微裂紋群對主裂紋尖端損傷行為的影響*

李 煦， 蘇 睿， 張 歡， 翁倩茹， 江曉禹

（1. 成都工業學院 智能制造學院，成都 610036；2. 西南交通大學 力學與航空航天學院，成都 610036）

引 言

在真實材料中，宏觀裂紋尖端附近往往存在大量的微裂紋，它們不僅會在材料服役過程中產生，還可能在材料的制備過程中產生.圖1 展示了U71Mn 鋼在三點彎曲的恒定振幅疲勞載荷作用下的掃描電子顯微鏡下的觀察結果[1]，即在宏觀裂紋前方觀察到一簇任意分布的微裂紋，微裂紋用紅色箭頭標注，微裂紋與主裂紋即將交匯處用紅色圓圈標注.其中，試樣為矩形板（120 mm × 15 mm × 1 mm），含有邊緣裂紋.邊緣裂紋位于試樣中部，初始長度為2.846 mm.加載頻率為1 Hz，最大負載和最小負載分別為1 kN 和0.1 kN.

圖1 主裂紋尖端附近存在多條微裂紋Fig. 1 Several micro cracks were observed near the macro-crack tip

一般情況下，微裂紋與主裂紋或者微裂紋與微裂紋之間的相互作用效應會使得裂紋尖端的應力場不同于單條裂紋在同樣外載荷作用下的應力場.因此，如何有效地了解裂紋影響材料失效破壞的機理，針對微裂紋與主裂紋的相互作用以及微裂紋對主裂紋擴展行為的影響開展高效且精確的理論研究工作是人們長期以來關注的重點問題.Gong 等[2-4]通過Muskhelishvili 復變函數法和應力疊加法研究了彈性平面內任意分布的微裂紋或微孔洞對主裂紋的影響.Petrova 等[5-7]通過小參數法研究了材料中多個微裂紋對主裂紋擴展的影響.Li 等[1,8]通過分布位錯法研究了在單軸拉伸條件下主裂紋與微裂紋的相互影響.夏曉舟等[9]利用平均化法和疊加原理研究了裂紋間的相互作用機理.李亞等[10]利用應力強度因子的裂紋線法研究了局部均布荷載下Ⅰ型裂紋有限寬板應力強度因子.此外，研究者們[11-13]還利用有限元法研究了多個微裂紋與主裂紋的相互作用.但以上研究工作大多是針對主裂紋尖端存在少量微裂紋的情況，并且只考慮了微裂紋對主裂紋的影響.事實上，當主裂紋尖端存在大量微裂紋時，微裂紋之間的相互影響變得很重要.如果忽略微裂紋之間的相互影響，可能會對計算結果造成誤差，影響下一步的研究.

另外，從損傷力學的角度出發，研究者們提出了兩個重要的理論研究方法，即連續損傷力學方法和細觀力學方法，但是對于微裂紋密度較大的情形，目前還是難以建立既符合材料損傷、破壞的力學機理，又便于實際應用的模型，只能通過一些近似簡化、數值計算、實驗測定得出近似解答[14-16].

綜上所述，為了更好地研究平面多裂紋問題，既應該考慮微裂紋間的相互影響，還應該考慮微裂紋的數量、長度和分布形式等對主裂紋尖端的影響.在宏觀平面彈性理論和斷裂力學中，Muskhelishvili 復變函數法[17]是一種有效求解多連通區域或復雜幾何形狀等裂紋問題的方法，其主要求解思路是找到滿足問題邊界條件的復應力解析函數，利用保角變換法將z平面上復雜的裂紋問題通過轉化為映射平面上相對簡單的問題，得到平面內任意一點的應力分量、應變分量、位移分量等，最后得到滿足裂紋面邊界條件的問題的解析解，進而求得應力強度因子.

在前期的基礎上[17-18]，本文將運用Muskhelishvili 復變函數法求解無限大平面內含一個主裂紋和多個任意分布微裂紋問題的理論解，進一步研究了單軸拉伸條件下主裂紋和微裂紋尖端的損傷參量D，分析了不同的損傷區形式對裂紋尖端損傷的影響.

