再談數學的教學“自然”
——以高中數學人教A版新教材“正弦、余弦定理”為例

呂增鋒

(象山縣第二中學，浙江 寧波 315731)

近年來，在“數學是自然的”這個大概念的統攝下：一方面越來越多的教師把追求“教學自然”作為課堂教學的基本訴求，比如，“追求自然連貫的數學教學過程”[1]“追求自然樸實的數學教學”[2]，以及數學課堂要“自然呼出、自然聯系、自然建構”[3]等。另一方面，很多教師并沒有真正地理解“自然”的內涵，更多的是把“自然”當作一種“口號”；對于達成教學“自然”的方法與路徑也是知之甚少，更多依賴的是個人的臆想，想當然地以為“這樣做就是自然”，從而導致數學教學陷入“天天喊自然，就是不得自然之法”的尷尬之中。下面筆者就以高中數學人教A版新教材“正弦、余弦定理”為例，談談如何實現教學自然。

一、“自然”的內涵

“數學是自然的”中的“自然”：一是指“自然界”，即數學產生于“自然界”，或者是我們通常講的“數學源于生活”；二是指“自然發生”，即數學產生與發展的過程是“自然”的。

(一)數學產生于“自然”

人類通過自己的實踐活動與自然界相互聯系、相互作用產生了諸多的知識與經驗。數學知識也一樣來源于大自然。比如，人類在大自然中觀察到各種不同形狀的物體：樹葉、貝殼、石頭、植物種子等，于是，頭腦逐漸出現了“形”的觀念，也有意識地把一些生活用具制作成較為規則的幾何形狀，幾何學從那個時候開始萌芽，而三角形作為比較特殊的一類圖形自然成為幾何學的主要研究對象。其他數學分支也如幾何學一樣，最早都是源于對自然的觀察和思考，然后通過不斷的抽象與發展，最終建構出了當前宏偉的數學大廈。

(二)數學發展的過程“自然”

數學發展通?；趦蓚€“自然”：一個是需求的自然，即數學的發展為了滿足生產生活中需求。比如，隨著人類生產力的發展，跨地區的商業貿易得到迅速發展，如何在荒無人煙的荒漠草原，或一望無際的大海上確定方向成為迫切需要解決的問題，而借助太陽、星星來輔助定位是比較有效的手段，這就需要利用三角形模型來計算星體的相對位置和距離，于是在天文觀測中誕生了三角學[4]。另一個數學本身發展的自然，自從數學成為一門獨立的學科后，構建完備的知識理論體系成為數學家的基本訴求。比如，在三角形的定義和形狀明確后，接下就會去研究其性質：兩邊之和大于第三邊、大邊對大角、全等與相似等；除了定性研究外，還進行定量研究，三角形內角和為180度、正弦定理、余弦定理、射影定理等；除了研究三角形本身，還要研究三角形與其他圖形的聯系，中線、角平分線、重心、內心、外接圓等，在一系列性質、定理、推論、公式的支撐下，三角學逐步完善。

二、如何凸顯教學“自然”

數學教學“自然”不是“只可意會不可言傳”的天機，而是需要在理解數學“自然”內涵的基礎上，以夸美紐斯《大教學論》中的教育應遵循自然規律的觀點為理論指導，遵循知識的自然邏輯順序、學生的自然認知規律與教材的自然編寫意圖。

(一)遵循知識的自然邏輯順序

數學知識的研究一般遵循“定義概念—推導性質—建立聯系—實踐應用”的自然邏輯順序，即先從數與形的角度抽象事物的本質屬性、定義概念，明確數學對象；探索對象的要素與要素、要素與環境之間的關系和相互作用而獲得性質；建立相關知識的聯系而形成知識體系；應用所得知識解決數學內外的問題[5]。當然，這一自然邏輯順序并非線性單向傳遞，而是呈現網狀放射結構，比如，在“建立聯系”后，可能又會推導出更多的“性質”；在“實踐應用”中又可以進一步深化對“定義概念”的理解，從而實現對數學知識的螺旋上升式的自然建構。

對于“正弦、余弦定理”這部分內容來說，初中對三角形的性質已經有了定性的描述，比如，用SSS，SAS，ASA，AAS來判斷三角形全等，因此，高中要對三角形的這些性質的進行定量刻畫是自然的；初中介紹了解直角三角形的方法，因此，高中研究一般三角形的解法是自然的；之前學習了向量，因此，以向量為工具來推導正弦、余弦定理也是自然的。

