基于響應面法的減速器行星架多目標優化研究*

李志遠,裴 幫,李學飛,陳 卓,黃曉丹

(鄭州機械研究所有限公司,河南 鄭州 450001)

0 引 言

作為行星齒輪減速器中的主要構件之一,行星架是行星齒輪傳動系統中結構和受力都比較復雜的零件。作為動力的輸出構件,行星架承受的外力矩最大,同時其質量和尺寸也是傳動系統中最大的[1]。行星架的強度在行星減速器中起著關鍵的作用,所以對行星架進行強度分析很有必要。

在有限元分析過程中,不同的邊界條件會造成不同情況的應力分布狀況,所以探討、分析合適的邊界條件是重要的。姜振波、楊瑞鋒等人[2]在對采煤機的行星架進行有限元分析過程中,對行星架不同的邊界條件方案進行了對比研究。陳器[3]在對盾構機的行星減速器行星架進行仿真分析及優化過程中,將行星架與行星軸裝配在一起,使等效應力出現在退刀槽內;通過采取增加圓角的方式減小了其應力集中。

響應面法采用多元多項式或非多項式模型(如Kriging模型)來描述系統自變量和響應特征之間的復雜關系,替代有限元仿真和其他復雜模型。因此,在工程中,采用響應面法可以進行更為有效的設計或計算工作。同時,選擇合適的實驗設計方法和高精度的響應面模型可以大大縮減優化設計的時間[4]。

要保證響應面模型的精度,對實驗設計方法的選取很重要。張令彌、費慶國等人[5]在用于確定性計算仿真的響應面法及其試驗設計研究過程中,對常用實驗設計方法進行了詳細介紹。逯振國、楊素等人[6]采用有限元方法對采煤機行星架質量進行優化分析時,利用響應面分析法,以行星架中的行星軸孔為優化參數,對其質量進行了優化。常濤等人[7]分析了制造加工的過程中的不確定參數對行星架強度的影響,并且對其可靠性也進行了驗證。殷國富、陳箭等人[8]基于變密度法插值模型,對行星架進行了結構拓撲優化;在優化結果的基礎上,重新設計了新的行星架,并對其可用性進行了驗證。

在動力學方面,MCINERNY S A和PARKER R G等人在研究三維斜齒行星齒輪的模態特性時,分析了行星架的振動對失效的影響[9,10]。KELLER J A等人[11]在對行星架進行振動監測進行研究時,對改進的特殊工況下的行星齒輪箱進行了標準參數化診斷分析。BLUNT D M等人[12]用模態分析方法,對行星齒輪傳動行星架的疲勞破壞狀況進行了研究分析。

在靜力學方面,前人的研究過程中,并沒有考慮軸承對行星軸的約束,因此,筆者將軸承對行星軸的約束近似為剛性約束,通過寬度與軸承一致剛性支架模擬軸承對行星軸的約束;對比剛柔耦合模型和傳統分析方案,選擇合理的方案分析,通過建立響應面模型,以便能更高效率地進行多目標優化設計。

1 有限元模型建立

筆者采用2k-h型行星輪系作為研究對象。此型號行星輪系的外齒圈固定不動,通過太陽輪與行星輪的嚙合,使行星架輸出轉矩。

由于參數化建模可使后期優化設計變得極其方便,筆者利用SolidWorks進行參數化建模。

參數化模型如圖1所示。

圖1 參數化模型

筆者采用Workbench對行星架進行有限元分析,將已經完成的三維模型直接導入Workbench中的Static Structural模塊(Geometry)中,并利用Workbench中自帶的三維軟件Design Model打開,以將行星架中的參數化信息導入Workbench中。

在劃分網格前,需要對模型進行預處理。由于圓角的存在會導致劃分的網格數量過于龐大,因網格梯度過大而導致計算結果不符合實際。此處,筆者將行星架中非關鍵部位的圓角刪除。

行星架的材料機械性能如表1所示。

表1 材料機械性能

2 方案分析

為分析比較不同的邊界條件對行星架的應力與位移的影響,筆者采用兩種不同的邊界條件對行星架進行有限元分析,并選擇其中與實際情況比較接近的情況進行優化設計。

2.1 行星架受力分析

2K-H型行星架傳動系統的結構簡圖如圖2所示。

圖2 傳動結構簡圖

根據該行星輪系的設計參數,輸出功率約為P=3 728.11 kW,輸出轉速為114.95 r/min,則其輸出轉矩為:

