基于前饋補償的振動臺粒子群迭代學習控制算法

安 欣， 高 峰， 楊巧玉， 楊學山

(1.中國地震局工程力學研究所 中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，哈爾濱 150080；2.哈爾濱理工大學 測控技術與儀器黑龍江省高校重點實驗室，哈爾濱 150080)

電磁式振動臺[1]適用于校準速度和加速度傳感器[2]，以往校準多用正弦波和沖擊波作為信號源，而地震波拾振器專用于地震波采集，用地震波信號校準測震儀器更符合儀器真實工作環境[3]。此外部分測振儀器需要實時處理地震信號，如烈度計、地震緊急處置觸發裝置，因此，需要用地震波信號完成對此類儀器的檢測及校準，從而提高振動臺上地震波信號的復現精度。

前饋補償技術可在一定程度上拓寬振動臺系統的頻帶，改善動態特性，提高臺面波形復現精度[4]。前饋補償技術通常采用構建系統逆模型的方法拓展頻帶寬度及增加穩定性[5]。系統模型參數辨識常采用如最小二乘法[6]、最小均方差法[7]等方法。文獻[8]利用子帶自適應辨識液壓振動臺系統模型，并復現振動臺功率譜密度。文獻[9]提出自適應陷濾波器在線辨識頻率的自適應反饋補償，消除試件與臺面對振動臺的影響，提高復現精度。文獻[10]提出了一種結合離線補償器的自適應控制器，通過最小二乘法辨識加速度閉環傳遞函數并計算離線逆模型補償器。算法收斂速度快，跟蹤精度高。

迭代學習控制(iterative learning control，ILC)是一種不依賴于精確系統模型，僅需要少量信息即可達到很好控制效果的控制方法。由于計算過程不需要太多系統信息，所以在振動臺波形復現領域有很大的應用空間。文獻[11]針對位移控制的振動臺提出了一種基于位移-加速度迭代控制方法，較以往位移迭代控制法收斂速度快。文獻[12]針對振動臺模型不確定性和外部擾動的干擾，提出自適應重復學習控制算法，在系統中插入學習控制器，可不依賴于具體模型。但在振動臺迭代學習控制過程中需要優化控制律參數?？刂坡蓞档暮脡闹苯佑绊懣刂扑惴ǖ氖諗克俣纫约皬同F精度。

粒子群(particle swarm optimization,PSO)算法在參數優化算法中具有容易實現、收斂速度快等優點。可以為多種算法優化參數，如PID控制[13-14]、模糊控制[15]、神經網絡等[16]。孫明翰等[17]在粒子群算法收縮因子中加入擾動因子并仿真了雙輥薄帶振動鑄軋機液壓控制系統，提高了收斂速度和求解精度。王闖等[18]提出了魚群-粒子群算法，引入了擁擠因子和馬爾科夫鏈并將該算法應用于K-means聚類算法中。Xia等[19]改進了粒子群速度項的權重算法，提出了多角色的控制規則，提高粒子群收斂速度。

本文通過前饋逆模型補償電磁式振動臺系統頻帶寬度，改善系統動態特性，根據實際振動臺情況修改逆模型的構造。簡化自適應粒子群算法中的速度項目，提高收斂速度，并離線優化帶遺忘因子的迭代學習律參數，在減少迭代次數的同時，達到提高波形復現精度的目的。

1 振動臺模型

圖1為LVC-5型小型電磁式振動臺3D示意圖，四片彈簧片作為彈性懸掛，穩定臺面使其靜止在標尺零點。由動圈產生磁場推動臺面做水平運動。系統可看成單自由度系統。

圖1 電磁式振動臺3D模型Fig.1 3D model of electric shaking table

圖2(a)為振動臺力學模型，激振器通過電磁感應產生推力F推動振動臺做往復運動，k為懸掛彈簧剛度；C為阻尼力系數(忽略空氣阻尼)；M為臺面和載荷質量；x為臺面相對于底座的運動位移；圖2(b)中驅動電壓為e，通過放大器放大K0倍生成輸入信號u加入激振器中。圖2(c)為激振器動圈上的等效電路，動圈等效電阻為R0；等效電感為L0；形成感應電動勢G0sx。