1 Muskhelishvili 復變函數法和逐步遞推法

1.1 理論方法

以圖2 所示的問題為例，在無限大平面內含一條主裂紋和k(k=1, 2, ···,j, ···,n)條任意分布的微裂紋，無限遠處有均勻拉伸載荷σ∞.xoy為總體坐標系，o為坐標原點.xkokyk為每個微裂紋對應的局部坐標系，ok為坐標原點.為了方便描述，將圖2 中的問題記為原問題.由于原問題中存在多條微裂紋，并且微裂紋的位置和角度是任意的，現利用逐步遞推法將原問題轉化為多個子問題(參見圖3 ～ 5)，即子問題1、子問題2、子問題3、子問題4 等，通過逐一求解子問題中的主裂紋和微裂紋的應力場得到原問題的解.

圖2 無限大平面內含一個主裂紋和多個任意分布的微裂紋Fig. 2 An infinite plane containing a macro crack and multiple micro cracks

圖3 子問題1：只有主裂紋、遠場有均勻拉伸載荷σ∞Fig. 3 Sub-problem 1: the macro crack under uniform tensile load σ∞

根據Muskhelishvili 復變函數法，平面內任意一點的應力與兩個復應力解析函數Φ(z)，Ψ(z)和它們的導數的關系可以表示為[17]

式中，用復變量z=x+ iy代替實變量x和y，σxx和σyy分別為水平方向和垂直方向的正應力，τxy為切應力；(ˉ·)表示Φ(z)，Ψ(z)和z的共軛值；(·)′和(·)″分別表示Φ(z)和Ψ(z)的一階導數值和二階導數值.

1.1.1 子問題1

在無限大平面內含一條主裂紋、沒有微裂紋、遠場有均勻拉伸載荷σ∞，如圖3 所示.圖中實線代表真實存在的裂紋，虛線代表非真實存在的裂紋，將位于主裂紋尖端周圍的任意一條微裂紋記為微裂紋j(j=1, 2, ··· ,n).主裂紋的半長為a，微裂紋j的半長為aj，主裂紋尖端到微裂紋j中心的距離為dj，微裂紋j自身的傾斜角度為βj，微裂紋j相對于主裂紋尖端的方位角為θj.另外，βj和θj的正方向為逆時針方向.

實際上，子問題1 就是著名的Griffith 裂紋問題，Muskhelishvili 給出的復應力解析函數表達式如下[17]：

圖4 子問題2：任意多條微裂紋Fig. 4 Sub-problem 2: the micro cracks

當第j條微裂紋上作用有集中力時，集中力F的大小與子問題1 中得到的微裂紋j處的法向應力和切向應力相等，方向相反，集中力的表達式為

1.1.3 子問題3

無限大平面內含一條中心主裂紋、沒有微裂紋、在遠處不受力，如圖5 所示.即求解主裂紋在非均勻分布載荷F作用下，在總體坐標系下的應力場.其中，F的大小等于子問題2 中主裂紋位置處的應力，方向與原方向相反：

圖5 子問題3：只有主裂紋Fig. 5 Sub-problem 3: the macro crack

1.1.4 子問題4

以上推導的理論方法有三個優點：第一，在推導過程中沒有引入其他有特殊含義的參數，因此適合求解線彈性斷裂力學范圍內的平面裂紋問題；第二，對微裂紋的數量和位置沒有限制，當研究多裂紋問題或裂紋的分布問題時，只需要修改裂紋的位置參數，而不需要重新建模或劃分網格，這為研究工作節省了計算時間，提高了效率；第三，在求解過程中考慮了微裂紋間的相互影響，減小了計算誤差，補充了平面多裂紋問題的理論解.

