMD等效附加阻尼比。而本文則考慮場地土對地震動頻譜特性的影響，給出了結構相對于基巖的位移放大系數Hg,1(iλ1)。對比圖4與圖5(a)可知，當τ1較小時(如τ1=1)，H1(iλ1)與Hg,1(iλ1)的變化規律基本一致，TMD質量比增大，二者的峰值均變小。

圖4 主結構相對于地面的位移動力放大系數Fig.4 Analysis results of the displacement dynamic amplification factor of structure to ground

(a) τ1=1，ζg=0.80

(b) τ1=10，ζg=0.80圖5 主結構相對于基巖的位移動力放大系數Fig.5 Analysis results of the displacement dynamic amplification factor of structure to bedrock

然而，當τ1較大時(如τ1=10)，無控狀態下的Hg,1(iλ1)曲線存在兩個較為明顯的峰值。第一個峰值出現在場地特征頻率附近，主要是由于地震加速度功率譜在該處的值較大，這一個峰值與場地因素息息相關，可將其定義為場地共振峰值。第二個峰值出現在結構自振頻率附近，主要由結構參數決定，因此可將其定義為結構共振峰值。由5(b)可知，TMD雖然能有效控制結構共振峰值，卻會放大結構的場地共振峰值，并且TMD質量比越大，場地共振峰值放大效應越明顯。一般情況下，方法三會忽略場地共振峰值對TMD等效附加阻尼比的影響，因此會夸大TMD提供給結構的等效附加阻尼比。而本文推導的TMD等效附加阻尼比公式考慮了結構場地共振峰值的影響，理論上來說，更貼近工程實際。

5 工程算例

以某景觀塔作為工程算例，來展示TMD等效附加阻尼比的求解流程。景觀塔共32層，總高度168 m，采用筒體結構形式，筒體直徑12 m，高寬比約為14。景觀塔頂部觀光層根據建筑功能和建筑體型采用鋼框架結構，通過鋼支撐和鋼梁與核心筒連接，景觀塔結構模型如圖6所示。結構各階模態阻尼比均取0.02。將結構28層的258 t消防水箱作為TMD的附加質量，用于控制結構第1階模態響應。

圖6 肇慶景觀塔結構模型Fig.6 Structural model of the view tower

為了對本文所推導的TMD等效附加阻尼比理論公式進行時程驗證，選擇如圖7(a)～(c)所示的三組經典地震記錄(1940 El Centro, 1994 Northridge以及1995 Kobe)作為地震輸入，將地震記錄幅值調整為0.7 m/s2，Spencer等[21]通過數值擬合得到三組地震記錄的場地特征頻率以及特征阻尼比分別為17 rad/s和0.3，由此可將三組地震記錄功率譜與Kanai-Tajimi功率譜進行對比，結果如圖7(d)所示，可以看出Kanai-Tajimi功率譜會夸大地震動的低頻能量，但由于本文選擇的三組地震記錄低頻能量較低，且能量大多集中于頻段[1, 100]Hz內，在此頻段內，Kanai-Tajimi功率譜與三組地震記錄的功率譜是較為吻合的。

(a) El Centro

(b) Northridge

(d) 功率譜對比圖7 地震記錄Fig.7 Earthquake records

首先，對結構進行模態分析，表3為結構前10階模態參數，可以看出，結構前10階模態累計質量參與系數已經達到99.52%，因此本文重點介紹TMD對于結構前10階模態的等效附加阻尼比。根據結構模態分析結果，采用Den Hartog公式計算TMD頻率比與阻尼比。表4為TMD相對于結構前10階模態的參數，從表4可以看出：

(1) 方法一得到的TMD提供給結構第1階模態的附加阻尼比遠大于其他高階模態，這是因為設置TMD的主要用途是控制結構的第1階模態響應，且TMD參數也是根據結構第1階模態確定的；

(2) 方法一得到的TMD提供給結構高階模態的等效附加阻尼比可能小于零，也就是說，TMD可能會放大結構的高階模態響應；

(3) 由于方法二與方法三是基于單自由度主結構推導而來，無法計算TMD提供給結構高階模態的等效附加阻尼比，因此方法二與方法三從理論上來說是不完備的。而本文推導的等效附加阻尼比理論公式不僅能計算TMD提供給結構高階模態的等效附加阻尼比，還能通過結構模態坐標值考慮TMD布置位置對其等效附加阻尼比的影響，因此本文推導的等效附加阻尼比理論公式更完備。

(4) 方法二與方法三計算的TMD提供給結構第1階模態的等效附加阻尼比均大于方法一。這是因為方法二是基于外荷載激勵形式推導而來，而方法三無法考慮地震動特性對TMD等效附加阻尼比的影響，因此這兩種方法的計算結果會偏大。本文推導的TMD等效附加阻尼比理論公式考慮了地震動特性引起的結構場地共振峰值的影響，因此計算結果更貼近工程實際。

表3 結構前10階模態參數

表4 TMD相對于結構前10階模態的參數

對結構進行時程響應分析，來驗證TMD等效附加阻尼比的正確性。需要指出的是，本文時程分析均基于Etabs有限元模型展開，且在時程分析過程中，方法二與方法三僅考慮了TMD對結構第1階模態阻尼比的影響。圖8表示地震作用下結構加載與自由振動兩階段的頂層位移響應時程，從圖中可以看出，使用本文推導的TMD等效附加阻尼比能從結構位移響應角度更準確地評估TMD減震性能。由此可知，使用等效附加阻尼比指標評估TMD對結構位移響應的控制效果是可行的。

為了對比三種方法的計算精度，以在景觀塔有限元模型中添加TMD的時程分析結果為標準，對結構頂層位移響應進行如表5所示的誤差分析。表中，結構位移響應均方差只考慮其加載階段的響應。由表5可知，El Centro地震作用下，方法二和方法三計算結果誤差較大，特別是方法三所得結構頂層位移響應峰值誤差達到了21.12%，所以方法二和方法三會夸大TMD提供給結構的等效附加阻尼比，計算精度不滿足工程應用需求。Kobe地震作用下，相對于結構位移響應峰值，方法一所得結構位移響應均方差誤差更大。考慮到方法一所得結構頂層位移響應峰值與均方差的誤差平均值均小于1%，可認為使用本文推導的TMD等效附加阻尼比理論公式能從結構位移響應峰值與均方差角度更準確地評估TMD減震性能。結合圖9所示的結構各樓層位移響應峰值與均方差可知，使用本文推導的TMD等效附加阻尼比計算的各樓層位移響應與TMD控制下各樓層位移響應基本一致，再次驗證了使用等效附加阻尼比指標來評估TMD減震性能的合理性與有效性。