(a)

(b)

(c)圖2 振動臺模型Fig.2 Mechanical model

振動臺的運動和電氣方程可表示成

(1)

圖3為振動臺的結構框圖。

圖3 振動臺結構框圖Fig.3 Structural block diagram of shaking table

設：

(2)

則式(1)可寫成

(3)

式(3)為位移對驅動信號的傳遞函數，而地震波采樣信號多取加速度信號，所以將式(3)位移量取兩次微分得到式(4)。

(4)

由式(4)可看出，加速度信號增益在n11與nn之間較為平坦。本文所用振動臺實際參數如表1所示。

表1 振動臺參數

振動臺頻域分析實際上是求取不同頻點輸入輸出的幅值和相位關系，通過輸入如下形式的不同頻率簡諧波信號

x(t)=Xsinωt=X(ejωt-e-jωt)/2j

(5)

式中:X為信號的幅值;ω為信號角頻率。系統傳遞函數為G(jω)，輸入輸出關系可表示成

y(t)=X|G(jω)|sin(ωt+argG(jω))

(6)

式中:|G(jω)|表示系統的幅頻特性;arg(G(jω))為系統的相頻特性;ω=2πf為角頻率與頻率關系。

根據式(6)實測水平振動臺頻響特性如表2所示。

表2 水平振動臺頻響特性參數

從圖4中可看出仿真模型與實測數據在頻域中表現基本一致，在1～60 Hz頻段內較為平坦。

為驗證振動臺模型一致性，將振動臺實際參數(表1)所示代入式(4)。并與表2中水平振動臺實測參數繪制到一張波特圖中作對比。

圖4 仿真與實測傳遞函數對比圖Fig.4 Comparison between simulation and measurement bode

2 基于加速度模型逆傳遞函數模型設計

為拓寬振動臺頻帶寬度，提高波形復現效果，在振動臺系統前加入前饋補償器，亦可看作前置濾波器，即構造模型的逆函數

G(s)-1G(s)=1

(7)

式(7)的逆傳函在實際構造時需根據情況編輯模型。逆系統對低頻信號增益較大，如果驅動信號存在較大的直流分量，將會導致輸出信號產生偏移量。而地震波低頻成分較豐富，因此需要重新編輯逆模型。首先，對增益較大部分進行平滑衰減，并保證曲線中不存在非線性部分；其次，需要拉平曲線首尾部分，由于后期要擬合并構建逆傳遞函數曲線，在低頻和高頻擬合過程中，擬合曲線會沿曲線趨勢繼續提升，因此，也會造成低頻產生較大的增益，最后，通過系統零極點判斷系統穩定性。圖5為直接通過式(7)得到的逆系統與通過上述方法修正后的逆系統對比圖。

圖5 逆函數數據優化Fig.5 Inverse function data optimization

利用Levy法參考圖3模型擬合逆傳遞函數參數

(8)

3 帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學習算法

3.1 系統描述及算法

振動臺可近似認為是一種重復運行的線性定常系統，而復現地震波形的目的是要尋找控制輸入，使被控系統的實際輸出在有限次數重復運行過程中追蹤地震波期望信號。電磁式振動臺可視為線性定常系統

(9)

式中:系統狀態向量xk∈Rn，控制輸入uk∈Rr，輸出向量yk∈Rm；A∈Rn×n,B∈Rn×r,C∈Rm×n為實數矩陣。假設系統滿足(1)期望可達(2)初始狀態恒定。

目前地震波復現主要采用迭代控制(iterative learning control, ILC)方法。本文提出一種帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學習算法

(10)