(1)

2.2 方案一仿真分析

方案一。采用直接對行星架進行加載的方式,通過行星架的輸出扭矩計算出行星軸中心軸所在圓的扭矩。

行星架受力分析如圖3所示。

圖3 行星架受力圖

由于已知輸出轉矩309 730 N·m,根據力矩平衡可得:

(2)

由F2可知，每個行星軸孔的受力為：

(3)

筆者使用Workbench中的軸承力功能來模擬軸承對軸承孔的加載效果,并對每個孔建立獨立的局部坐標系以控制方向(方向為軸承孔所在圓的切線方向),邊界條件加載后對其進行求解,最后得到應力云圖如圖4所示。

圖4 應力云圖

得到位移云圖如圖5所示。

圖5 位移云圖

2.3 方案二仿真分析

方案二。采用更加貼合實際的加載情況,用剛柔耦合模型對行星架進行分析。

之所以采用剛柔耦合模型,是因為筆者關注的應力是行星架,而非剛性支架,故將其設置為剛性體,使其只傳遞力的作用而不受力。這在一定程度上減少了網格的劃分數量,提高了計算的效率;

此外,由于軸承的內齒圈與行星軸為過盈配合,筆者將行星軸與軸承內圈的配合視為剛性約束,且忽略齒輪嚙合剛度。在此前提下,將齒輪傳動簡化為一個剛性支架。

筆者將剛性支架、行星軸與行星架裝配在一起,得到行星架裝配圖,如圖6所示。

圖6 行星架裝配圖

筆者將其導入Workbench中進行預處理,并進行邊界條件的施加。首先,將支架設定為剛體,其與行星軸、行星軸與行星架的之間的接觸按照全部實際的接觸狀態,即有摩擦接觸處理。在接觸的設置中,由于存在剛體,剛體只能作為目標面設定;

此外,由于Workbench中的剛體無法施加固定約束,為達到固定的目的,筆者對剛性支架施加遠程位移約束,并將遠程位移6個方向的自由度全部設置為0,以達到固定約束的效果;

最后,在行星架的輸出端施加扭矩。

在涉及摩擦的有限元分析中,為保證精度,筆者將Workbench自適應網格功能關閉。在該模型中,將全局平均的尺寸控制在15 mm,在需要關注的部位,即行星軸與行星架的接觸部位進行局部細化網格,并將網格增長率設定為1.1,使網格梯度盡量減小。

由于筆者已將支架設定為剛體,在有限元分析中,對剛體劃分網格僅僅限于接觸部位。

方案二最后得到的位移云圖如圖7所示。

圖7 位移云圖

最后得到的應力云圖如圖8所示。

圖8 應力云圖

2.4 方案對比分析

方案一與方案二的最大應力柱狀圖和最大變形柱狀圖對比結果,如圖9所示。

圖9 方案對比圖

方案一的最大應力值小于方案二的最大應力值,原因是由于方案一將3根行星軸所受的力均勻地分配到6個行星軸孔上,沒有產生行星軸與行星軸孔的接觸導致的應力集中現象,故其最大應力值小于方案二;

方案二的最大變形值小于方案一,原因在于:(1)方案一每個軸孔受力均勻,而輸入端又缺少約束,導致方案一的輸入端的變形過大;(2)方案二用來模擬軸承約束的剛性支架對行星軸有一定的約束作用。在實際情況中,軸承內圈對行星軸的約束使其阻擋了行星架的轉動,因而也就沒有輸出轉矩;(3)方案二的負載大多集中在輸出端,且受到行星軸的反作用力。

3 多目標優化

3.1 數學模型建立

為了提高行星架的靜力學性能,筆者采用多目標優化的方法對行星架的關鍵參數進行優化設計,以提高計算效率。

多目標優化設計問題的數學模型[13]為:

FindX=[X1,X2,X3…Xn]∈Rn

Minf(X)=f(x1,x2,x3…xn)

(4)

式中：FindX—求解的最優解；X—設計變量；xn—第n個設計變量元素；Rn—設計變量的可行域；f(x)—目標函數；S.T—約束函數；σi(X)—第i個不等式約束；τl(X)—第l個不等式約束。