1.2 裂紋尖端損傷區

以往的模型描述損傷的方法是定義一個標量、矢量或張量作為損傷狀態變量，但實際上一點的損傷狀態是很復雜的[14-16,19-20].本文放棄上述損傷變量，把裂紋尖端作為一點的損傷狀態，將損傷區內微裂紋對主裂紋尖端應力場的影響用損傷參量描述，即損傷變量描述的是主裂紋尖端所有的損傷情況(微裂紋的傾斜角、方位角、數量等因素).當遠場拉伸載荷為σ∞時，假設材料為各向同性，并且不考慮微裂紋擴展過程中的各向異性力學特性.在單軸拉伸情況下，主裂紋尖端的損傷變量DMA可以定義為

式中，DMA表示主裂紋尖端損傷的大小以及微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響，KⅠMA表示主裂紋尖端的應力強度因子.一般情況下，損傷參量DMA的值介于0 到1 之間.當微裂紋數量為零時，DMA也為零，裂紋受到的載荷等于遠場的應力.當DMA的值大于零時，代表損傷區的微裂紋對主裂紋尖端損傷有增強作用，即微裂紋的存在使得主裂紋的應力強度因子增加并且更容易發生擴展.當損傷參量的值小于零時，代表損傷區的微裂紋對主裂紋尖端的應力強度因子有屏蔽作用.

類似地，微裂紋尖端的損傷參量可以表示為

1.3 方法驗證

圖6 展示了共線微裂紋對主裂紋尖端應力強度因子的影響.為了驗證前兩小節的求解，以圖6(a)所示的問題為例，建立相應的有限元模型如圖7 所示.其中，主裂紋為AB，裂紋半長為a，微裂紋半長為a1，a/a1=1，β1=0，θ1=0.材料的彈性模量是210 GPa，Poisson 比是0.3，這里不考慮塑性，是靜態的彈性計算.單元類型是Plane 183.裂紋尖端采用奇異性單元，求解裂紋尖端的應力強度因子采用的是位移外推法.

圖6 共線微裂紋對主裂紋尖端應力強度因子的影響：(a) 無限大平面內的共線裂紋；(b) 裂紋尖端B 點的應力強度因子隨裂紋間距的變化Fig. 6 I nfluence ofthecollinearmicrocrackon thestressintensity factor of the macro crack tip: (a) a collinear micro crack and a macro crack in an infinite plane;(b) KB/(σ∞)vs. d/a1fora/a1=1undertensile load

圖7 共線裂紋的有限元模型：(a) 整體網格；(b) 裂紋附近網格；(c) 裂紋尖端附近網格Fig. 7 The finite element method (FEM) for the collinear crack: (a) the whole FEM mesh; (b) the FEM mesh around the crack;(c) the FEM mesh near the crack tip

以圖6(a)中的共線裂紋為例，圖8(a)和8(b)分別展示了子問題1 和子問題3 中主裂紋上的正應力在裂紋面上的變化曲線.橫坐標表示主裂紋長度方向的坐標值，從左至右分別表示主裂紋左尖端和右尖端.結果顯示：主裂紋右尖端受微裂紋的影響，其應力的絕對值相比主裂紋左尖端更大.對比子問題1 和子問題3 可知，主裂紋上最大應力值的絕對值由29 MPa 減小到0.24 MPa，下降了99.2%.當計算到子問題5 時，主裂紋上的應力相比子問題3 下降了99.996%.隨著子問題增加，主裂紋上的應力值將越來越小.因此，為了提高計算效率，在實際應用中可以只計算到子問題5.

圖8 主裂紋上的正應力在裂紋面上的變化曲線：(a) 子問題1；(b) 子問題3Fig. 8 The normal stress on the crack surface of the macro crack: (a) sub-problem 1; (b) sub-problem 3

2 損傷區的微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響

2.1 微裂紋的分布對主裂紋尖端損傷的影響

以往的文獻表明，微裂紋相對主裂紋尖端的方位角對主裂紋尖端的應力強度因子有較大的影響[1].事實上，當主裂紋尖端附近存在多條微裂紋時，微裂紋的分布方式、數量、方位及傾斜角度等均對主裂紋尖端應力場有影響.下面以兩種鏈式分布的微裂紋群為例，分析微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響.

2.1.1 鏈式分布

圖9 中含一條有限長的主裂紋和k(k=1, 2, ···, 14)條正向鏈式分布的微裂紋.主裂紋的半長為a，微裂紋的半長為ak，微裂紋與主裂紋的長度取為ak/a=0.1.微裂紋群相對于x軸對稱分布，x軸上方微裂紋的方位角θk(k=1, 2, ···, 7)=20°，25°，15°，20°，15°，10°，5°，其他參數參見表1 和2.

