基于模糊熵的組合混沌映射及其性能

張雪鋒，惠嘉珺，范九倫

(西安郵電大學 網絡空間安全學院，陜西 西安 710121)

隨著互聯網技術的飛速發展，越來越多的數字信息在互聯網上傳播。傳輸的信息中往往包含著用戶隱私甚至機密信息等需要保密的信息，如果這些私密信息被非法獲取，可能會造成嚴重的安全問題。在傳輸和存儲過程中，如何保證數字信息的內容不被非授權訪問或惡意篡改，成為亟需解決的問題。

使用傳統的加密方式，如數據加密標準(Data Encryption Standard,DES)，高級加密標準(Advanced Encryption Standard,AES)對數據加密時，存在效率低、實用性差等問題[1]。混沌是一種非線性動力學系統，具有初值敏感性、遍歷性、不可預測性和偽隨機性等特性[2]。這些特性使得混沌映射在應用于加密算法時具有良好的雪崩效應、安全性和更大的密鑰空間[3]。正是由于混沌的這些特性，使得混沌系統被越來越廣泛地應用于數字信息的保密中。

應用于加密算法中的混沌系統可以分為一維混沌映射和高維混沌映射兩類[4]。相對而言，高維混沌映射的結構復雜、參數較多，保密效果較好[5-8]。然而，多個參數增加了高維混沌映射實現的難度和計算復雜度。一維混沌系統結構簡單、計算速度快，易于實現[9-12]。但是，經典的一維混沌映射的保密效果相對較差，比如，某些混沌系統的混沌區間具有有限性或不連續性，當受到外界因素干擾時，混沌特性容易被破壞，使得其混沌軌跡易于被預測，保密效果有待提高。

作為一個經典的一維混沌映射，Logistic混沌映射[13]由于其結構簡單、計算方便，已經被廣泛應用于數字信息加密領域中。但是，其存在密鑰空間小、復雜度和安全性較低等缺點，使得相關的加密算法容易被破譯。

針對一維Logistic混沌映射在應用時存在的密鑰空間小、安全性差等問題，文獻[14]提出了一種改進的Logistic混沌映射，該映射將全映射參數和混沌參數的范圍與原始映射相乘任意β次。將修改后的映射應用于加密算法后，密鑰空間和密鑰的敏感性均得到增強。但是，該映射的分岔圖存在窗口，混沌狀態較差。另外，該映射的Lyapunov指數(Lyapunov Exponent,LE)較小，混沌行為不夠復雜。文獻[15]提出了一種新的一維正弦(One-Dimensional Sine Powered,1DSP)混沌映射。受到正弦映射的啟發，1DSP映射將結構擴展到包括兩個控制參數，同時保持單一維度。性能分析表明，與其他一維混沌映射相比，1DSP混沌映射具有較好的混沌行為和較大的控制參數區間。但是，1DSP映射的分岔圖窗口較大，進入混沌狀態的控制參數區間較小，并且初值敏感性較差。文獻[16]提出了一種基于余弦對正弦分數的一維混沌系統(One-Dimensional Chaotic System,1-DFCS)，該系統存在復雜的混沌行為和較高的初值敏感性，但是，其產生的混沌序列隨機性較差。混沌系統的混沌行為不夠復雜、初值敏感性和隨機性較差，在應用于加密算法時混沌軌跡容易被預測，難以保證加密的安全性。

針對一維混沌映射存在的密鑰空間小、混沌行為簡單等問題，本文擬提出一種基于模糊熵和Logistic映射的一維混沌映射(One-Dimensional Chaotic Mapping Based on Fuzzy Entropy and Logistic,1DFL)。將模糊熵的基本函數和Logistic映射相結合，增大系統的控制參數，進行取模運算生成新的一維混沌映射，從而擴大混沌區間，提升初值敏感性，生成隨機性較好的混沌序列。

1 預備知識

1.1 Logistic映射

Logistic映射的數學定義式[13]可以表示為

xi+1=μ·xi(1-xo)

(1)

式中：系統參數μ∈[0,4]；xi∈[0,1]。

當3.569 9…<μ≤4時，Logistic映射的Lyapunov指數μ>0，表明系統進入穩定的混沌狀態，產生的混沌序列分布在(0,1)區間中。

由于Logistic映射結構簡單、計算方便，已經被廣泛應用于保密通信的各個領域。但是，Logistic映射存在隨機性差、密鑰空間小，安全性差等問題。

1.2 1DSP映射

2020年Mansouri A等人提出了一種一維混沌1DSP映射[15]，其數學定義式為

xi+1=(xi(α+1))sin(βπ+xi)