式中:k為迭代次數;r為遺忘因子，r∈[0,1]當系統產生大幅擾動時，遺忘因子可消減擾動對系統的影響;Γ為微分增益系數;L為比例增益系數;yk、uk為系統第k次迭代的驅動信號和輸出信號;yd為振動臺期望信號;ek為系統實際輸出與期望信號的誤差。

3.2 收斂性分析

定理 若系統滿足

(2) 系統初始不變xk(0)=x0(k=1,2,3…)

證明 式(10)中第k+1次迭代誤差可寫成

(11)

(12)

求導得

(13)

(14)

上式兩端取λ范數

(15)

由Bellman-Gronwall引理和式(9)可得

(16)

對式(16)取λ范數

(17)

式(17)代入式(15)得

(18)

(19)

通過上述分析，本文所用的帶遺忘因子的反饋輔助PD型學習算法能夠跟蹤期望軌跡，并且由于引入了上一次迭代和當前迭代的誤差信號更新控制輸入，形成閉環控制，能保證系統快速收斂。

4 改進粒子群迭代學習(PSO-ILC)算法

4.1 自適應權重粒子群算法

粒子群算法可提前預估學習律模型中的參數。粒子群算法是一種仿生學算法，結合鳥群捕食的策略，通過群體獲取的信息更新個體信息。

(20)

權重信息ω為公式中較重要的參數。慣性權重參數選擇過大和過小都不合理，ω過大系統全局搜索能力強，ω過小的話系統局部搜索能力強。所以參數ω調整應該結合自身位置、迭代次數等參數動態調整。設定ω調節范圍[ωmin,ωmax]

(21)

式中:f為粒子群的目標函數值；fmin代表粒子群目標函數最小值；favg代表粒子群目標函數平均值。

式(21)中，當粒子群距離比較分散時，即所處位置目標函數值低于平均標準時，減小慣性權重。增強尋找局部最優解的能力，當粒子目標值高于平均值時，則加大慣性權重加速收斂。

4.2 改進粒子群算法

將式(20)更改為如下形式

(22)

(23)

式(23)變換得

(24)

將式(24)整理得

(25)

式(25)說明位置信息迭代式與速度項無關，可化簡：

(26)

式(26)由二階方程化簡為一階方程，計算過程更簡單，效率更高。

粒子群算法的適應度函數測試函數有很多，本文選取Griewank、Rastrigin及Schaffer三個函數作測試函數，測試改進粒子群算法的執行效果。

Griewank函數是一個多峰值函數x=0為全局最優解f(x)=0函數有多處局部最小值點。容易陷入局部最優解?？简炋映鼍植繕O小值點的能力。表達式為

(27)

x∈[-600,600]

Rastrigrin在x=0有全局最優解f(x)=0函數有多處局部最小值點，峰值較Griewank更多，表達式為

(28)

x∈[-600,600]

Schaffer函數全局最大點在0點處，在距全局最大點3.14的范圍內，有無限個局部最大值點。其表達式為

(29)

x∈[-100,100]

圖6中改進粒子群算法標記為SPSO，基本PSO算法標記為BPSO。為了增加測試難度，將維度設置為30，迭代次數：100，種群大小為40。對比三種測試函數的適應度迭代曲線，改進粒子群算法尋優速度快，逃離局部極小值效果比未做改進的粒子群算法更快。

4.3 目標函數選取

粒子群算法中的目標函數是算法中個體位置好壞的評價標準。本文粒子群算法需計算迭代學習律中參數，以保證臺面復現精度快速提升。所以采用相關系數作為粒子群算法的目標函數，相關系數可評價兩個波形相似程度。假設采用X的線性表達式a+bX與Y比較，求得均方誤差為

(30)

均方誤差可衡量a+bX與Y的相似程度。e越小則兩曲線越相似。改變a、b值使e最小即X線性變換后與Y的相似度最高。對e求a、b偏導數并令其等于零

(31)

(a) Griewank測試函數下BPSO與SPSO性能比較

(b) schaffer測試函數下BPSO與SPSO性能比較

設

(32)