圖9 無限大平面內含一條主裂紋和鏈式分布的微裂紋，在無限遠處有均勻拉伸應力Fig. 9 An infinite plane with a macro crack and chain-distribution micro cracks under tensile load

表1 主裂紋尖端到微裂紋中心的距離 dk/a (k=1, 2, ···, 7)Table 1 The distance dk/a (k=1, 2, ···, 7) between the macro crack and each micro crack

圖10(a)是主裂紋右尖端的損傷參量隨微裂紋傾斜角度的變化曲線，β1與βk(k=2, 3, ···, 7)的關系參見表2.結果顯示：隨著微裂紋群與主裂紋尖端的距離或微裂紋的傾斜角度減小，微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響逐漸增大，使得主裂紋更容易發生擴展.

表2 微裂紋的傾斜角度βk (k=1, 2, ···, 7)Table 2 The inclination angle βk (k=1, 2, ···, 7) of each micro crack

圖10(b)是微裂紋左尖端的損傷參量隨微裂紋傾斜角度的變化曲線，距離參數為d1/a=0.2.結果顯示：微裂紋的傾斜角度較小時，對裂紋尖端的損傷有增強作用；隨著傾斜角度增大，微裂紋尖端的增強作用逐漸過渡為屏蔽作用.

2.1.2 反向鏈式分布

圖11 中微裂紋與主裂紋的長度比為ak/a=0.1.微裂紋關于x軸對稱，x軸上方微裂紋的方位角θk(k=1, 2, ···,7)=40°，30°，20°，10°，15°，10°，5°，其他參數見表3 和4.

表3 主裂紋尖端到微裂紋中心的距離 dk/a (k=1, 2, ···, 7)Table 3 The distance dk/a (k=1, 2, ···, 7) between the macro crack and each micro crack

圖10 微裂紋是正向鏈式分布時，損傷參量D 隨β1 的變化，d1/a=0.2：(a) DMA；(b) DMIFig. 10 Damage parameter D vs. inclination parameter β1 for chain-distribution micro cracks, d1/a=0.2: (a) DMA; (b) DMI

圖11 無限大平面內含一條主裂紋和反向鏈式分布的微裂紋，在無限遠處有均勻拉伸應力Fig. 11 An infinite plane with a macro crack and reversed chain-distribution micro cracks under tensile load

圖12(a)是主裂紋右尖端的DMA的值隨微裂紋傾斜角度β1的變化曲線.β1與βk(k=2, 3, 4, 5, 6, 7)的關系參見表4.結果顯示：隨著微裂紋傾斜角度或微裂紋與主裂紋尖端距離的減小，DMA的值增大.通過對比圖10(a)和12(a)發現，當反向鏈式分布的微裂紋群存在于主裂紋尖端附近時，對主裂紋尖端損傷的增強作用更大，主裂紋更容易發生擴展.圖12(b)是微裂紋左尖端的DMI隨微裂紋傾斜角度β1的變化曲線.結果顯示：微裂紋4 與主裂紋尖端的距離最近，其DMI的值較大；微裂紋7 與主裂紋尖端的距離較遠，其DMI的值較小.

圖12 微裂紋是反向鏈式分布時，損傷參量D 隨β1 的變化，d1/a=0.2：(a) DMA；(b) DMIFig. 12 Damage parameter D vs. inclination parameter β1 for reversed chain-distribution micro cracks, d1/a=0.2: (a) DMA; (b) DMI

表4 微裂紋的傾斜角度 βk (k=1, 2, ···, 7)Table 4 The inclination angle βk (k=1, 2, ···, 7) of each micro crack

通過以上分析可知，微裂紋的傾斜角度對主裂紋尖端作用效應的強弱和性質起決定性的作用.其次，當微裂紋與主裂紋尖端的距離較近時，主裂紋尖端產生的損傷較大.隨著距離增加，損傷減小.