(2)

式中：xi(α+1)用于生成狀態值的遞增值；指數sin(βπ+xi)使用正弦函數形式，以避免指數值增加，限制1DSP映射的輸出；系統控制參數α>0，β∈[0,1]。

與Logistic映射相比，1DSP映射增加了控制參數個數，擴大了控制參數范圍，使得1DSP映射不太容易預測，混沌性能較復雜。但是，1DSP映射分岔圖的窗口較大，進入混沌狀態的控制參數區間范圍依然較小，并且初值敏感性仍然較差。

1.3 1DFCS映射

2021年Midoun M等人提出了一種基于余弦對正弦分數的一維混沌系統1DFCS映射[16],其數學定義式為

(3)

式中，系統參數α>0。

1.4 模糊熵

熵是模糊變量的一個重要的數字特征，用來衡量模糊變量的不確定性，是處理模糊信息的重要工具[17]。模糊集用來描述元素無法明確界定是否屬于給定集合的集合類。模糊熵描述了一個模糊集的模糊性程度。

構成模糊集A的模糊熵的一個基本函數形式[17]為

xi+1=μA(xi)e1-μA(xi)+(1-μA(xi))eμA(xi)

(4)

其中：xi+1為模糊熵；μA(xi)是模糊集A的一個函數。

2 基于模糊熵的組合混沌映射

觀察Logistic映射的基本公式xi+1=μ·xi·(1-xi)和模糊集X函數的定義式xn·(1-xn)可以發現，這兩個函數的特點都是在x=0和x=1時值為0，在x=1/2時值最大且均為上凸函數，因此，可以考慮將二者組合起來，在Logistic映射和模糊熵基本函數式(4)的基礎上，提出一種一維組合混沌映射，通過增大控制參數和增加模運算使得映射的序列分布更加均勻，提出的一維映射1DFL可以表示為

xi+1=(μ(xie1-xi+(1-xi)exi)modt)

(5)

式中：xi∈[0,t]；系統參數μ的取值范圍為(-∞,0)∪(0.8,+∞)；系統參數t的取值范圍為[1,30]。

接下來，將進行仿真，分析提出的1DFL混沌映射的混沌區間、遍歷性和初值敏感性等性能。

3 性能分析

為了分析本文所提1DFL映射的性能，采用MATLAB軟件對所提映射的對該映射的分岔圖、Lyapunov指數、相關性和初值敏感性等性能進行仿真，并與經典Logistic映射、文獻[15]的1DSP映射以及文獻[16]的1DFCS映射進行比較。

3.1 分岔圖

分岔是指系統參數小而連續的變化，結果造成系統本質或是拓撲結構的突然改變。映射的分岔特性反映了映射的軌跡特征[18]。Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種的分岔圖仿真結果如圖1所示。可以看出，相比其他3種映射，提出的1DFL混沌映射的軌道分離速度更快，分岔點分布情況更為復雜，說明1DFL映射的混沌性能優于其它3種映射。這是因為，1DFL混沌映射產生分岔時，對應的系統參數μ的取值范圍比Logistic映射、1DSP映射和1DFCS映射的參數取值范圍更大，因此，產生混沌序列的隨機性更好。在加密算法中，使用1DFL混沌映射進行加密具有更好的安全性。

圖1 4種映射的分岔圖仿真結果

3.2 Lyapunov指數

初始狀態的敏感性是混沌行為最明顯的特征之一[18]。Lyapunov指數可以定量描述映射對初始狀態的敏感性，其描述了一個混沌系統的吸引子中相鄰軌道間發散或者是收斂的物理量，是判斷一個動力系統是否為混沌系統的重要標志[18]。

Lyapunov指數為正值，表示混沌映射的軌跡在每個單位時間內發散，并隨著時間的增加演化為完全不同的軌跡。因此，如果一個混沌映射的Lyapunov指數為正，則表示該映射呈混沌狀態，Lyapunov指數越大，意味著映射軌跡的分叉越快，混沌行為越明顯[18]。

Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的Lyapunov指數仿真結果如圖2所示。可以看出，Logistic映射的混沌區間較小，進入混沌后狀態不穩定。1DSP映射和1DFCS映射雖然具有較大的混沌區間，但是，其混沌狀態不穩定。提出的1DFL映射不僅具有更大的混沌區間，并且系統能更快地進入混沌狀態，進入混沌后系統的混沌狀態也更加穩定。

圖2 4種映射的Lyapunov指數仿真結果

3.3 序列分布

序列分布在一定程度上能夠反映混沌映射輸出的隨機性[19]。如果一個混沌映射的序列分布占有較大的相空間，則表明其具有良好的隨機輸出性和更好的遍歷性，從而具有更好的安全性能。Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的序列分布仿真結果如圖3所示。可以看出，Logistic映射、1DSP映射和1DFCS映射在相空間存在明顯的局部聚集，并且1DSP映射和1DFCS映射遍歷性較差，而提出的1DFL映射的在相空間內滿足近似均勻分布，且相空間更大。

圖3 4種映射的序列分布仿真結果

3.4 自相關性

自相關性在一定程度上可以反映混沌系統的隨機性，自相關系數值與步長有關，自相關系數越接近于0，表明映射產生的二值序列的隨機性越好，混沌映射就具有越好的自相關性[13]。

Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的自相關性仿真結果如圖4所示。可以看出，當步長不等于0時，提出1DFL映射產生的二值序列的自相關系數接近0，與其他3種映射相比無明顯差別，說明4種映射產生二值序列的自相關性性能基本相同。

圖4 4種映射的自相關性仿真結果

3.5 互相關性

互相關性在一定程度上可以反映混沌系統的隨機性，互相關函數的取值越接近0，說明兩個序列越互不相關，差異程度越大，混沌映射的隨機性就越好[13]。

Logistic、1DSP、1DFCS、1DFL映射的互相關性分析如圖5所示。可以看出，1DFL映射產生的序列相關性與其他映射的生成序列相關性基本相同。

圖5 4種映射的互相關性仿真結果

3.6 初值敏感性

初值敏感性描述了初始條件下的微小變化經過一定次數的迭代所產生的明顯偏差的明顯程度。初值敏感性反映了系統的復雜性和不可預測性。初值敏感性越高，混沌系統的性能越好[20]。

設定序列的初始值為0.4，對初始值作1×10-12的微小改變，Logistic映射、1DSP映射、1DFCS映射和1DFL映射等4種映射的初值敏感性仿真結果如圖6所示。可以看出，初始值改變后，提出的1DFL映射在3次迭代后發散，1DFCS映射在4次迭代后發散，而Logistic映射和1DSP映射在20次內迭代無發散，說明提出的1DFL映射的初值敏感性較好，當應用于加密算法中時，算法的安全性較高。

圖6 4種映射的初值敏感性仿真結果

(續)圖6 4種映射的初值敏感性仿真結果

3.7 分叉迭代次數

分叉迭代次數是指混沌映射對應兩個不同初始值所產生的混沌序列，在給定分叉判斷閾值后，將產生的混沌序列作差得到分叉迭代次數[21]。序列的分叉迭代次數越小，說明映射序列分叉的速度越快，混沌狀態就越穩定[21]。

在[0,1]區間內，依次選取10 000個采樣點，給定分叉判斷閾值分別為0.2、0.4和0.6，逐次計算相鄰點之間所需要的分叉迭代次數，取平均值得到平均分叉迭代次數。4種映射產生分叉所需的平均迭代次數如表1所示。可以看出，1DFL映射所需的平均迭代次數明顯小于其他3種映射，說明1DFL映射分叉的速度快于其他3種映射。在加密過程中，與其他3種映射相比，1DFL映射能夠較快地進入穩定的混沌狀態，安全性更好。

表1 4種映射產生分叉所需的平均迭代次數

4 結語

以模糊熵和經典Logistic映射為基礎，提出了一種基于模糊熵的組合混沌映射1DFL。該映射主要以模糊熵的基本函數與Logistic映射作為種子映射，然后通過增大控制參數和取模運算，使得混沌序列均勻分布。仿真結果表明，與其它映射相比，1DFL映射擴大了控制參數，改善了混沌區間小、混沌區間不連續、初值敏感性和隨機性差等問題，混沌性能較好。下一步的研究重點是，將所提出的1DFL混沌映射應用于加密算法中，在不降低安全性的前提下提高計算效率。