3.2 響應面模型建立

響應曲面分析設計方法是一種利用合理的實驗設計方法,通過實驗得到相應的數據,運用多元二次回歸方法擬合因素與響應值之間的關系,通過對回歸方程的分析尋求最優解,從而解決多變量問題的統計方法[14]。相對于直接優化方法,響應面法因為不需要每次都進行有限元計算,所以其計算效率相對更高。

經過筆者對比驗證可知,方案二的邊界條件較方案一更貼合實際,為更理想的優化結果。因此,筆者將行星軸和行星架裝配在一起,進行裝配體的優化。

行星軸的剖視圖如圖10所示。

圖10 行星軸與行星架參數圖

圖10中,軸肩長度(P8)、接觸長度(P9)和通孔直徑(P5)為本次要優化的行星軸參數。

對方案二進行分析可知,行星架的3根三角柱的受力較小,故筆者對三角柱進行優化,即將三角柱挖成通孔,并將內圓直徑(P6)和外圓直徑(P7)作為優化參數,將行星軸孔應力(P1)、輸入端應力(P2)、總變形(P3)和行星架質量(P4)作為結果輸出。

參數優化范圍如表2所示。

表2 參數優化范圍

該實驗設計的目的是在樣本區間合理地選擇每個隨機采樣點,通過實驗得出樣本點的響應值,為響應面的建立提供原始數據[15-17]。筆者采用Central Composite Design實驗設計方法對樣本進行計算,然后利用Kriging響應面模型對樣本數據進行擬合。

擬合優度圖如圖11所示。

圖11中,由設計點計算出的觀察值和利用響應面擬合出的預測值高度吻合,該結果表明,響應面模型的可信度良好。

最終,筆者得到了響應曲面(包括:最大變形響應面和最大應力響應面),如圖12所示。

圖11 擬合優度

圖12 響應曲面

圖12中,響應面反映出了各個參數對輸出參數的響應程度。

由圖12(a)可知:P7和P8在當前取值條件下與行星架最大變形呈二次函數關系,當以最小變形為目標尋求最優解時,候選點的值會選在黑色區域部分;

由圖12(b)可知:P8與P9相對于P6與P7對最大應力的影響更大,P6、P7、P8、P9的增加可使最大應力減小,但會導致更大變形。在滿足強度的情況下,可增加上述參數以減小變形。

完成響應面的建立后,筆者通過設置優化目標得到3個候選點,如表3所示。

表3 候選點數據

3.3 靜力學驗證

筆者根據優化后的數據重新建模,并按照之前相同的邊界條件進行計算與驗證,最后將計算結果與響應面的預測結果(候選點3)進行比較,其結果如表4所示。

表4 響應點驗證

由表4可知,該響應面的預測精度良好,可以準確地反映不同參數組合的實際輸出結果。

筆者將優化前的數據和優化后的數據進行對比,其結果如圖13所示。

由表13可知:行星架的最大應力由299.78 MPa降低為269.35 MPa,減小了10.1%;最大變形量由0.26 mm降低為0.17 mm,減小了34.6%;行星架的質量由開始的413.58 kg降低為310.81 kg,減小了24.8%。

圖13 最終優化對比

由此可見,該行星架綜合優化的效果顯著。

4 結束語

筆者通過兩種不同的方案對行星架進行了靜力學分析,并篩選出了最優方案,隨后對行星架裝配體的剛柔耦合模型的關鍵參數進行了CCD抽樣分析,并擬合出響應面最優解;最后,對該最優解進行了驗證。

研究結果表明:

(1)基于剛柔耦合模型的方案二更加貼合實際,且最大應力位置在行星軸和行星軸孔的接觸位置;

(2)行星架的輸入端和輸出端的軸孔受力不均勻,且大部分應力集中在輸出端,輸入端面板的受力偏小;

(3)行星軸上的通孔對其最大應力的影響較為顯著,且為非線性關系;當軸剛度小于臨界值時,通孔直徑的增加會導致其最大應力減小,反之則會導致其應力增大;

(4)通過建立響應面模型,對需要修改的參數進行多目標尋優,得出最優解,并對最優解進行了靜力學驗證,其結果表明,響應面精度在誤差范圍內,該最優解結果可以接受;并且以最優解為最終優化方案,取得的優化效果最為顯著。

綜上所述,在保證響應面精度的情況下,基于響應面法的參數優化零件的優化效果良好,特別適用于無法通過手動計算強度的零件。

在后續的研究中,筆者將對復雜結構零件進行全參數優化,以實現其輕量化設計的目的。