2.2 微裂紋的分布對主裂紋擴展的影響

如圖13 所示，根據脆性材料裂紋尖端損傷的程度，裂紋尖端的損傷可以分為三個區域，從外到里依次為無損區、連續損傷區和損傷局部化帶[24].其中，連續損傷區是在主裂紋尖端周圍存在的一個微裂紋穩定擴展的過程區.類似于金屬材料中裂紋尖端的塑性區，連續損傷區內的尺寸遠小于主裂紋尺寸.微裂紋損傷區表征了微裂紋的信息，標志著材料局部開始劣化.因此，研究連續損傷區內微裂紋對主裂紋尖端損傷狀態的影響對了解材料局部的損傷狀態有重要意義.另外，根據脆性損傷與外應力的關系可知[24]，外載荷卸載后的剩余變形很小，裂紋尖端極小區域內仍表現出良好的彈性性質，損傷區內的應力仍為K場分布，因此損傷區內裂紋尖端的損傷情況仍可用裂紋尖端的K因子進行分析.

圖13 靜止裂紋尖端的損傷分區結構Fig. 13 The damage zoning structure of the static crack tip

現將長度相等的微裂紋均勻分布在連續損傷區內，令微裂紋的傾斜角度的絕對值分別在30o、30o至60o以及60o至90o范圍內，分析當損傷區內分別有四條微裂紋和八條微裂紋時，主裂紋尖端的損傷參量隨微裂紋長度的變化，如圖14(a)和14(b)所示.結果顯示：當微裂紋的傾斜角度的絕對值小于等于30°時，微裂紋群對主裂紋尖端損傷的增強作用隨著微裂紋的長度和數量增加而逐漸增大.同時，隨著微裂紋數量增加，微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響也明顯增大.

圖14 微裂紋在連續損傷區內均勻分布時，損傷參量DMA 隨ak/a 的變化：(a) 4 條微裂紋；(b) 8 條微裂紋Fig. 14 Damage parameter DMA vs. micro crack length ak/a for evenly distributed micro cracks: (a) 4 micro cracks; (b) 8 micro cracks

現將長度相等且傾斜角度相等的微裂紋均勻分布在連續損傷區內，分析主裂紋的損傷參量隨微裂紋長度的變化，如圖15 所示.結果顯示：當有4 條或8 條微裂紋時，傾斜角度較小的微裂紋對主裂紋尖端損傷有增強作用，并且增強作用隨著微裂紋的長度增加而增大；隨著微裂紋的數量增加，主裂紋尖端損傷的增強作用逐漸增大.因此，對于均勻分布在連續損傷區內的微裂紋而言，微裂紋的數量、長度和傾斜角度均對主裂紋尖端損傷有重要影響.其中，微裂紋的數量對主裂紋尖端損傷的影響最大，其次是微裂紋的傾斜角度，最后是微裂紋的長度.

圖15 損傷參量隨微裂紋長度的變化：(a) βk=15°；(b) βk=45°；(c) βk=60°Fig. 15 Damage parameter DMA vs. micro crack length for evenly distributed micro cracks: (a) βk=15°; (b) βk=45°; (c) βk=60°

3 結 論

本文通過Muskhelishvili 復變函數法和逐步遞推法，得到了無限大平面內包含一個主裂紋和多個任意分布微裂紋的數值解，并進行了驗證.此外，本文重新定義了單軸拉伸條件下主裂紋和微裂紋尖端的損傷參量，通過分析微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響，得出如下結論：

1) 正向鏈式和反向鏈式分布的微裂紋均對主裂紋尖端損傷有增強作用，并且隨微裂紋的傾斜角度和裂紋間距的減小而增強；

2) 隨著微裂紋群與主裂紋尖端的距離增大，微裂紋對主裂紋尖端損傷的影響逐漸減弱；

3) 當微裂紋的傾斜角度較小時，主裂紋和微裂紋尖端損傷均有增強作用；

4) 在連續損傷區內，均勻分布的微裂紋對主裂紋尖端損傷的增強作用隨著微裂紋的數量增加而增大.

致謝 本文作者衷心感謝成都工業學院引進人才科研啟動項目(2022RC005)對本文的資助.

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