一類隨機(jī)對(duì)流擴(kuò)散方程的反源問題*

趙麗志， 馮曉莉

（西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710126）

引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，反問題在環(huán)境科學(xué)、能源開發(fā)、流體力學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融等領(lǐng)域有了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用.所謂反問題就是指用解的一些已知數(shù)據(jù)去重構(gòu)問題中的未知數(shù)據(jù)[1-3].由于隨機(jī)偏微分方程在腦磁成像[4]、光聲成像[5]、超聲成像[6]、天線設(shè)計(jì)與合成[7-8]等方面有著重要的應(yīng)用，所以受到了廣大學(xué)者的關(guān)注.特別地，隨機(jī)反源問題作為隨機(jī)反問題中的一類，目前已有很多學(xué)者做了相關(guān)研究，比如文獻(xiàn)[9] 通過Carleman 估計(jì)證明了隨機(jī)源項(xiàng)的唯一性；文獻(xiàn)[10]研究了一維隨機(jī)熱方程模擬的無(wú)限桿中的反源問題，并通過求解Fredholm 積分方程重構(gòu)了隨機(jī)源項(xiàng)的均值和方差.

近年來(lái)，帶有Hurst 參數(shù)(H∈(0,1))的分?jǐn)?shù)階Brown 運(yùn)動(dòng)在科學(xué)和工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，目前關(guān)于帶有不同類型隨機(jī)源項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的反源問題已有一些成果.對(duì)于H=1/2的情形，文獻(xiàn)[11]討論了帶有離散隨機(jī)噪聲的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的反源問題；文獻(xiàn)[12] 運(yùn)用終止時(shí)刻的數(shù)據(jù)u(x,T,ω)的統(tǒng)計(jì)信息確定了時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的源項(xiàng)f(x)h(t)+g(x)ω˙(t)中 的f(x)和 |g(x)|，更多相關(guān)研究可參考文獻(xiàn)[13-17]. 對(duì)于H∈(0,1)的 情形，文獻(xiàn)[18]研究了帶有f(x)h(t)+g(x)B˙H(t)隨機(jī)源項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程，并根據(jù)終止時(shí)刻的數(shù)據(jù)u(x,T,ω)重 構(gòu)了f(x)和 |g(x)|；類似地，文獻(xiàn)[19]考慮了另一個(gè)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程；文獻(xiàn)[20]為分?jǐn)?shù)階Gauss 噪聲驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)非線性分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值分析提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架.目前，由于對(duì)帶有分?jǐn)?shù)階Brown 運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程的討論還處于研究初期，并且關(guān)于對(duì)流擴(kuò)散方程還沒有相關(guān)的研究，因此，本文將討論如下由分?jǐn)?shù)階Brown 運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)對(duì)流擴(kuò)散方程：

1 預(yù) 備 知 識(shí)

2 正 問 題

本節(jié)將在以下假設(shè)成立的條件下討論問題(1)的適定性.

假設(shè)1 設(shè)H∈(0,1)并 且f， σ，g∈L?2(D). 假設(shè)h∈L∞(0,T)是一個(gè)非負(fù)函數(shù)并且有一個(gè)正的下界，即h≥Ch>0.

由式 (7)得

所以

證明 根據(jù)式(12)、(20)和(22)易得結(jié)論.

3 源項(xiàng)反演問題

本節(jié)將通過終止時(shí)刻的數(shù)據(jù)u(x,T,ω)的 一些統(tǒng)計(jì)量來(lái)重構(gòu)源項(xiàng)中的f(x)和 σ2(x)，并且分別討論它們的唯一性與不穩(wěn)定性，其中

3.1 f(x)和 σ 2(x)的唯一性

由式(7)可得

3.2 反演 f(x)和 σ 2(x)的不穩(wěn)定性

3.2.1 反演f(x)的不穩(wěn)定性

由積分中值定理，可知

4 數(shù) 值 實(shí) 驗(yàn)

圖1 H =0.9,δ=0.04 時(shí) f 和σ 2的相對(duì)誤差Fig. 1 The relative errors of the reconstruction for f and σ 2 with respect to H =0.9 andδ=0.04

圖2 H =0.4,N=6 時(shí)的 f 和σ2Fig. 2 The reconstruction of f and σ 2 for the inverse problem with H =0.4 andN=6

圖3 H =0.5,N=6 時(shí)的 f 和σ2Fig. 3 The reconstruction of f and σ 2 for the inverse problem with H =0.5 andN=6

圖4 H =0.9,N=6 時(shí)的 f 和σ2Fig. 4 The reconstruction of f and σ 2 for the inverse problem with H =0.9 andN=6

5 結(jié) 論

在本文中，我們討論了帶有分?jǐn)?shù)階Brown 運(yùn)動(dòng)隨機(jī)源項(xiàng)的一維隨機(jī)對(duì)流擴(kuò)散方程.在正問題部分通過對(duì)溫和解的期望的討論，證明了其適定性.在反隨機(jī)源部分，給定T時(shí)刻的數(shù)據(jù)來(lái)反演源項(xiàng)，證明了反演的唯一性與不穩(wěn)定性.最后通過有限差分法和截?cái)嗾齽t化方法進(jìn)行數(shù)值模擬證明了理論部分的合理性，并且得出了Hurst 參數(shù)H越大，反演效果越好的結(jié)論.雖然本文只討論了一維隨機(jī)對(duì)流擴(kuò)散方程，但是關(guān)于高維的情形也可以類似討論.

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