知識的自然邏輯順序就是“學什么”的順序，這可以為數學教學的自然“引入”提供事實依據。比如，“今天我們開始學習解三角形，解三角形最常用的有兩大定理，其中一個就是余弦定理”“在三角形中，兩邊之和大于第三邊，我們能否把這個性質用定量關系進行表示呢？”“我們知道向量能夠作為研究平面圖形位置與數量關系的工具，那么能否借助向量進一步研究三角形中的邊角關系呢？”這是余弦定理的三種“引入”，哪一種引入最“自然”？在新教材中，正弦、余弦定理是放在“向量應用”這個章節之中，其中一個重要目的是為了凸顯向量的工具作用，因此，第三種引入應該是最自然的。

(二)遵循學生的自然認知規律

一談到遵循學生的認識規律，我們自然會把它與由易到難、由特殊到一般、從具體到抽象、從整體到局部、從定性到定量等做法關聯起來，以為只要照搬套用就能實現教學自然。其實不然，這些充其量只是比較好用的教學手段而已，并不能確保這樣做一定就是遵循了學生的自然認知規律。所謂自然認知規律指的是數學概念產生、數學問題提出與解決是基于學生原有的數學認知結構，或者是原有數學認知結構的自然發展與完善，即以合乎學生的認知規律和心理年齡特征，以自然的、人本的方式展開[6]，使學生能自然而然地“發現”“想到”“悟到”。

學生的自然認知規律就是“如何學”的定律。由上可知，把握學生自然認知規律關鍵是要了解學生已經學會了什么、具備了怎樣的經驗與能力，然后，以此為認知的生長點，進行自然的延伸與拓展，從而實現數學教學過程的“自然”。

問題1：如何用向量關系式來表示“三角形兩邊之和大于第三邊”？

追問：在前面向量這章內容中是如何證明這個不等式？

又比如，如何讓學生自然想到類比直角三角發現正弦定理的存在。在學生已知“大邊對大角，小邊對小角”和經歷余弦定理推導過程的基礎上，教師可以做這樣引導：

問題2：如何把“大邊對大角，小邊對小角”進行向量表示？

追問：你能證明這個結論嗎？

學生自然想到借助特殊三角形去進行驗證，比如，直角三角形。

為了讓學生能夠自然想到，必要的引導是不可少的，但教師的引導也要順應學生的認知自然，問題的跨度不能太大，否則，很容易使數學的自然生成異化為教師的強行灌輸。

(三)遵循教材的自然編寫意圖

在教學中，教材的重要性不言而喻。教材既是學科基礎知識的凝練，又是教學的文本和指引；教材既是社會文化標準與文化規范的體現者，又是民族文化與國家意識形態的承載者。教材的編寫是在綜合考量各種因素后的最優方案，從而確保在明確育人目標的基礎上最大可能地實現知識的普及與價值觀的正向傳遞。因此，理解教材，遵循教材的自然編寫意圖是實現教學自然的重要一環。

如果不考慮教材的意圖，正弦、余弦定理也可以按照下面這樣來推導。

問題3：一架飛機從A地飛往B地，飛行員為了避開某一區域的雷雨云層，從機場起飛后，就沿著原來的飛行方向成21°角的方向飛行，飛行到C地，測得AC間的距離為500 km，然后再從C地飛到B點。

(1)若C地飛到B點的航線與原來的航線成35°角，則BC間的距離是多少？

(2)若測得AB的距離為700 km，則BC間的距離是多少？

解析：根據題意，作出飛機飛行的路線圖，如圖1所示。在初中階段，解決此類問題的一般方法是通過“作高線”構造直角三角形，然后借助直角三角形的特殊性獲得邊角之間的定量關系。作AB邊上的高線CD，垂足為D，如圖2所示。

圖1

圖2

(2)CD=500sin21°，AD=500cos21°，BD=700-500cos21°，所以BC2=CD2+BD2=5002sin221°+(700-500cos21°)2=5002+7002-2×500×700cos21°。

問題4：若問題3中三角形的三條邊分別用字母a，b，c表示，三個角分別用字母A，B，C表示，你能發現隱藏在其中的定量關系嗎？這些關系式有幾組？

余弦定理：

從具體的問題情境出發，利用初中解直角三角形的思路，經歷從特殊到一般的發現與歸納，最終同時獲得兩個定理，你說這樣的推導思路不“自然”嗎？但如果參照“以向量作為研究平面幾何問題的工具”這個教材意圖，上面的推導方法顯然偏離方向。事實上，從現代數學發展來看，傳統的幾何學已經走向沒落，很難有新的突破，而以向量為分析工具的幾何，比如，解析幾何、向量幾何還是方興未艾，教材正是在這樣的大背景下才萌發了這樣的“意圖”。由此可見，教材的自然編寫意圖直指“怎樣才能學得好”，遵循教材的自然編寫意圖可以實現知識系統建構的“自然”。

綜上所述，教學“自然”并非說不清道不明，而是既要考慮數學本身因素，又要考慮學生因素，還要考慮教材因素，最后需要綜合多種因素，才能形成比較自然的教學方案。▲