將a0，b0代入式(30)得

(33)

4.4 算法實現流程

首先，通過粒子群算法尋找最優迭代控制律參數r、Γ、L，使迭代波形復現度提升到最高。

如圖7所示，PSO算法首先生成隨機的r、Γ、L控制率參數、計算出新的驅動函數uk+1并疊加噪聲新號。經過式(8)的逆系統后輸入給振動臺的傳遞函數，得到振動臺仿真輸出信號yk與期望信號yd的誤差作為迭代學習控制系統的ek，同時計算輸出與期望信號的相關系數作為改進PSO算法的適應值。通過PSO不斷迭代求得最優rbest、Γbest、Lbest，以減少迭代次數及提高復現精度。然后將最低適應值對應的驅動信號uk代入真實振動臺試驗中

(34)

經式(34)，進行過少量迭代繼續提高復現精度，使相關系數波動不超過0.05為止。

圖7 粒子群算法計算最優迭代控制率Fig.7 Calculation of optimal ILC rate by PSO

5 電磁式振動臺波形復現實例

2008年汶川地震臺網數字記錄質量較高，從14個臺站42組記錄中選取不同的震中距、峰值加速度、頻譜分布范圍等參數的5組地震波數據作為驅動信號，如表3所示。

表3 地震波記錄對比

圖8為該5組數據的加速度時域波形及自功率譜密度。

圖8 地震波波形及自功率譜Fig.8 Seismic waveform and self-power spectrum

采用式(26)改進粒子群算法，粒子群數為40、c1、c2為2，最大迭代次數為60次，迭代速度控制在[-1,1]區間。驅動波形信噪比設為50 dB。振動臺模型根據式(11)和表1中參數設定。迭代結果如圖9所示。

圖9適應值均收斂到0附近(適應值為0表明復現波形與地震波信號完全一致)。對于以上五種地震波信號，基于改進粒子群迭代學習算法均有效的計算出最優迭代學習控制率參數，能在較少的迭代次數下達到較高的復現精度。

為驗證算法結果的有效性，將計算得到參數在圖10所示LVC-5型小型振動臺中測試。通過NI PXI-6281數采卡發送和采集數據。與文獻[12]中方法對比。

表4中數據可以看到，PSO-ILC在迭代次數和復現精度方面均優于同類算法。

表4 算法對比

(a) 茂縣地辦：r=0.28,Γ=1.79,L=0.61

(b) 沙灣：r=0.32,Γ=0.74,L=0.03

(c) 廣元石井r=9.32,Γ=1.69,L=0.14

(d) 臥龍：r=0.12,Γ=0.25,L=0.13

(e) 綿竹清平：r=1.49,Γ=0.97,L=0.35圖9 粒子群參數優化曲線Fig.9 Particle swarm parameter optimization curve

圖10 電磁式振動臺Fig.10 Electric shaking table

6 結 論

本文首先建立系統模型，并在模型前加入前饋逆模型，用來改善系統頻帶寬度，增強系統動態特性。然后提出了帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學習控制算法，并驗證了算法的收斂性。遺忘因子可消除擾動對系統的影響，誤差迭代效果更平滑。此外，引入反饋輔助利用之前的誤差導數及當前的誤差信號作為修正項，加快收斂速度的同時解決了當前誤差信號求導帶來的非因果問題。之后，通過粒子群算法優化迭代控制律中參數，提出了一種簡化速度項的粒子群算法，把算法變為一階方程，通過三個測試函數對比基本粒子群算法，改進算法收斂速度快，逃離局部最優解能力強。最后利用改進粒子群算法優化帶遺忘因子的反饋輔助PD型迭代學習律中的三個參數。使迭代過程更快速的收斂，減少迭代次數的同時提高復現精度。

將模型離線計算出的迭代學習律參數用于實際振動臺試驗中，并對比其他迭代算法。本文所采用的方案具有迭代速度快、復現精度高的特點。